2021-2022學(xué)年遼寧省大連市服裝表演藝術(shù)職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年遼寧省大連市服裝表演藝術(shù)職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合U=R，集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，則AB=

A．{x|1≤x≤3}

B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|0<x≤3}

D．{x|－1≤x<0}參考答案：B略2.設(shè)變量滿足約束條件，則的最小值為

A.-2

B.-4

C.-6

D.-8參考答案：D做出可行域如圖，由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點B時，直線的截距最大，此時最小。由，得，即點,代入得，選D.3.下列幾個式子化簡后的結(jié)果是純虛數(shù)的是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：D4.過拋物線C：的焦點F的直線l交拋物線C于A、B兩點，若拋物線C在點B處的切線斜率為1，則線段（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知是平面上一定點，是平面上不共線的三點，動點滿足，，則點的軌跡經(jīng)過的（

）A．外心

B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心參考答案：A6.定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)且關(guān)于對稱，當(dāng)時，，則（

）

A、0 B、1 C、2 D、3參考答案：D略7.已知正方體被過一面對角線和它對面兩棱中點的平面截去一個三棱臺后的幾何體的主（正）視圖和俯視圖如下，則它的左（側(cè)）視圖是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】簡單空間圖形的三視圖．【專題】常規(guī)題型．【分析】按照三視圖的作法，直接判斷左視圖即可．【解答】解：由題意可知截取三棱臺后的幾何體是7面體，左視圖中前、后平面是線段，上、下平面也是線段，輪廓是正方形，AP是虛線，左視圖為：故選A．【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖的畫法，三視圖是常考題型，值得重視．8.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的表面積為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2由于正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，所以此四面體一定可以放在正方體中，所以我們可以在正方體中尋找此四面體．如圖所示，四面體ABCD滿足題意，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，

由題意可知，正方體的棱長為1，所以外接球的半徑為R=，

所以此四面體的外接球表面積S=4×π×()2=3π．【思路點撥】由于正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，所以此四面體一定可以放在棱長為1的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球表面積．9.函數(shù)的最小正周期為（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：B10.已知，其中i是虛數(shù)單位，那么實數(shù)a等于

（

）

A．3

B．

C．-3

D．-參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為

.參考答案：；12.有三個平面，β，γ，給出下列命題：①若，β，γ兩兩相交，則有三條交線

②若⊥β，⊥γ，則β∥γ③若⊥γ，β∩=a，β∩γ=b，則a⊥b

④若∥β，β∩γ=，則∩γ=其中真命題是

．參考答案：略13.若全集U=R，不等式的解集為A，則?UA=

．參考答案：[﹣1，0]考點：其他不等式的解法；補集及其運算．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題意可得（x+1）?﹣（﹣1）＞1，即＞﹣1，求得A，可得?UA．解答： 解：由不等式，可得（x+1）?﹣（﹣1）＞1，即1+＞0，即＞﹣1，∴x＞0，或x＜﹣1，故A=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴?UA=[﹣1，0]，故答案為：[﹣1，0]．點評：本題主要考查行列式的運算，解分式不等式，集合的補集，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．14.如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________

參考答案：415.設(shè)向量，，若，則______.參考答案：略16.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球O1，球O2的半徑分別為3和1，球心距離,截面分別與球O1，球O2切于點E，F(xiàn)，（E，F(xiàn)是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于______．參考答案：【分析】利用已知條件和幾何關(guān)系找出圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為的余弦值，即可得出橢圓離心率。【詳解】如圖，圓錐面與其內(nèi)切球，分別相切與B,A，連接則，，過作垂直于，連接，交于點C設(shè)圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為在中，，∵△EO2C≌△FO1C解得即則橢圓的離心率【點睛】“雙球模型”橢圓離心率等于截面與軸的交角的余弦與圓錐母線與軸的夾角的余弦之比，即。17.設(shè)全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，則A∩B=，A∪B=，CRA=．參考答案：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】集合．【分析】求出A與B中不等式的解集確定出A與B，找出A與B的交集，并集，求出A的補集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式變形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），?RA=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案為：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題12分）在某高校自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個科目的考試，成績分為A,B,C,D,E五個等級.某考場考生的兩科考試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.(1)求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；(2)若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；(3)已知參加本考場測試的考生中，恰有兩人的兩科成績均為A.在至少一科成績?yōu)锳的考生中，隨機抽取兩人進(jìn)行訪談，求這兩人的兩科成績均為A的概率.

參考答案：(1)因為“數(shù)學(xué)與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，所以該考場有人···············································2分所以該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績等級為A的人數(shù)為， ······················4分（2）該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為···························7分（3）因為兩科考試中，共有6人得分等級為A，又恰有兩人的兩科成績等級均為A，所以還有2人只有一個科目得分為A，設(shè)這四人為甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是兩科成績都是A的同學(xué)，則在至少一科成績等級為A的考生中，隨機抽取兩人進(jìn)行訪談，基本事件空間為{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁},有6個基本事件設(shè)“隨機抽取兩人進(jìn)行訪談，這兩人的兩科成績等級均為A”為事件B，所以事件B中包含的基本事件有1個，則. 12分19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知數(shù)列的遞推公式為（1）令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和.參考答案：（1），又，所以（），所以，數(shù)列是以1為首項3為公比的等比數(shù)列．···················································6分（2），······················································································8分所以數(shù)列的前n項和=．20.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍．參考答案：（1）見解析；（2）．解：（1），①當(dāng)時，，令，解得：，，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，②當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，③當(dāng)時，令，解得：，且，故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，④當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，⑤當(dāng)時，，且，故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）由及（1）知：①時，，不合題意；②時，需滿足條件：極大值，解得，極小值恒成立，當(dāng)時恒成立得，，即，故；③時，在，遞增，，，故；④時，極大值恒成立，極小值，解得，當(dāng)時恒成立得，，即，故，綜上，的范圍是．21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在（，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的值；（2）是否存在正整數(shù)a，使得在（，）上既不是單調(diào)遞增函數(shù)也不是單調(diào)遞減函數(shù)？若存在，試求出a的值，若不存在，請說明理由．參考答案：解（1）∵在（，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，

……………2分f′（1）＝0，∴a＝－．………………6分（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．

∵a是正整數(shù)