熱工基礎(chǔ)第九章

熱工基礎(chǔ)第九章1第一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三研究方法

從連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)出發(fā)，從宏觀的角度來(lái)討論導(dǎo)熱熱流量與物體溫度分布及其他影響因素之間的關(guān)系。

連續(xù)介質(zhì)

一般情況下，絕大多數(shù)固體、液體及氣體都可以看作連續(xù)介質(zhì)。但是當(dāng)分子的平均自由行程與物體的宏觀尺寸相比不能忽略時(shí)，如壓力降低到一定程度的稀薄氣體，就不能認(rèn)為是連續(xù)介質(zhì)。

2第二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三9-1

導(dǎo)熱理論基礎(chǔ)

主要內(nèi)容（1）與導(dǎo)熱有關(guān)的基本概念；（2）導(dǎo)熱基本定律；（3）導(dǎo)熱現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述方法。為進(jìn)一步求解導(dǎo)熱問題奠定必要的理論基礎(chǔ)。1.導(dǎo)熱的基本概念（1）溫度場(chǎng)(temperaturefield)

在時(shí)刻，物體內(nèi)所有各點(diǎn)的溫度分布稱為該物體在該時(shí)刻的溫度場(chǎng)。3第三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

一般溫度場(chǎng)是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中，溫度場(chǎng)可表示為非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)：溫度隨時(shí)間變化的溫度場(chǎng)，其中的導(dǎo)熱稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)：溫度不隨時(shí)間變化的溫度場(chǎng)，其中的導(dǎo)熱稱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。一維溫度場(chǎng)二維溫度場(chǎng)三維溫度場(chǎng)4第四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）等溫面與等溫線

在同一時(shí)刻，溫度場(chǎng)中溫度相同的點(diǎn)連成的線或面稱為等溫線或等溫面。

等溫面上任何一條線都是等溫線。如果用一個(gè)平面和一組等溫面相交,就會(huì)得到一組等溫線。溫度場(chǎng)可以用一組等溫面或等溫線表示。

等溫面與等溫線的特征：

同一時(shí)刻，物體中溫度不同的等溫面或等溫線不能相交；在連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)條件下，等溫面（或等溫線）或者在物體中構(gòu)成封閉的曲面（或曲線），或者終止于物體的邊界，不可能在物體中中斷。

5第五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三（3）溫度梯度(temperaturegradient)

在溫度場(chǎng)中，溫度沿x方向的變化率(即偏導(dǎo)數(shù))

很明顯,等溫面法線方向的溫度變化率最大，溫度變化最劇烈。溫度梯度：等溫面法線方向的溫度變化率矢量：n—等溫面法線方向的單位矢量，指向溫度增加的方向。溫度梯度是矢量，指向溫度增加的方向。6第六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

在直角坐標(biāo)系中，溫度梯度可表示為分別為x、y、z

方向的偏導(dǎo)數(shù);i、j、k

分別為x、y、z方向的單位矢量。（4）熱流密度(heatflux)熱流密度的大小和方向可以用熱流密度矢量q

表示

熱流密度矢量的方向指向溫度降低的方向。ntdAdq7第七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

在直角坐標(biāo)系中，熱流密度矢量可表示為

qx、qy、qz分別表示q在三個(gè)坐標(biāo)方向的分量的大小。2.導(dǎo)熱的基本定律傅里葉（Fourier）于1822年提出了著名的導(dǎo)熱基本定律，即傅里葉定律，指出了導(dǎo)熱熱流密度矢量與溫度梯度之間的關(guān)系。

對(duì)于各向同性物體,傅里葉定律表達(dá)式為

傅里葉定律表明,導(dǎo)熱熱流密度的大小與溫度梯度的絕對(duì)值成正比，其方向與溫度梯度的方向相反。8第八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三標(biāo)量形式的傅里葉定律表達(dá)式為對(duì)于各向同性材料,各方向上的熱導(dǎo)率相等,

