數(shù)學(xué)第十章有限元法

數(shù)學(xué)第十章有限元法第一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、有限元方法解題分析

為了說(shuō)明應(yīng)用有限元方法的解題步驟，以及每一步驟中的要點(diǎn)，下面我們以兩點(diǎn)邊值問(wèn)題為例進(jìn)行具體分析?？紤]兩點(diǎn)邊值問(wèn)題其中我們將從Ritz法和Galerkin法兩種觀點(diǎn)出發(fā)，導(dǎo)出解邊值問(wèn)題（1.1）、（1.2）的線性有限元方法。第二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三（一）從Ritz法出發(fā)建立有限元方程1、寫(xiě)出Ritz形式的變分問(wèn)題由變分原理可知，與邊值問(wèn)題（1.1）（1.2）等價(jià)的變分問(wèn)題是：求其中積分表達(dá)式（1.3）是應(yīng)用有限元法求解（1.1）、（1.2）式的出發(fā)點(diǎn)。第三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、區(qū)域剖分剖分原則與差分法相同，即將求解區(qū)域剖分成若干個(gè)互相連接，且不重疊的子區(qū)域，這些子區(qū)域稱為單元。單元的幾何形狀可以人為選取，一般是規(guī)則的，但形狀與大小可以不同。對(duì)于一維情形最為簡(jiǎn)單：將求解區(qū)域剖分成若干個(gè)子區(qū)間，其節(jié)點(diǎn)為每個(gè)單元的長(zhǎng)度為

單元在區(qū)間中分布的疏密程度或單元尺寸的大小，可根據(jù)問(wèn)題的物理性質(zhì)來(lái)決定，一般來(lái)說(shuō)，在物理量變化劇烈的地方，單元尺寸要相對(duì)小一些，排列要密一些。3、確定單元基函數(shù)有限元法與Ritz-Galerkin方法的主要區(qū)別之一，就在于有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的。由于各第四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三個(gè)單元具有規(guī)則的幾何形狀，而且可以不比考慮邊界條件的影響，因此在單元中選取基函數(shù)可遵循一定的法則。設(shè)為的有限維子空間，它的元素為要構(gòu)造，只需構(gòu)造單元基函數(shù)。構(gòu)造單元基函數(shù)應(yīng)遵循如下原則：

（1）、每個(gè)單元中的基函數(shù)的個(gè)數(shù)和單元中的節(jié)點(diǎn)數(shù)相同，每個(gè)節(jié)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)一個(gè)基函數(shù)，本例中，單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此基函數(shù)有兩個(gè)。（2）基函數(shù)應(yīng)具有下面的性質(zhì)：其中是單元節(jié)點(diǎn)序號(hào)為k的節(jié)點(diǎn)。第五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三若取為線性函數(shù)，則按上述原則，可將中的基函數(shù)取為顯然，中任一函數(shù)可以表示為基函數(shù)的線性組合，即（1.4）第六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中，是在節(jié)點(diǎn)上的值，即在單元上，表示為可見(jiàn)，單元中的近似函數(shù)由單元基函數(shù)線性組合產(chǎn)生，全區(qū)域的近似函數(shù)由各個(gè)單元的近似函數(shù)疊加而成。

從以上可以看出，是滿足下列條件的所有函數(shù)的集合：第七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三故是的一個(gè)n維子空間，稱為試探函數(shù)空間稱為試探函數(shù)。4、有限元方程的形成

與Ritz法一樣，以代替，在上解泛函數(shù)（1.3）的極小問(wèn)題。將（1.5）代入（1.3），得第八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三令便得到確定的線性代數(shù)方程組稱（1.7）為有限元方程。顯然，只要我們分別算出及就可以求解（1.7）。但在工程計(jì)算中，并不是按照上述步驟形成有限元方程的，而是首先建立單元有限元特征式（稱這一過(guò)程為單元分析），然后再將單元的有限元特征式進(jìn)行累加，合成為總體有限元方程（這一過(guò)程稱為總體合成）。第九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三下面分步分析具體的計(jì)算方法。第一步：?jiǎn)卧治?。注意到我們?lái)計(jì)算單元上的積分。為討論方便，作變換并引入記號(hào)則在上，可寫(xiě)成第十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三或?qū)懗桑?.10）其中，而可表示為式中，于是有第十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三這里，稱為單元?jiǎng)偠染仃?，其中?duì)（1.8）式右端第二項(xiàng)積分，同樣有第十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三式中，稱為單元“荷載”向量。根據(jù)以上分析，便有這樣，我們就得到了單元有限元特征式的一般表示形式：第十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二步：總體合成總體合成就是將單元的有限元特征式進(jìn)行累加，合成為總體有限元方程。這一過(guò)程實(shí)際上是將單元有限元特征式中的系數(shù)矩陣逐個(gè)累加，合成為總體系數(shù)矩陣（稱為總剛度矩陣）；同時(shí)將右端單元荷載向量逐個(gè)累加，合成為總荷載向量，從而得到關(guān)于的線性代數(shù)方程組。為了形成總剛度矩陣，我們令于是有第十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三從而（1.17）右端第一個(gè)和式為其中，第i-1行第i行這就是總剛度矩陣（未標(biāo)明的元素均為0）。第十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)（1.17）右端第二個(gè)和式，有其中，這就是總荷載向量。這樣，就可以將（1.17）式寫(xiě)成第十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三因此，有限元方程為從總剛度矩陣和總荷載向量的形成過(guò)程可以看出，的計(jì)算，實(shí)際上是把中四個(gè)元素在適當(dāng)?shù)奈恢蒙稀皩?duì)號(hào)入座”地疊加，的計(jì)算也是如此。我們引入，只是為了敘述方便，實(shí)際上，在編制程序時(shí)并不需要。

