時間序列分解法和趨勢外推法

時間序列分解法和趨勢外推法第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.1時間序列分解法一、時間序列的分解

經(jīng)濟(jì)時間序列的變化受到長期趨勢、季節(jié)變動、周期變動和不規(guī)則變動這四個因素的影響。其中：（1）長期趨勢因素（T）反映了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一個較長時間內(nèi)的發(fā)展方向，它可以在一個相當(dāng)長的時間內(nèi)表現(xiàn)為一種近似直線的持續(xù)向上或持續(xù)向下或平穩(wěn)的趨勢。回總目錄回本章目錄第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（2）季節(jié)變動因素（S）是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象受季節(jié)變動影響所形成的一種長度和幅度固定的周期波動。（3）周期變動因素（C）周期變動因素也稱循環(huán)變動因素，它是受各種經(jīng)濟(jì)因素影響形成的上下起伏不定的波動。（4）不規(guī)則變動因素（I）不規(guī)則變動又稱隨機(jī)變動，它是受各種偶然因素影響所形成的不規(guī)則變動。回總目錄回本章目錄第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二、時間序列分解模型

時間序列y可以表示為以上四個因素的函數(shù)，即：

時間序列分解的方法有很多，較常用的模型有加法模型和乘法模型?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谒捻摚擦屙?，編輯于2023年，星期三加法模型為：

乘法模型為：回總目錄回本章目錄第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三三、時間序列的分解方法（1）運(yùn)用移動平均法剔除長期趨勢和周期變化，得到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出季節(jié)指數(shù)S。（2）做散點圖，選擇適合的曲線模型擬合序列的長期趨勢，得到長期趨勢T?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诹摚擦屙?，編輯于2023年，星期三

（3）計算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期變動因素C。（4）將時間序列的T、S、C分解出來后，剩余的即為不規(guī)則變動，即：y回總目錄回本章目錄第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.2趨勢外推法概述一、趨勢外推法概念和假定條件趨勢外推法概念：當(dāng)預(yù)測對象依時間變化呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢，沒有明顯的季節(jié)波動，且能找到一個合適的函數(shù)曲線反映這種變化趨勢時，就可以用趨勢外推法進(jìn)行預(yù)測。

回總目錄回本章目錄第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三趨勢外推法的兩個假定：（1）假設(shè)事物發(fā)展過程沒有跳躍式變化；（2）假定事物的發(fā)展因素也決定事物未來的發(fā)展，其條件是不變或變化不大。

回總目錄回本章目錄第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二、趨勢模型的種類多項式曲線外推模型：一次（線性）預(yù)測模型：二次（二次拋物線）預(yù)測模型：三次（三次拋物線）預(yù)測模型：一般形式：回總目錄回本章目錄第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三指數(shù)曲線預(yù)測模型：一般形式：

修正的指數(shù)曲線預(yù)測模型：回總目錄回本章目錄第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三對數(shù)曲線預(yù)測模型：生長曲線趨勢外推法：皮爾曲線預(yù)測模型：龔珀茲曲線預(yù)測模型：

回總目錄回本章目錄第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

三、趨勢模型的選擇

圖形識別法：

這種方法是通過繪制散點圖來進(jìn)行的，即將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間t為橫軸，時序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數(shù)曲線模型的圖形進(jìn)行比較，以便選擇較為合適的模型?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谑?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三差分法：利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。一階向后差分可以表示為：二階向后差分可以表示為：

回總目錄回本章目錄第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二次（拋物線）模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=b0+b1t+b2t2一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一次線性模型差分計算表一次（線性）模型差分計算表時序（t)yt=a+bt一階差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三差分法識別標(biāo)準(zhǔn)：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線性模型二階差分相等或大致相等二次線性模型三階差分相等或大致相等三次線性模型一階差分比率相等或大致相等指數(shù)曲線模型一階差分的一階比率相等或大致相等修正指數(shù)曲線模型回總目錄回本章目錄第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.3多項式曲線趨勢外推法一、二次多項式曲線模型及其應(yīng)用二次多項式曲線預(yù)測模型為：回總目錄回本章目錄第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三設(shè)有一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)，，…，，令即：解這個三元一次方程就可求得參數(shù)?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诙屙?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例題

?例1

下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額（按當(dāng)年價格計算），分析預(yù)測我國社會商品零售總額?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诙摚擦屙?，編輯于2023年，星期三年份時序（t）總額（yt