由傅里葉定律可知,要計(jì)算導(dǎo)熱熱流量,需要知道材料的熱導(dǎo)率,還必須知道溫度場(chǎng)。所以,求解溫度場(chǎng)是導(dǎo)熱分析的主要任務(wù)。9第九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三傅里葉定律的適用條件：

（1）傅里葉定律只適用于各向同性物體。對(duì)于各向異性物體，熱流密度矢量的方向不僅與溫度梯度有關(guān),還與熱導(dǎo)率的方向性有關(guān),因此熱流密度矢量與溫度梯度不一定在同一條直線上。（2）傅里葉定律適用于工程技術(shù)中的一般穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，對(duì)于極低溫（接近于0K）的導(dǎo)熱問題和極短時(shí)間產(chǎn)生極大熱流密度的瞬態(tài)導(dǎo)熱過程,如大功率、短脈沖(脈沖寬度可達(dá)10-12～10-15s)激光瞬態(tài)加熱等,傅里葉定律不再適用。xyqxqyqnxy10第十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.

熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）

熱導(dǎo)率表明物質(zhì)導(dǎo)熱能力的大小。根據(jù)傅里葉定律表達(dá)式絕大多數(shù)材料的熱導(dǎo)率值都可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得。11第十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三物質(zhì)的熱導(dǎo)率在數(shù)值上具有下述特點(diǎn):(1)對(duì)于同一種物質(zhì),固態(tài)的熱導(dǎo)率值最大,氣態(tài)的熱導(dǎo)率值最??；

(2)一般金屬的熱導(dǎo)率大于非金屬的熱導(dǎo)率；(3)導(dǎo)電性能好的金屬,其導(dǎo)熱性能也好；(4)純金屬的熱導(dǎo)率大于它的合金；

(5)對(duì)于各向異性物體,熱導(dǎo)率的數(shù)值與方向有關(guān)；(6)對(duì)于同一種物質(zhì),晶體的熱導(dǎo)率要大于非定形態(tài)物體的熱導(dǎo)率。

熱導(dǎo)率數(shù)值的影響因素較多,主要取決于物質(zhì)的種類、物質(zhì)結(jié)構(gòu)與物理狀態(tài),此外溫度、密度、濕度等因素對(duì)熱導(dǎo)率也有較大的影響。其中溫度對(duì)熱導(dǎo)率的影響尤為重要。12第十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三溫度對(duì)熱導(dǎo)率的影響：

一般地說,所有物質(zhì)的熱導(dǎo)率都是溫度的函數(shù),不同物質(zhì)的熱導(dǎo)率隨溫度的變化規(guī)律不同。

純金屬的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而減小。一般合金和非金屬的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而增大。

大多數(shù)液體（水和甘油除外）的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而減小。13第十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

在工業(yè)和日常生活中常見的溫度范圍內(nèi),絕大多數(shù)材料的熱導(dǎo)率可近似地認(rèn)為隨溫度線性變化,并表示為

0為按上式計(jì)算的0℃下的熱導(dǎo)率值，并非熱導(dǎo)率的真實(shí)值,如圖所示。b為由實(shí)驗(yàn)確定的常數(shù)，其數(shù)值與物質(zhì)的種類有關(guān)。14第十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三多孔材料的熱導(dǎo)率

絕大多數(shù)建筑材料和保溫材料（或稱絕熱材料）都具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)(如磚、混凝土、石棉、爐渣等),不是均勻介質(zhì),統(tǒng)稱多孔材料。

多孔材料的熱導(dǎo)率是指它的表觀熱導(dǎo)率,或稱作折算熱導(dǎo)率。用于保溫或隔熱的材料。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350℃時(shí)熱導(dǎo)率小于0.12

W/(mK)的材料稱為保溫材料。保溫材料（或稱絕熱材料）：15第十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

多孔材料的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而增大。多孔材料的熱導(dǎo)率與密度和濕度有關(guān)。一般情況下密度和濕度愈大，熱導(dǎo)率愈大。典型材料熱導(dǎo)率的數(shù)值范圍純金屬50～415W/(m·K)

合金12～120W//(m·K)

非金屬固體1～40W//(m·K)

液體(非金屬)0.17～0.7W//(m·K)

絕熱材料0.03～0.12W//(m·K)

氣體0.007～0.17W//(m·K)

16第十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.

