數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化第四講數(shù)學(xué)分支介紹分析學(xué)

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化第四講數(shù)學(xué)分支介紹分析學(xué)第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三內(nèi)容0.前言1.微積分學(xué)及其發(fā)展道路2.分析學(xué)的分支第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三0.前言在一切理論成就中，未必再有什么像19世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看做人類精神的最高勝利了。---恩格斯《自然辯證法》微積分，或者數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一。它處于自然科學(xué)與人文科學(xué)之間的地位，使它成為高等教育的一種特別的有效工具。遺憾的是，微積分的教學(xué)方法有時流于機(jī)械，不能體現(xiàn)出這門學(xué)科乃是一種撼人心靈的智力奮斗的結(jié)晶。---R·柯朗第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三1.微積分學(xué)及其發(fā)展道路微積分學(xué)---是研究函數(shù)微分與積分性質(zhì)與應(yīng)用的一個數(shù)學(xué)分支。微積分的出現(xiàn)，是由初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的一個具有劃時代意義的大事。但是，在微積分發(fā)展的過程中也曾產(chǎn)生過一些“混亂”或者說“神秘性”。這種“神秘性”主要集中在“無窮小量”上。第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三16世紀(jì)的歐洲向自然科學(xué)提出兩個基本問題：（1）已知路程求速度；（2）已知速度求路程。在等速運(yùn)動的情況下，這兩個問題可以用初等數(shù)學(xué)來解決，但在變速的情形，只用初等數(shù)學(xué)就無法解決了。第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三由于笛卡爾（R．Descartes，1596-1650）等人創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，開始有了變量的概念，并把描述運(yùn)動的函數(shù)關(guān)系和幾何中曲線或曲面問題的研究統(tǒng)一了起來。前面所講的力學(xué)中兩個最基本的問題正好與初等幾何一直未解決的兩類問題完全一致。這兩個問題是：（1）求任意曲線的切線；（2）求任意曲線所圍成的面積（或求任意曲面所圍成的體積）。第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★Kepler在于1615年寫的《酒桶的立體幾何學(xué)》一書中，求出了87種旋轉(zhuǎn)體的體積；★1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（B.Cavalieri，1598-1647）出版了《不可分連續(xù)量的幾何學(xué)》，書中引入了所謂“不可分量”，并提出了卡瓦列利原理，它是計(jì)算面積和體積的有力工具；第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★1656年，英國人沃里斯（Ｊ.Ｗallis,1616-1703）把卡瓦列利方法系統(tǒng)化，使“不可分量”更接近于定積分的計(jì)算，在《無窮算術(shù)》中明確提出了極限思想；★費(fèi)馬于1638年在《求最大值和最小值的方法》中給出了求曲線的切線和函數(shù)極值的方法；第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★牛頓在劍橋大學(xué)的老師巴羅（I.Barrow，1630-1677）不僅給出了求曲線切線的方法，而且也揭示了求曲線的切線和求曲線所圍成面積這兩個問題的互逆性?！镏袊糯鷶?shù)學(xué)家劉徽和祖沖之的兒子祖暅對體積的計(jì)算也做過重要的貢獻(xiàn)。祖暅于5世紀(jì)提出并證明了“冪勢既同，則積不容異”這個原理，即空間體積，若其底、高分別相等，等高處的截面積均相等，則兩空間體的體積必相等（卡瓦列利原理）。第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（G.W.Leibniz,1646-1716）在前人工作的基礎(chǔ)上，分別從力學(xué)和幾何學(xué)獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)?！锱ｎD側(cè)重于力學(xué)研究，突出了速度的概念，考慮了速度的變化，建立了微積分的計(jì)算方法。他于1665年創(chuàng)造了“流數(shù)法”，并利用這個方法從行星運(yùn)動三大定律推出了萬有引力定律，再根據(jù)萬有引力定律解決了許多力學(xué)和天文學(xué)的問題。第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★萊布尼茲則突出了切線的概念，從變量的有限差出發(fā)引入微分概念，他特別重視運(yùn)算符號和法則。★恩格斯說過：“微積分是牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的。”第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三牛頓（英，1642-1727）萊布尼茨（德，1646-1716）第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★微積分剛一形成，就在解決實(shí)際問題中顯示出強(qiáng)大的威力。例如，在天文學(xué)中，它能夠精確地計(jì)算行星、彗星的運(yùn)行軌道和位置。★英國天文學(xué)家哈雷（E.Halley,1656-1742）就通過這種計(jì)算斷定1531年、1607年、1682年出現(xiàn)過的彗星是同一顆彗星，并推測它將于1759年再次出現(xiàn)，這個預(yù)見后來果然被證實(shí)。