）年份時序（t）總額（yt

）年份時序（t）總額（yt

）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7回總目錄回本章目錄第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（1）對數(shù)據(jù)畫折線圖分析，以社會商品零售總額為

y軸，年份為x軸?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诙隧?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將分別對該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。

適用的二次曲線模型為：

適用的指數(shù)曲線模型為：回總目錄回本章目錄第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（3）進(jìn)行二次曲線擬合。首先產(chǎn)生序列，然后運(yùn)用普通最小二乘法對模型各參數(shù)進(jìn)行估計。得到估計模型為：其中調(diào)整的，，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為151.7。

回總目錄回本章目錄第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三(4)進(jìn)行指數(shù)曲線模型擬合。對模型：兩邊取對數(shù)：

產(chǎn)生序列，之后進(jìn)行普通最小二乘估計該模型。最終得到估計模型為：回總目錄回本章目錄第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三其中調(diào)整的，，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為：175.37。（5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用

二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運(yùn)用方程：

進(jìn)行預(yù)測將會取得較好的效果?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谌?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二、三次多項式曲線預(yù)測模型及其應(yīng)用

1.三次多項式曲線預(yù)測模型為：注：選擇三次多項式曲線模型進(jìn)行預(yù)測，時間序列各數(shù)值的三階差分必須相等或大致相等?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谌?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2.參數(shù)求解設(shè)有一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)，，…，，令即：解這個四元一次方程就可求得參數(shù)。回總目錄回本章目錄第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三3.應(yīng)用實例例某市2001～2007年棉布產(chǎn)量時間序列如表所示，試預(yù)測2009年的棉布產(chǎn)量。年份2001200220032004200520062007棉布產(chǎn)量（億米）252340374379375385430第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三(1)模型選擇年份2001200220032004200520062007棉布產(chǎn)量（億米）252340374379375385430一階差分—88345-41045二階差分——-54-29-91435三階差分———25202321棉產(chǎn)量歷史數(shù)據(jù)的三階差分基本近似一個常數(shù)，其波動范圍在20-25之間，因此可以配以三次多項式曲線模型進(jìn)行預(yù)測。第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（2）參數(shù)計算年份時序(t)yit^2t^3t^4t^6tyt^2yt^3yyi預(yù)測(yi-yi預(yù)測)^22001-32529-2781729-7562268-6804252.170.02892002-23404-81664-6801360-2720339.530.22092003-13741-111-374374-374374.450.2025200403790000000378.950.0025200513751111375375375375.050.00252006238548166477015403080384.770.052920073430927817291290387011610430.130.0169合計02535280196158862597875167-0.5271第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三3.參數(shù)計算預(yù)測2009年棉產(chǎn)量，須令t=5,得在90%概率保證度下，預(yù)測的置信區(qū)間為～4.模型及預(yù)測第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.4指數(shù)曲線趨勢外推法一、指數(shù)曲線模型及其應(yīng)用

指數(shù)曲線預(yù)測模型為：如果時間序列各期數(shù)值的一階差比率大致相等，就可以配以指數(shù)曲線模型進(jìn)行預(yù)測。回總目錄回本章目錄第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三對函數(shù)模型做線性變換得：令，則這樣，就把指數(shù)曲線模型轉(zhuǎn)化為直線模型了。

回總目錄回本章目錄第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例題年份199920002001200220032004200520062007總需求量165270450740122020103120546090001.選擇模型（1）散點圖第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（2）一階差比率年份199920002001200220032004200520062007總需求量16527045074012202010312054609000一階差比率-1.641.671.641.651.651.551.751.652求解模型參數(shù)年份199920002001200220032004200520062007總需求量16527045074012202010312054609000時序123456789Yt=lnyt5.115.606.116.617.117.618.058.619.10第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三年份時序tYtt^2Y^2tY199915.11126.075.11200025.60431.3411.20200136.11937.3218.33200246.611643.6526.43200357.112550.5035.53200467.613657.8545.64200578.054964.7356.32200688.616474.0568.84200799.108182.9081.94合計4563.89285468.42349.33第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三3.模型及預(yù)測預(yù)測2008年需求量，令t=10(萬件)第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二、修正指數(shù)曲線模型及其應(yīng)用修正指數(shù)曲線預(yù)測模型為：