導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述（數(shù)學(xué)模型）

（1）導(dǎo)熱微分方程式的導(dǎo)出導(dǎo)熱微分方程式+單值性條件建立數(shù)學(xué)模型的目的：求解溫度場(chǎng)依據(jù)：能量守恒和傅里葉定律。假設(shè)：1）物體由各向同性的連續(xù)介質(zhì)組成；

2）有內(nèi)熱源，強(qiáng)度為，表示單位時(shí)間、單位體積內(nèi)的生成熱，單位為W/m3

。1）根據(jù)物體的形狀選擇坐標(biāo)系,選取物體中的微元體作為研究對(duì)象；導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型的組成：步驟：2）根據(jù)能量守恒,建立微元體的熱平衡方程式；3）根據(jù)傅里葉定律及已知條件,對(duì)熱平衡方程式進(jìn)行歸納、整理，最后得出導(dǎo)熱微分方程式。17第十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三導(dǎo)熱過程中微元體的熱平衡：

單位時(shí)間內(nèi)，凈導(dǎo)入微元體的熱流量d與微元體內(nèi)熱源的生成熱dV之和等于微元體熱力學(xué)能的增加dU,即

d+dV=dU

d

=dx+dy+dz

dx=dx－dx+dx

=qxdydz－qx+dx

dydz18第十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三同理可得從y和z方向凈導(dǎo)入微元體的熱流量分別為于是,在單位時(shí)間內(nèi)凈導(dǎo)入微元體的熱流量為單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)熱源的生成熱：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)微元熱力學(xué)能的增加：根據(jù)微元體的熱平衡表達(dá)式

d+dV=dU可得導(dǎo)熱微分方程式19第十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三導(dǎo)熱微分方程式建立了導(dǎo)熱過程中物體的溫度隨時(shí)間和空間變化的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)熱導(dǎo)率為常數(shù)時(shí),導(dǎo)熱微分方程式可簡(jiǎn)化為

式中2是拉普拉斯算子,在直角坐標(biāo)系中或?qū)懗?/p>

稱為熱擴(kuò)散率,也稱導(dǎo)溫系數(shù),單位為m2/s。

其大小反映物體被瞬態(tài)加熱或冷卻時(shí)溫度變化的快慢。木材a=1.5×10-7

紫銅a=5.33×10-5

20第二十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三導(dǎo)熱微分方程式的簡(jiǎn)化

(1)物體無(wú)內(nèi)熱源：(2)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：(3)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱、無(wú)內(nèi)熱源：2t=0，即

21第二十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三圓柱坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程式

如果為常數(shù)：22第二十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三球坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程式為常數(shù)時(shí)23第二十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

（2）單值性條件

導(dǎo)熱微分方程式推導(dǎo)過程中沒有涉及導(dǎo)熱過程的具體特點(diǎn),適用于無(wú)窮多個(gè)導(dǎo)熱過程,也就是說有無(wú)窮多個(gè)解。

為完整地描寫某個(gè)具體的導(dǎo)熱過程，必須說明導(dǎo)熱過程的具體特點(diǎn),即給出導(dǎo)熱微分方程的單值性條件（或稱定解條件），使導(dǎo)熱微分方程式具有唯一解。

導(dǎo)熱微分方程式與單值性條件一起構(gòu)成具體導(dǎo)熱過程完整的數(shù)學(xué)描述。

單值性條件一般包括：幾何條件、物理?xiàng)l件、時(shí)間條件、邊界條件。24第二十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三1)幾何條件說明參與導(dǎo)熱物體的幾何形狀及尺寸。幾何條件決定溫度場(chǎng)的空間分布特點(diǎn)和分析時(shí)所采用的坐標(biāo)系。2)物理?xiàng)l件說明導(dǎo)熱物體的物理性質(zhì),例如物體有無(wú)內(nèi)熱源以及內(nèi)熱源的分布規(guī)律，給出熱物性參數(shù)(、、c、a等)的數(shù)值及其特點(diǎn)等。3)時(shí)間條件