第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★雖然微積分的應(yīng)用愈來愈豐富，但當(dāng)時的微分和積分并沒有確切的數(shù)學(xué)定義。特別是一些定理的證明和公式的推導(dǎo)，在邏輯上前后矛盾，不好理解，使人感到可疑，但推出的結(jié)論往往是正確無誤的。這樣，微積分就具有了一種“神秘性”。第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三這種“神秘性”集中體現(xiàn)在當(dāng)時對“無窮小量”的認(rèn)識上。牛頓在一些經(jīng)典的推導(dǎo)中，他既用無窮小量作分母進(jìn)行除法，這意味著無窮小量不是零；然而他又把被無窮小量所乘的項(xiàng)當(dāng)做沒有而去掉，這說明他又認(rèn)為無窮小量是零。奇怪的是，這樣所推導(dǎo)的公式在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用中證明了它們都是正確的。第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三附：牛頓在1704年發(fā)表了“曲線的求積”，其中他確定了x3的導(dǎo)數(shù)（當(dāng)時他稱之為流數(shù)）。牛頓所用方法意譯如下：當(dāng)x增長為x+0時，冪x3變?yōu)?x+0)3或者x3+3x2·0+3x·02+03，它們的增量分別是0和3x2·0+3x·02+03。這兩個增量與x的增量0的比分別為1與3x2+3x·0+02，然后讓增量消失，則它們最后比將為1比3x2。從而x3對x的變化率為3x2。第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★這種用邏輯上自相矛盾的方法推導(dǎo)出正確結(jié)論的事實(shí)，使微積分運(yùn)算表面看來有很大的隨意性。正如馬克思所說：“這種新發(fā)現(xiàn)的計(jì)算方法，就是通過數(shù)學(xué)上肯定是不正確的途徑而得出了正確的（而且在幾何學(xué)應(yīng)用上簡直是驚人的）結(jié)果?！钡谑唔?，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★人類進(jìn)入19世紀(jì)后，埋藏在數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯基礎(chǔ)問題最終還是由科技領(lǐng)域提出的“熱傳導(dǎo)”這一大課題的研究為導(dǎo)火線而爆發(fā)出來?！?811年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉（Fourier）發(fā)表了一篇名為《關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的研究》的論文。文中他提出了對數(shù)學(xué)物理具有普遍意義的方法，即將任意函數(shù)表示為無窮項(xiàng)三角函數(shù)之和，簡稱為三角級數(shù)。第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★這種表達(dá)函數(shù)的方式與函數(shù)的傳統(tǒng)表達(dá)方式相違背，給數(shù)學(xué)帶來了新的混亂，即什么叫“無窮項(xiàng)求和問題”？這個問題不解決，解決熱傳導(dǎo)問題的方法就缺乏理論依據(jù)。其實(shí)，這個問題仍然歸結(jié)為如何認(rèn)識無窮小量的問題。至此，微積分中邏輯上的混亂，即對無窮小量的理解，已經(jīng)到了必須澄清的時候了。也就是說，必須給微積分建立嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★在為微積分作奠基性工作方面，瑞士數(shù)學(xué)家約翰．伯努里（JohannBernoulli，1667-1748）和歐拉、奧地利數(shù)學(xué)家波爾查諾（B．Bolzano，1781-1848）、德國數(shù)學(xué)家狄內(nèi)赫利（Dirichlet，1805-1851）等都做過貢獻(xiàn)?！锲饹Q定作用的是法國數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy，1789-1857），他于1821年在《分析教程》中給出了極限概念比較精確的分析定義，并以極限概念為基礎(chǔ)，給出了無窮小量、無窮級數(shù)的“和”等許多概念的較明確的定義。第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★德國數(shù)學(xué)家韋爾斯特拉斯（K．Weierstrass，1815-1897）總結(jié)了前人的工作，于1855年給出了極限的嚴(yán)格定義，即今天教材上通用的定義，并把分析基礎(chǔ)歸結(jié)為對實(shí)數(shù)理論的研究。他與德國數(shù)學(xué)家戴德金（R．Dedekind，1826-1866）、康托（G．Cantor，1845-1918）一起創(chuàng)立了實(shí)數(shù)理論，這是分析學(xué)的邏輯基礎(chǔ)發(fā)展史上的重大成就。至此，人們才知道無窮小量只不過是在某個變化過程中以零為極限的變量。第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三柯西（法，1789-1857）魏爾斯特拉斯(德，1815～1897)

第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★從1665年牛頓創(chuàng)造的流數(shù)法到1855年韋爾斯特拉斯給出極限的嚴(yán)格定義，經(jīng)歷了190年。如果從我國魏晉時代就有微積分計(jì)算方法的萌芽---割圓術(shù)算起，大約經(jīng)歷了1600多年，若再從阿基米德于公元前3世紀(jì)提出“窮竭法”算起，則經(jīng)歷了2000多年。第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三★微積分這個漫長的發(fā)展史，給我們的重要啟示就是：一個新的理論（或新的學(xué)科）的誕生，需要許多人付出艱辛的勞動，甚至要經(jīng)過幾代人的努力，科學(xué)研究的道路從來就不是平坦的。另外，也告訴我們：人們對客觀世界中數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識是逐步深化的，需要從感性認(rèn)識能動地躍進(jìn)到理性認(rèn)識，又要從理性認(rèn)識能動地指導(dǎo)實(shí)踐，并取得進(jìn)一步的發(fā)展，這個