序列數(shù)值的一階差的一階比率大致相等，可以選用修正指數(shù)曲線模型進(jìn)行預(yù)測?；乜偰夸浕乇菊履夸沘b>00<c<1b<00<c<1yxO第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三參數(shù)求解修正指數(shù)曲線模型中的a,b,c三個參數(shù)求解，可用分組分解法，即把整個時間序列分成相等項數(shù)的三組，以三個組的變量總數(shù)聯(lián)系起來求得。注：n為每組數(shù)值的項數(shù)第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例題年份199920002001200220032004200520062007銷售量50606869.671.171.772.372.873.21.模型選擇第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三某商品銷售量的一階差的一階比率年份199920002001200220032004200520062007銷售量50606869.671.171.772.372.873.2一階差分-1081.61.50.60.60.50.4一階差的一階比率--0.800.200.940.401.000.830.80第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2.參數(shù)的計算年份時序(t)銷售量(yi)199905020001602001268∑Iy-1782002369.62003471.12004571.7∑IIy-212.42005672.32006772.82007873.2∑IIIy-218.3所求模型：3.進(jìn)行預(yù)測第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.5生長曲線趨勢外推法指數(shù)曲線預(yù)測不能預(yù)測接近極限值時的特性值，因為當(dāng)趨近極限值時，特性值已不按指數(shù)規(guī)律增長。如果考慮極限值的影響，就會發(fā)現(xiàn)事物經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展到成熟的過程，因為這條曲線形狀近似于S，所以又稱S曲線。

龔珀茲曲線和皮爾曲線均屬于生長曲線回歸預(yù)測法。

回總目錄回本章目錄第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一、龔珀茲曲線模型及其應(yīng)用

1.龔珀茲曲線預(yù)測模型為：

對函數(shù)模型做線性變換得：

2.在選擇應(yīng)用龔珀茲曲線時，應(yīng)考察歷史數(shù)據(jù)對數(shù)一階差的一階比率是否大致相等。龔珀茲曲線是預(yù)測各種商品市場容量的最佳擬合線?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谖迨豁?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三(1)lga<00<b<1(2)lga<0b>1(3)lga>00<b<1(4)lga>0b>1kkkk回總目錄回本章目錄3.龔珀茲曲線對應(yīng)于不同的lga與b的不同取值范圍而具有間斷點。曲線形式如下圖所示。第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三(1)lga<00<b<1k漸進(jìn)線（k）意味著市場對某類產(chǎn)品的需求

已逐漸接近飽和狀態(tài)?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谖迨?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三(2)lga<0b>1k漸進(jìn)線（k）意味著市場對某類產(chǎn)品的需求已由飽和狀態(tài)開始下降?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谖迨捻?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三(3)lga>00<b<1k漸進(jìn)線（k）意味著市場對某類產(chǎn)品的需求下降迅速，已接近最低水平k?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谖迨屙?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三(4)lga>0b>1k漸進(jìn)線（k）意味著市場對某類產(chǎn)品的需求從最低水平k迅速上升?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谖迨?，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.參數(shù)計算求解模型參數(shù)k,a,b

需將時序數(shù)據(jù)分為相等的三組，對時序值求常用對數(shù)，并將各組時序數(shù)據(jù)按所得對數(shù)值求和，并置t1=0,然后運(yùn)用下列式子求解參數(shù)然后再查反對數(shù)表。第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例如年份時序(t)銷售量(yi)lgy199904.940.6937200016.210.7931200127.180.8561∑Ilgy--2.3429200237.740.8887200348.380.9232200458.450.9269∑IIlgy--2.7388200568.750.9420200679.420.97412007810.241.0103∑IIIlgy--2.9264模型及預(yù)測查反對數(shù)表市場飽和點的需求量是k=10.73萬元，由數(shù)據(jù)可知產(chǎn)品處于生命周期的成熟階段最高峰，銷售量已無增長前景，并可能在某一時刻轉(zhuǎn)入下降趨勢。第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二、皮爾曲線模型及其應(yīng)用皮爾曲線預(yù)測模型為：

皮爾曲線多用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計，也適用于對產(chǎn)品生命周期做出分析，尤其適用于對處在成熟期的商品的市場需求飽和量（或稱市場最大潛力）進(jìn)行分析和預(yù)測。回總目錄回本章目錄第五十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三參數(shù)求解第六十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三時序(t)銷售量(yt)1/yt1/yt+1(1/yt)(1/yt+1)(1/yt)^2150.870.0200.0190.0003780.0003864252.030.0190.0190.0003600.0003694353.330.0190.0190.0003510.0003516453.350.0190.0180.000340