說明導(dǎo)熱過程時(shí)間上的特點(diǎn),是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱還是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,應(yīng)該給出過程開始時(shí)物體內(nèi)部的溫度分布規(guī)律（稱為初始條件）：25第二十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三4)邊界條件

說明導(dǎo)熱物體邊界上的熱狀態(tài)以及與周圍環(huán)境之間的相互作用。例如,邊界上的溫度、熱流密度分布以及邊界與周圍環(huán)境之間的熱量交換情況等。

常見的邊界條件分為以下三類:(a)第一類邊界條件

給出邊界上的溫度分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律：(b)第二類邊界條件

給出邊界上的熱流密度分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律：26第二十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三(c)第三類邊界條件給出了與物體表面進(jìn)行對(duì)流換熱的流體的溫度tf及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h。

如果物體的某一表面是絕熱的,即qw=0,則物體內(nèi)部的等溫面或等溫線與該絕熱表面垂直相交。

根據(jù)邊界面的熱平衡，由傅里葉定律和牛頓冷卻公式可得

第三類邊界條件建立了物體內(nèi)部溫度在邊界處的變化率與邊界處對(duì)流換熱之間的關(guān)系，也稱為對(duì)流換熱邊界條件。27第二十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三上式描述的第三類邊界條件是線性的,所以也稱為線性邊界條件，反映了導(dǎo)熱問題的大部分實(shí)際情況。

如果導(dǎo)熱物體的邊界處除了對(duì)流換熱還存在與周圍環(huán)境之間的輻射換熱,則邊界面的熱平衡表達(dá)式為

qr

為物體邊界面與周圍環(huán)境之間的凈輻射換熱熱流密度，它與物體邊界和周圍環(huán)境的溫度和輻射特性有關(guān),是溫度的復(fù)雜函數(shù)。這種對(duì)流換熱與輻射換熱疊加的復(fù)合換熱邊界條件是非線性的邊界條件。本書只限于討論具有線性邊界條件的導(dǎo)熱問題。28第二十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)一個(gè)具體導(dǎo)熱過程完整的數(shù)學(xué)描述（即導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型）應(yīng)該包括

建立合理的數(shù)學(xué)模型,是求解導(dǎo)熱問題的第一步,也是最重要的一步。

目前應(yīng)用最廣泛的求解導(dǎo)熱問題的方法有:(1)分析解法、

(2)數(shù)值解法、

(3)實(shí)驗(yàn)方法。這也是求解所有傳熱學(xué)問題的三種基本方法。(1)導(dǎo)熱微分方程式;(2)單值性條件。對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解,就可以得到物體的溫度場(chǎng),進(jìn)而根據(jù)傅里葉定律就可以確定相應(yīng)的熱流分布。本章主要介紹導(dǎo)熱問題的分析解法和數(shù)值解法。

29第二十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三9-2

穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是指溫度場(chǎng)不隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過程.

下面分別討論日常生活和工程上常見的平壁、圓筒壁、球壁及肋壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。1.平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

當(dāng)平壁的兩表面分別維持均勻恒定的溫度時(shí)，平壁的導(dǎo)熱為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。假設(shè)：表面面積為A、厚度為、為常數(shù)、無(wú)內(nèi)熱源，兩側(cè)表面分別維持均勻恒定的溫度tw1、tw2，且tw1

>tw2

。（1）單層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

選取坐標(biāo)軸x與壁面垂直,如圖所示。30第三十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)模型：

x=0,t=tw1

x=

,t=tw2

求解結(jié)果：

可見，當(dāng)為常數(shù)時(shí),平壁內(nèi)溫度分布曲線為直線，其斜率為

由傅里葉定律可得熱流密度通過整個(gè)平壁的熱流量為上式與第八章中給出的公式完全相同。31第三十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三變熱導(dǎo)率問題：

