高考函數(shù)專題復(fù)習(xí)教師

PAGE第6-頁共12頁函數(shù)與基本初等函數(shù)函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念①設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中任何一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合，以及到的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合到的一個(gè)函數(shù)，記作．②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則．③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)．（2）區(qū)間的概念及表示法①設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實(shí)數(shù)的集合分別記做．注意：對(duì)于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須．（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)．②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合．④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域?yàn)?，其?fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出．⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論．⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義．（4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：①觀察法：對(duì)于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．函數(shù)的表示法（5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．（6）映射的概念①設(shè)、是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中任何一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合，以及到的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合到的映射，記作．②給定一個(gè)集合到集合的映射，且．如果元素和元素對(duì)應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．函數(shù)的基本性質(zhì)一、單調(diào)性與最大（?。┲担?）函數(shù)的單調(diào)性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)．（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增）（4）利用復(fù)合函數(shù)如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)．（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復(fù)合函數(shù)②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)．③對(duì)于復(fù)合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．yxo（2）打“√”函數(shù)yxo分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)．（3）最大（?。┲刀x①一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作．②一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作．二、奇偶性（4）函數(shù)的奇偶性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的表示方法考點(diǎn)1：用圖像法表示函數(shù)[例1]一水池有個(gè)進(jìn)水口,個(gè)出水口,一個(gè)口的進(jìn)、出水的速度如圖甲乙所示.某天點(diǎn)到點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下個(gè)論斷：進(jìn)水量出水量蓄水量甲乙丙（1）點(diǎn)到點(diǎn)只進(jìn)水不出水；（2）點(diǎn)到點(diǎn)不進(jìn)水只出水；（3）點(diǎn)到點(diǎn)不進(jìn)水不出水．則一定不正確的論斷是(把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號(hào)都填上).[解題思路]根據(jù)題意和所給出的圖象，對(duì)三個(gè)論斷進(jìn)行確認(rèn)即可。[解析]由圖甲知，每個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水速度為每小時(shí)1個(gè)單位，兩個(gè)進(jìn)水口1個(gè)小時(shí)共進(jìn)水2個(gè)單位，3個(gè)小時(shí)共進(jìn)水6個(gè)單位，由圖丙知①正確；而由圖丙知，3點(diǎn)到4點(diǎn)應(yīng)該是有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，出水口出水，故②錯(cuò)誤；由圖丙知，4點(diǎn)到6點(diǎn)可能是不進(jìn)水不出水，也可能是兩個(gè)進(jìn)水口都進(jìn)水，同時(shí)出水口也出水，故③不一定正確。從而一定不正確的論斷是（2）【名師指引】象這類給出函數(shù)圖象讓考生從圖象獲取信息的問題是目前高考的一個(gè)熱點(diǎn)，它要求考生熟悉基本的函數(shù)圖象特征，善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。高考中的熱點(diǎn)題型是“知式選圖”和“知圖選式”?？键c(diǎn)2：用列表法表示函數(shù)[例2]已知函數(shù)，分別由下表給出123131123321

則的值為 ；滿足的的值是 [解題思路]這是用列表的方法給出函數(shù)，就依照表中的對(duì)應(yīng)關(guān)系解決問題。[解析]由表中對(duì)應(yīng)值知=；當(dāng)時(shí)，，不滿足條件當(dāng)時(shí)，，滿足條件，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，∴滿足的的值是【名師指引】用列表法表示函數(shù)具有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是從表格發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，用好對(duì)應(yīng)關(guān)系即可?？键c(diǎn)3：用解析法表示函數(shù)題型1：由復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式[例3]已知=，則的解析式可取為[解題思路]這是復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式，應(yīng)該首選換元法[解析]令，則，∴.∴.故應(yīng)填【名師指引】求函數(shù)解析式的常用方法有：①換元法（注意新元的取值范圍）；②待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）；③整體代換（配湊法）；④構(gòu)造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知為奇函數(shù)且為偶函數(shù)等）。題型2：求二次函數(shù)的解析式[例4]次函數(shù)滿足，且。⑴求的解析式；⑵在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)的范圍。[解題思路]（1）由于已知是二次函數(shù)，故可應(yīng)用待定系數(shù)法求解；（2）用數(shù)表示形，可得求對(duì)于恒成立，從而通過分離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可。[解析]⑴設(shè)，則與已知條件比較得：解之得，又，⑵由題意得：即對(duì)恒成立，易得【名師指引】如果已知函數(shù)的類型，則可利用待定系數(shù)法求解；通過分離參數(shù)求函數(shù)的最值來獲得參數(shù)的取值范圍是一種常用方法?？