一道變質(zhì)量問題的分析與解答

一道變質(zhì)量問題的分析與解答伍佑中學(xué)于正榮問題如圖1所示，質(zhì)量為M=1.0kg、長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.0m的勻質(zhì)鐵鏈靜放在桌面上，現(xiàn)以豎直向上的恒力作用于鐵鏈的一端，將鐵鏈從桌面豎直提起。當(dāng)整條鐵鏈剛離開桌面時(shí)，速度為v=4.0m／s，取g=10m／s2。則整條鐵鏈離開桌面時(shí)的加速度為多大?錯(cuò)解設(shè)恒力大小為F，提起過程中，恒力F做正功，重力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理有：（1）整條鐵鏈離開桌面的瞬間，根據(jù)牛頓第二定律有：（2）由（1）、（2）兩式解得a=3m／s2。分析恒力在將鐵鏈逐漸提起的過程中，鐵鏈的各部分依次被牽拉而向上運(yùn)動(dòng)。在被拉直部分的正下方、仍處于靜止?fàn)顟B(tài)的一小段鐵鏈（微元），在極短的時(shí)間內(nèi)被拉入上方豎直運(yùn)動(dòng)的主體鐵鏈而進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。此極短過程類似于兩個(gè)物體相碰撞而粘合在一起，相當(dāng)于一個(gè)完全非彈性碰撞。因而鐵鏈在提起的過程中必定不斷存在著耗散內(nèi)力做功，不可避免地導(dǎo)致整個(gè)鐵鏈機(jī)械能的損失。所以對(duì)提起鐵鏈的過程，不能將鐵鏈看成一個(gè)運(yùn)動(dòng)整體，而只能把它看成質(zhì)點(diǎn)組處理。質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理告訴我們：質(zhì)點(diǎn)組（系統(tǒng)）所受外力及內(nèi)力做功的代數(shù)和等于質(zhì)點(diǎn)組（系統(tǒng)）動(dòng)能的增量。顯然，錯(cuò)解中的（1）式在應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，只考慮了外力的做功，沒有考慮系統(tǒng)內(nèi)力的做功，結(jié)果自然存在問題。正解1本題是一道典型的變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)問題，通常需用普通物理中的密切爾斯基方程求解：設(shè)t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)主體的質(zhì)量為m，速度為，經(jīng)過dt時(shí)間后，有質(zhì)量為dm的質(zhì)點(diǎn)并入到m中，dm并入前的速度為。合并后運(yùn)動(dòng)主體的質(zhì)量變?yōu)椋╩+dm），共同速度為（v+dv）。如果作用于主體m及并入質(zhì)點(diǎn)dm的合外力為，則密切爾斯基方程為：（3）本題情形特殊，即并入部分dm的速度=0，所以（3）式可簡(jiǎn)化為：。取已提起的、長(zhǎng)為l的豎直部分（運(yùn)動(dòng)主體）為研究對(duì)象，其質(zhì)量，設(shè)其速度為v。該部分受拉力F和重力mg作用。根據(jù)有：，變形后得：（4）將（4）式的等號(hào)兩邊同時(shí)乘以（mv）后分離變量并作積分，有：。由于、，所以上式可變?yōu)椋?，化?jiǎn)后得：，變形后可得恒力F所做的功為：（5）（5）式明顯與前面的（1）式不同。并且由（5）式還可以看出，恒力F所做的功比鐵鏈增加的動(dòng)能和重力勢(shì)能之和多了，這部分能量正是由于鐵鏈之間的不斷粘合而損失的。前面的（1）式顯然沒有注意到這一點(diǎn)。將M=1.0kg、L=1.0m、v=4.0m／s代入（5）式可解得F=N，再代入（2）式得a=m／s2，這才是本題的正確答案。上述解答，顯然已經(jīng)超出了中學(xué)物理的范疇。實(shí)際上，作為一道物理競(jìng)賽題，本題還可用中學(xué)階段的微元疊加的方法、力和運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立作用原理求解。下面給出兩種解答，希望能使大家對(duì)該類問題的處理有所認(rèn)識(shí)或啟示。解答2利用微元法和數(shù)學(xué)遞推的方法求解。將整個(gè)鐵鏈分成相等長(zhǎng)度的n等份，每等份長(zhǎng)度，質(zhì)量。鐵鏈提起的整個(gè)過程，可等效為若干次的豎直部分的勻加速提升、豎直部分與即將運(yùn)動(dòng)部分之間發(fā)生粘合（完全非彈性碰撞）的組合。首先是第一等份被恒力F拉起高度，速度由零變?yōu)関1，此過程可看成是勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：（6）其中。緊接著第一等份與第二等份發(fā)生粘合，粘合后速度變?yōu)?，由?dòng)量守恒定律有：，得，即有：（7）前兩份再被恒力拉起高度，速度變?yōu)椋诉^程的加速度，仍根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：（8）前兩份再與第三等份發(fā)生粘合，速度變?yōu)?，再由?dòng)量守恒定律有：，得：。即有：（9）以此類推…，當(dāng)最后一等份與前（n-1）份發(fā)生粘合后，整條鐵鏈被完全拉起。通過數(shù)學(xué)遞推，不難得到鐵鏈被全部提起時(shí)速度的表達(dá)式為：（10）由于、、、…，所以（10）式可化簡(jiǎn)為：（11）當(dāng)時(shí)，、，所以對(duì)（11）式取極限后可簡(jiǎn)化為：（12）將v=4.0m／s代入（12）式，可得F=N，再代入（2）式同樣可解得a=m／s2，結(jié)果與解答1完全一致。本解答雖然過程復(fù)雜，計(jì)算繁瑣，但卻容易被中學(xué)生接受。解答3根據(jù)力和運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立作用原理求解。假設(shè)鐵鏈不受重力作用，并以速度v0向上勻速運(yùn)動(dòng)，考察這時(shí)必須施以鐵鏈的外力F。顯然力F的作用就是在時(shí)間內(nèi)使質(zhì)量為的鐵鏈（微元）從靜止離開地面加速至速度v，由動(dòng)量定理得：。由于，，代入上式可求得：（13）即在不考慮鐵鏈本身重力的情況下，恒力F的作用恰好可使鐵鏈以的速度勻速向上運(yùn)動(dòng)。再考慮鐵鏈本身重力的作用。若鐵鏈向上做初速度為零、加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)問內(nèi)，一方面質(zhì)量為的鐵鏈離開地面獲得速度v；另一方面已經(jīng)處于豎直運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、質(zhì)量為m的鐵鏈速度增加了。以（+m）為研究對(duì)象，設(shè)該部分鐵鏈所受合力為，則由動(dòng)量定理得：，即，由于、，化簡(jiǎn)后得：（14）其中l(wèi)為豎直部分鐵鏈的長(zhǎng)度。令恰好等于豎直部分鐵鏈的重力，即：，則有：（15）即鐵鏈的重力恰可使鐵鏈向上做初速度為零，加速度的勻變速運(yùn)動(dòng)。最后再根據(jù)力和運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立作用原理可知：鐵鏈在恒定向上的拉力和豎直部分重力的共同作用下將做初速、加速度的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，因此鐵鏈的速度-時(shí)間關(guān)系應(yīng)滿足：；位移-時(shí)間關(guān)系應(yīng)滿足：。將=1m、v=4.0m／s代入上述兩式可解得s、F=N，再代入（2）式可得a=m／s2。另外，根據(jù)（13）式可知：若將靜止在地面