當(dāng)平壁材料的熱導(dǎo)率是溫度的函數(shù)時(shí),平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)模型為x=0,t=tw1

x=

,t=tw2

當(dāng)溫度變化范圍不大時(shí),可以近似地認(rèn)為材料的熱導(dǎo)率隨溫度作線性變化,即可見,當(dāng)平壁材料的熱導(dǎo)率隨溫度作線性變化時(shí),平壁內(nèi)的溫度分布為二次曲線。求解數(shù)學(xué)模型可得平壁內(nèi)的溫度分布為32第三十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三根據(jù)傅里葉定律表達(dá)式

（1）當(dāng)tw1

>tw2

時(shí)，熱流方向與x軸同向，q為正值,而熱導(dǎo)率數(shù)值永遠(yuǎn)為正,所以由上式可見,溫度變化率為負(fù)值。（2）如果b>0,沿x方向隨溫度的降低而減小,溫度曲線斜率的絕對(duì)值增大,曲線向上彎曲（上凸）；（3）如果b<0,溫度曲線向下彎曲。平壁內(nèi)的溫度分布二次曲線形狀的討論：tw1tw20xtb>0b<033第三十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三根據(jù)傅里葉定律，可由溫度分布求得平壁的熱流密度為平壁的算術(shù)平均溫度；為平壁的算術(shù)平均溫度下的熱導(dǎo)率。

上式說明，當(dāng)熱導(dǎo)率隨溫度線性變化時(shí),通過平壁的熱流量可用熱導(dǎo)率為常數(shù)時(shí)的計(jì)算公式來(lái)計(jì)算,但公式中的熱導(dǎo)率為平壁算術(shù)平均溫度下的熱導(dǎo)率m。

式中對(duì)照34第三十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）多層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

多層平壁由多層不同材料組成，當(dāng)兩表面分別維持均勻恒定的溫度時(shí)，其導(dǎo)熱也是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。

以三層平壁為例，假設(shè)（1）各層厚度分別為1、2、3，各層材料的熱導(dǎo)率分別為1、2、3,且分別為常數(shù)；

（2）各層之間接觸緊密,相互接觸的表面具有相同的溫度；

（3）平壁兩側(cè)外表面分別保持均勻恒定的溫度tw1、tw4。

顯然，通過此三層平壁的導(dǎo)熱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,各層的熱流量相同。

35第三十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三三層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的總導(dǎo)熱熱阻為各層導(dǎo)熱熱阻之和，由單層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的計(jì)算公式可得三層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱可以由三個(gè)相互串聯(lián)的熱阻網(wǎng)絡(luò)表示。

由此類推,對(duì)于n層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

利用熱阻的概念,可以很容易求得通過多層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱流量,進(jìn)而求出各層間接觸面的溫度。

36第三十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

2.圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（1）單層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

主要討論圓筒壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中的壁內(nèi)溫度分布及導(dǎo)熱熱流量。假設(shè)：內(nèi)、外半徑分別為

r1、r2，長(zhǎng)度為l，為常數(shù)，無(wú)內(nèi)熱源，內(nèi)外壁溫度tw1、tw2均勻恒定。

按上述條件，壁內(nèi)溫度只沿徑向變化，如果采用圓柱坐標(biāo),則圓筒壁內(nèi)的導(dǎo)熱為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，數(shù)學(xué)模型

r=r1

:t=tw1

r=r2:t=tw2

37第三十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

對(duì)導(dǎo)熱微分方程式進(jìn)行兩次積分,可得通解為圓筒壁內(nèi)的溫度分布為對(duì)數(shù)曲線。代入邊界條件,可得溫度沿r

方向的變化率為其絕對(duì)值沿r

方向逐漸減小。

根據(jù)傅里葉定律,沿圓筒壁r

方向的熱流密度為熱流密度是r的函數(shù)。

38第三十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三但對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,通過整個(gè)圓筒壁的熱流量是不變的,R為整個(gè)圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻,單位是K/W。單位長(zhǎng)度圓筒壁的熱流量為Rl為單位長(zhǎng)度圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻,單位是m·K/W。