顯然，方程組（1.20）的系數(shù)矩陣K是一個(gè)對(duì)稱正定的對(duì)角矩陣，因此可采用追趕法求出u在節(jié)點(diǎn)上的近似值。如果我們認(rèn)為這個(gè)近似解不夠精確，則可以使剖分更細(xì)，即節(jié)點(diǎn)取得更多。這樣，就產(chǎn)生一個(gè)收斂性與誤差估計(jì)的問(wèn)題。由于此問(wèn)題所用的數(shù)學(xué)工具較多，本課程不做討論。另一方面，我們以上是在單元剖分的基礎(chǔ)上，利用Lagrange型的分段線性插值函數(shù)構(gòu)造出的n維子空間，這樣自然想到，如果不采用分段的線性插值，而采用分段的高次插值，則會(huì)得到更好的近似。第十七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三注1、當(dāng)?shù)谝贿呏禇l件非齊次時(shí)，例如，則需象其它單元一樣形成上的單元?jiǎng)偠染仃?。但形成總剛度矩陣K時(shí)，先把當(dāng)作未知量，K擴(kuò)大成矩陣，然后去掉第一行（或者一開(kāi)始就不計(jì)算第一行），把第一列的第j行元素乘以累加到第j個(gè)方程的右端后，再去掉第一列。最后仍然歸結(jié)到方程（1.20），只不過(guò)右端向量因第一邊值作了修改。它只是比齊次邊值多了第二項(xiàng)。由于第二項(xiàng)只含有的一次項(xiàng)，因此從上述泛函出發(fā)所形成的有限元方程不影響總剛度矩陣，唯一的改變量是第n個(gè)方程注2、若第二邊值條件（右邊值條件）非齊次，例如，則需從下列泛函出發(fā)：第十八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三的右端要累加對(duì)于第三邊值條件則不但要修改第n個(gè)方程的右端，而且總剛度矩陣的第n行n列元素也要作適當(dāng)?shù)男薷摹Ｓ信d趣的同學(xué)可以自行推導(dǎo)。(二)、從Galerkin法出發(fā)建立有限元方程從Galerkin法出發(fā)形成有限元方程的過(guò)程與前面完全一樣，得到的結(jié)果也是一致的。但是從Galerkin法出發(fā)形成的有限元方程更具一般性，它不僅適用于對(duì)稱正定的算子方程，而且也適用于非對(duì)稱正定的算子方程。在實(shí)際問(wèn)題中，主要是依據(jù)這一觀點(diǎn)建立有限元方程。下面對(duì)這一問(wèn)題作一簡(jiǎn)單陳述。第十九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三由變分原理可知，與邊值問(wèn)題等價(jià)的Galerkin形式的變分問(wèn)題是：我們?nèi)杂梅侄尉€性函數(shù)構(gòu)成的試探函數(shù)空間代替,由（1.4）定義的分段線性函數(shù)是的一組基。和前面一樣的方法，把第二十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三代入（1.21），便得到所滿足的方程組這和方程組（1.7）是完全一樣的。

容易看出，方程組（1.22）的系數(shù)矩陣就是總剛度矩陣，在總剛度矩陣形成的過(guò)程中，注意到而從而有第二十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三即故有這就是有限元方程（1.20）。由上述看出，按Galerkin法推導(dǎo)有限元方程更加直接方便。尤其重要的是。按這一觀點(diǎn)推導(dǎo)的有限元方程，不僅適用于穩(wěn)定問(wèn)題，而且也適用于非穩(wěn)定的問(wèn)題，因此它具有廣泛的適用性。（三）、應(yīng)用舉例用有限元方法解邊值問(wèn)題第二十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三將區(qū)間〔0,1〕等分成4個(gè)單元。

解、利用上述分析結(jié)果，我們只需構(gòu)造出單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧奢d向量，然后合成為總剛度矩陣和總荷載向量。

注意到（1.14）和（1.16）：第二十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三若將取成單元上的中點(diǎn)值則不難得到其中單元的中點(diǎn)為于是有第二十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三如果把單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧?/p>