键c(diǎn)4：分段函數(shù)題型2：由分段函數(shù)的解析式畫出它的圖象例6]設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像。[思路點(diǎn)撥]需將來絕對(duì)值符號(hào)打開，即先解，然后依分界點(diǎn)將函數(shù)分段表示，再畫出圖象。[解析],如右上圖.【名師指引】分段函數(shù)的解決辦法是分段處理，要注意分段函數(shù)的表示方法，它是用聯(lián)立符號(hào)將函數(shù)在定義域的各個(gè)部分的表達(dá)式依次表示出來，同時(shí)附上自變量的各取值范圍。函數(shù)的單調(diào)性與最值考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性.題型2：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性[例2]定義在R上的函數(shù)，，當(dāng)x＞0時(shí)，，且對(duì)任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求證：f（0）=1；（2）求證：對(duì)任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范圍.[解題思路]抽象函數(shù)問題要充分利用“恒成立”進(jìn)行“賦值”，從關(guān)鍵等式和不等式的特點(diǎn)入手。[解析]（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=＞0.又x≥0時(shí)f（x）≥1＞0，∴x∈R時(shí)，恒有f（x）＞0.（3）證明：設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函數(shù).（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數(shù)，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.【名師指引】解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.考點(diǎn)2函數(shù)的值域（最值）的求法題型1：求分式函數(shù)的最值[例3]已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；[解題思路]當(dāng)時(shí)，，這是典型的“對(duì)鉤函數(shù)”，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或?qū)?shù)；[解析]當(dāng)時(shí)，，。在區(qū)間上為增函數(shù)。在區(qū)間上的最小值為。【名師指引】對(duì)于函數(shù)若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號(hào)是否成立，否則會(huì)得到而認(rèn)為其最小值為，但實(shí)際上，要取得等號(hào)，必須使得，這時(shí)所以，用均值不等式來求最值時(shí)，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。本題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想；題型2：利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍函數(shù)的奇偶性和周期性考點(diǎn)1判斷函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用題型1：判斷有解析式的函數(shù)的奇偶性[例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；（3）；（4）[思路點(diǎn)撥]判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)依照定義解決，但都要先考查函數(shù)的定義域。[解析]（1）函數(shù)的定義域x∈（－∞，+∞），對(duì)稱于原點(diǎn).∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函數(shù).（2）先確定函數(shù)的定義域.由≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對(duì)稱于原點(diǎn)，所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)定義判斷.由得=，∴f（－x）==－=－f（x）故f（x）為奇函數(shù).（4）∵函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).【名師指引】eq\o\ac(○,1)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì),定義域具有對(duì)稱性(即若奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域?yàn)镈,則時(shí))是一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件eq\o\ac(○,2)分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明.③判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式.考點(diǎn)2函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用[例3]已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。[思路點(diǎn)撥]欲求的取值范圍，就要建立關(guān)于的不等式，可見，只有從出發(fā)，所以應(yīng)該利用的奇偶性和單調(diào)性將外衣“”脫去。[解析]是定義在上奇函數(shù)對(duì)任意有由條件得=是定義在上減函數(shù)，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)3函數(shù)奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用[例5]已知定義在上的偶函數(shù)滿足對(duì)于恒成立，且，則________[思路點(diǎn)撥]欲求，應(yīng)該尋找的一個(gè)起點(diǎn)值，發(fā)現(xiàn)的周期性[解析]由得到，從而得，可見是以4為周期的函數(shù)，從而，又由已知等式得又由是上的偶函數(shù)得又在已知等式中令得，即所以【名師指引】近年將函數(shù)的奇偶性、周期性綜合在一起考查逐步成為一個(gè)熱點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性（奇偶性）。1.函數(shù)的反函數(shù)是()A．B．C．D．2.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是(A) (B) (C) (D)3.在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間上的任意，恒成立”的只有(A) (B)(C) (D)4.已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)則(A)(B)(C)(D)5.函數(shù)的定義域是A.B.C.D.6、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是A.B.C.D.7、函數(shù)的反函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)(如右圖所示)，則方程在上的根是A.4B.3C.2D.18、設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是(A)是奇函數(shù)(B)是奇函數(shù)(C)是偶函數(shù)(D)是偶函數(shù)9、已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則A．B．C．D．10、設(shè)(A)0(B)1(C)2(D)311、對(duì)a，bR，記max{a，b}＝，函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是(A)0(B)(C)(D)312、關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；其中假命題的個(gè)數(shù)是A．0B．1C．2D．3一、選擇題1解：由得：，所以為所求，故選D。２解：依題意，有0a1且3a－10，解得0a，又當(dāng)x1時(shí)，(3a－1)x＋4a7a－1，當(dāng)x