實(shí)際上，由于l為常數(shù),根據(jù)傅里葉定律，

將該式分離變量積分，同樣可求得上面的公式。39第三十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

運(yùn)用熱阻的概念，很容易分析多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

以三層圓筒壁為例，無(wú)內(nèi)熱源，各層的熱導(dǎo)率1、2、3均為常數(shù)，內(nèi)、外壁面維持均勻恒定的溫度tw1、tw2。這顯然也是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。通過各層圓筒壁的熱流量相等，總導(dǎo)熱熱阻等于各層導(dǎo)熱熱阻之和:40第四十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)于n層不同材料組成的多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,單位長(zhǎng)度的熱流量為41第四十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三9-3

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過程。

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的類型：（1）周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：（2）非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在周期性變化邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，如內(nèi)燃機(jī)汽缸壁的導(dǎo)熱、一年四季大地土壤的導(dǎo)熱等。

在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，例如熱處理工件的加熱或冷卻等。討論一維非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解法及求解特殊非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的集總參數(shù)法。

了解和掌握非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中溫度場(chǎng)的變化規(guī)律及換熱量的計(jì)算方法。本節(jié)主要內(nèi)容：主要目的：42第四十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.

一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解

第三類邊界條件下大平壁、長(zhǎng)圓柱及球體的加熱或冷卻是工程上常見的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。（1）無(wú)限大平壁冷卻或加熱問題的分析解簡(jiǎn)介假設(shè)：

厚度為2、熱導(dǎo)率、熱擴(kuò)散率a為常數(shù)，無(wú)內(nèi)熱源，初始溫度與兩側(cè)的流體相同并為t0。兩側(cè)流體溫度突然降低為t∞，并保持不變，平壁表面與流體間對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)。

考慮溫度場(chǎng)的對(duì)稱性，選取坐標(biāo)系如圖，僅需討論半個(gè)平壁的導(dǎo)熱問題。

這是一維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

43第四十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三1)數(shù)學(xué)模型：

（對(duì)稱性）

引進(jìn)無(wú)量綱過余溫度、無(wú)量綱坐標(biāo)，F(xiàn)o是無(wú)量綱特征數(shù)，稱為傅里葉數(shù)

稱為畢渥數(shù)

令

過余溫度44第四十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三傅里葉數(shù)的物理意義：

Fo為兩個(gè)時(shí)間之比，是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的無(wú)量綱時(shí)間。畢渥數(shù)的物理意義：

Bi為物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻與邊界處的對(duì)流換熱熱阻之比。由無(wú)量綱數(shù)學(xué)模型可知，是Fo、Bi、X三個(gè)無(wú)量綱參數(shù)的函數(shù)

確定此函數(shù)關(guān)系是求解該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的主要任務(wù)。2）求解結(jié)果：

45第四十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三解的函數(shù)形式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，式中β1,β2,···，βn是下面超越方程的根根有無(wú)窮多個(gè)，是Bi的函數(shù)。無(wú)論Bi取任何值，β1,β2,···，βn都是正的遞增數(shù)列，的解是一個(gè)快速收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)。

由解的函數(shù)形式可以看出，確實(shí)是Fo、Bi、X三個(gè)無(wú)量綱特征數(shù)的函數(shù)46第四十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）分析解的討論1）傅里葉數(shù)Fo對(duì)溫度分布的影響分析解的計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)Fo≥0.2時(shí)，可近似取級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)，對(duì)工程計(jì)算已足夠精確，即

因?yàn)?，所以將上式左、右兩邊取?duì)數(shù)，可得，m為一與時(shí)間、地點(diǎn)無(wú)關(guān)的常數(shù)，只取決于第三類邊界條件、平壁的物性與幾何尺寸。式中式右邊的第二項(xiàng)只與Bi、x/有關(guān)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。47第四十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三上式可改寫為該式說明，當(dāng)Fo≥0.2時(shí)，即時(shí)，平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過余溫度的對(duì)數(shù)都隨時(shí)間線性變化，并且變化曲線的斜率都相等，這一溫度變化階段稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段。上式兩邊求導(dǎo)，可得m的物理意義是過余溫度對(duì)時(shí)間的相對(duì)變化率，單位是s－1，稱為冷卻率（或加熱率）。上式說明，當(dāng)Fo

