數(shù)學物理方程第四章調(diào)和

數(shù)學物理方程第四章調(diào)和第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三二、拉普拉斯方程邊值問題的提法1第一邊值問題（狄氏問題）2第二邊值問題（牛曼問題）3、狄氏外問題4、牛曼外問題§1方程的建立和定解條件調(diào)和函數(shù)：具有二階偏導數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)。一、方程的建立第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三三、泊松方程邊值問題泊松方程邊界條件定義在第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件泊松方程與第一類邊界條件，構成第一邊值問題(狄里希利問題)泊松方程與第二類邊界條件，構成第二邊值問題(諾依曼問題)泊松方程與第三類邊界條件，構成第三邊值問題第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三

1﹑奧—高公式

設及和是在上連續(xù)，在內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù)的任意函數(shù),則有如下的奧-高公式

1﹑奧—高公式

設及和是在上連續(xù)，在內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù)的任意函數(shù),則有如下的奧-高公式§2格林公式、調(diào)和函數(shù)及其基本性質(zhì)一、格林公式第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三

2﹑格林第一公式在上述的奧-高公式中﹐令，，注意到顯然的恒等式：我們就有如下的格林第一公式或第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三

3﹑格林第二公式在上述格林第一公式中，交換﹑的位置，得格林公式通常指格林第二公式，在格林函數(shù)法求解定解問題時常要用到。然后兩式消減，我們就得到格林第二公式：原有第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三由物理學家狄拉克首先引進用以討論物理學中的一切點量質(zhì)點點電荷瞬時力脈沖等定義

d函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)：4、d函數(shù)第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三如對一維問題:設在無窮直線上區(qū)間內(nèi)有均勻的電荷分布，總電量為一個單位，在區(qū)間外無電荷如圖，則電荷密度函數(shù)為物理意義：集中的量的密度函數(shù)若f(x)在內(nèi)連續(xù)，由中值定理有對于有第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三對于在連續(xù)，有或者表示的是任意階可微函數(shù)的極限，通常意義下沒有意義，只在積分運算中才有意義。當時，得到點電荷的密度函數(shù)此積分應理解為第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三有關d函數(shù)的等式應該在積分意義下理解。第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三令兩邊微商，得因為由傅里葉逆變換，得拉普拉斯變換對二、三維同樣有函數(shù)二維：處有一個單位點電荷，密度分布函數(shù)為

三維：處有一個單位點電荷，密度分布函數(shù)為

第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三求證：，其中

證明:要證明，就是要證明積分意義下例第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三①當時，有三式相加，可得第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三②當時，不可導，將V取為整個三維空間第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三令，上式積分與a無關從而有因此即第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三二、泊松方程的基本積分公式建立點源泊松方程奇異，不能化為面積分。在V中點挖掉半徑的小球。小球邊界。第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三在，。和連續(xù)。第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三這樣，邊界條件得以進入積分之中！上式為泊松方程的基本積分公式。令f=0,即得調(diào)和方程的基本積分公式：調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點的值可以通過積分表達式用這個函數(shù)在區(qū)域邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來表示。第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三1、調(diào)和方程的基本解三、調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)2、調(diào)和方程的基本積分表達式第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三3、牛曼內(nèi)問題有解的必要條件4、平均值公式（定理）5、極值原理取狄氏問題的解唯一確定，牛曼問題的解除了相差一常數(shù)外也是唯一確定的。6、拉普拉斯方程解的唯一性問題調(diào)和函數(shù)的最大、最小值只能在邊界上達到第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三§

3格林函數(shù)若u，v均為調(diào)和函數(shù)若v不僅為調(diào)和函數(shù)，且滿足由格林公式兩式相加令則第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三對泊松問題對拉普拉斯問題因此求解狄氏問題就轉(zhuǎn)化為求此區(qū)域的格林函數(shù)，即第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三§4用電像法確定格林函數(shù)用格林函數(shù)法求解的主要困難還在于如何確定格林函數(shù)本身

一個具體的定解問題，需要尋找一個合適的格林函數(shù)，對一些具體問題可以給出構建格林函數(shù)的方法這方法是基于靜電學的鏡像原理來構建格林函數(shù)，所以我們稱這種構建方法為電像法（也稱為鏡像法）．

在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點關于邊界的象點，在這兩個點放置適當?shù)碾姾?，這兩個電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。電象法求格林函數(shù)第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三物理模型：若在處放置一正單位點電荷

則虛設的負單位點電荷應該在

于是得到這兩點電荷在xoy的上半平面的電位分布．也就是本問題的格林函數(shù)，即為

1、上半平面區(qū)域拉普拉斯方程的第一邊值問題求解第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三據(jù)此可求解上半平面區(qū)域的定解問題例1定解問題：

【解】根據(jù)第一邊值問題，構建的格林函數(shù)滿足

處放置于一個正和一個負的點電荷（或點源）

構建格林函數(shù)為

第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三邊界外法線方向為負軸，故有

代入到拉普拉斯第一邊值問題解的公式，則由得

或由互易性得到上式稱為上半平面的拉普拉斯積分公式．第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三例2在上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題

【解】構建格林函數(shù)滿足2、上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題根據(jù)物理模型和無界區(qū)域的格林函數(shù)可以構建為第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三為了把代入拉普拉斯第一邊值問題的解的公式需要先計算即為

即有

第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三代入即得到

這公式叫作半空間的拉普拉斯積分．第二十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星