≥0.2，進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，所有各點(diǎn)的冷卻率都相同，且不隨時(shí)間而變化，其大小取決于物體的物性、幾何形狀與尺寸及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。48第四十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)于平壁中心，上面兩式之比可見，當(dāng)Fo≥0.2，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段以后，雖然與m都隨時(shí)間變化，但它們的比值與時(shí)間無(wú)關(guān)，只取決于畢渥數(shù)Bi與幾何位置x/。

認(rèn)識(shí)正規(guī)狀況階段的溫度變化規(guī)律具有重要的實(shí)際意義，因?yàn)楣こ碳夹g(shù)中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程絕大部分時(shí)間都處于正規(guī)狀況階段

。

49第四十九頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三2）畢渥數(shù)Bi對(duì)溫度分布的影響平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三類邊界條件表達(dá)式上式的幾何意義：在整個(gè)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中平壁內(nèi)過余溫度分布曲線在邊界處的切線都通點(diǎn),即，該點(diǎn)稱為第三類邊界條件的定向點(diǎn)。50第五十頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三畢渥數(shù)Bi對(duì)溫度分布的影響分析(a)

Bi0:

平壁的導(dǎo)熱熱阻趨于零，平壁內(nèi)部各點(diǎn)溫度在任一時(shí)刻都趨于一致，只隨時(shí)間而變化，變化的快慢取決于平壁表面的對(duì)流換熱強(qiáng)度。定向點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。工程上只要Bi≤0.1，就可以近似地按這種情況處理，用集總參數(shù)法進(jìn)行計(jì)算。51第五十一頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

對(duì)流換熱熱阻趨于零，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一開始平壁表面溫度就立即變?yōu)榱黧w溫度，相當(dāng)于給定了壁面溫度，即給定了第一類邊界條件，平壁內(nèi)部的溫度變化完全取決于平壁的導(dǎo)熱熱阻。定向點(diǎn)位于平壁表面上。當(dāng)Bi>100時(shí)可近似按此處理。

(b)

Bi∞:(c)0<Bi<100，按一般情況處理。52第五十二頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三3）平壁與周圍流體之間交換的熱量在0~時(shí)間內(nèi)，微元薄層dx單位面積放出的熱量等于其熱力學(xué)能的變化，在0~時(shí)間內(nèi)，單位面積平壁放出的熱量將Fo≥0.2時(shí)無(wú)量綱過余溫度的近似解代入上式，得？=0xdx0053第五十三頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三（3）諾謨圖1）54第五十四頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三2）55第五十五頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三3）56第五十六頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三幾點(diǎn)說明：

(1)上述分析是針對(duì)平壁被冷卻的情況進(jìn)行的，但分析結(jié)果對(duì)平壁被加熱的情況同樣適用；(2)由于平壁溫度場(chǎng)是對(duì)稱的，所以分析時(shí)只取半個(gè)平壁作為研究對(duì)象，這相當(dāng)于一側(cè)（中心面）絕熱、另一側(cè)具有第三類邊界條件的情況，因此分析結(jié)果也適用于同樣條件的平壁；(3)線算圖只適用于Fo≥0.2的情況;57第五十七頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三(4)對(duì)于圓柱體和球體在第三類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，分別在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下進(jìn)行分析，也可以求得溫度分布的分析解，解的形式也是快速收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)，并且是Bi、Fo和r/R的函數(shù),(5)當(dāng)Fo≥0.2時(shí)，圓柱和球體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程也都進(jìn)入正規(guī)狀況階段，分析解可以近似地取無(wú)窮級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)，近似結(jié)果也被繪成了線算圖。（P217）58第五十八頁(yè)，共六十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.

集總參數(shù)法（Bi≤0.1）

當(dāng)Bi≤0.1時(shí)，物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻遠(yuǎn)小于其表面的對(duì)流換熱熱阻，可以忽略，