2022年下半年教師資格考試高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力模擬試卷兩套附解析

2022年下半年中小學(xué)國(guó)家教師資格考試

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力（高級(jí)中學(xué)）模擬卷1

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.已知/（%）=卜+2x）x,**°在30處連續(xù)，則A=（）?

［k,x=0

A.l

B.e

C.e2

D.e-

2.函數(shù)/（%）=x2-6x+5在區(qū)間［1,5］上滿足羅爾定理的值為（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

_°2\

3.已知4=-13I則R（A）=（）。

62）

A.1

B.2

C.3

D.4

/I10\

4.矩陣101的特征值的個(gè)數(shù)是（）o

\202/

A.1

B.2

C.3

D.4

5.設(shè)有直線，：［上［：｝）］及平面兀：4%-2、+2-2=0,則直線1

（乙］—V—J.UZI5—U

與平面冗的位置關(guān)系為（）o

A.平行

B.相交且?jiàn)A角為30°

C.相交且?jiàn)A角為60°

D.垂直

6.已知甲乙丙三人進(jìn)行設(shè)計(jì)，擊中靶心的概率分別為:、；、p則甲乙丙三人

234

每人射擊一次，沒(méi)有射中靶心的概率為（）。

7.下列選項(xiàng)中，（）不屬于幾何作圖三大難題。

A.最短路徑問(wèn)題

B.三等分角問(wèn)題

C.立方倍積問(wèn)題

D.化圓為方問(wèn)題

8.體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)方面有：情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與

表達(dá)以及交流與反思，其中的情境不包括（）。

A.現(xiàn)實(shí)情境

B.數(shù)學(xué)情境

C.科學(xué)情境

D.具體情境

二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

9.已知y=/（%）由方程cos（xy）-Iny+x=1確定,求Jmn[f弓）-1卜

10.設(shè)常數(shù)k>0,試判別函數(shù)f(%)=Znx-1+k在(0,+8)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

(x0<%<1

11.設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)f(%)=\kx-ll<x<2

(0其它

(1)確定常數(shù)k；

(2)求X的分布函數(shù)F(%)；

(3)求P《<x<|｝。

12.數(shù)學(xué)教學(xué)中常見(jiàn)的定義方式有哪些，請(qǐng)舉例說(shuō)明。

13.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)方面有哪些?

三、解答題（本大題1小題，10分）

%+2%3+3%4=1

14.解非齊次線性方程組+&+3孫=5。

3%i+為+2%4=4

四、論述題（本大題1小題，15分）

15.談一談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想？

五、案例分析題（本大題1小題，20分）

16.若不等式a/+%+a<0的解集為空集，則實(shí)教a的取位范圍為（工

A.a<一］或a>!

1

B.QV-2

1I

C.--<a<-

22

1

D.a>-

2

解：由題意，方程a%2+%+a=0的根的判別式AW0,解得a<一:或a>5

所以選A。

問(wèn)：（1）指出解題過(guò)程中的錯(cuò)誤之處；

（2）分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因；

（3）給出正確解法，并簡(jiǎn)述應(yīng)采用哪些教學(xué)措施避免此類(lèi)錯(cuò)誤的發(fā)生。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題（本大題1小題，30分）

17.對(duì)于高中數(shù)學(xué)“等差數(shù)列”。

（1）給出“等差數(shù)列”通項(xiàng)公式的證明過(guò)程

（2）設(shè)計(jì)“等差數(shù)列”的教學(xué)目標(biāo)；

（3）設(shè)計(jì)“等差數(shù)列”的教學(xué)過(guò)程。

2022年下半年中小學(xué)國(guó)家教師資格考試

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力(高級(jí)中學(xué))模擬卷1

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

1.【答案】C

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)——極限與連續(xù)——函數(shù)的連續(xù)

【解析】本題主要考查連續(xù)的相關(guān)知識(shí)。由題，lim/O)=lim(l+2x)x=

x-*ox-*0

i

lim(l+2X)2X'2=e2,/(0)=k,又/(%)在x=0處連續(xù),所以1嗎/'(%)=f(0),

即/c=e2o

故正確答案為C。

2.【答案】C

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)——導(dǎo)數(shù)與微分——微分學(xué)基本定理

【解析】本題主要考查羅爾定理的相關(guān)知識(shí)。由題，函數(shù)/'(%)在區(qū)間［1,5］上

連續(xù),在(1,5)內(nèi)可導(dǎo),且/(I)=f(5)=0,所以fQO在區(qū)間［1,5］上滿足羅爾定

理,由:(%)=2x-6,可知在(1,5)內(nèi)存在一點(diǎn)f=3,使得/&)=0o

故正確答案為Co

3.【答案】C

【考點(diǎn)】線性代數(shù)——矩陣——矩陣的初等變換

【解析】本題主要考查秩的相關(guān)知識(shí)。由題，對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換可得

102102102102

-130-1-1-1-1-1-1，非零行的

4040-30

36206—4<00-10000

行數(shù)為3,因此R(/)=3o

故正確答案為C。

4.【答案】C

【考點(diǎn)】線性代數(shù)——線性方程組——一般線性方程組

【解析】本題主要考查特征值的相關(guān)知識(shí)。矩陣為三階矩陣，因此由三個(gè)特

征值。

故正確答案為c。

5.【答案】D

【考點(diǎn)】空間與圖形——解析幾何——空間平面與直線

【解析】本題主要考查直線與平面位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)。由題，令直線/：

{^-y-lOz^+^O的方向向量為￡,則￡=(132)x(2,-1,-10)=

iJk一

132=-2灰+141-7k=(—28,14,-7)。令平面兀的法向量為有，則

2-1-10

n=(4,-2,l)o因?yàn)榭?/記，所以直線/，平面兀。

故正確答案為Do

6.【答案】C

【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)——概率——隨機(jī)事件的概率

【解析】本題主要考查概率的相關(guān)知識(shí)。由題，甲乙丙三人每人射擊一次,

沒(méi)有射中靶心，說(shuō)明甲乙丙三人都沒(méi)有射中靶心，因此概率為

9。-￡H。

故正確答案為Co

7.【答案】A

【考點(diǎn)】課程知識(shí)——數(shù)學(xué)史——幾何作圖三大難題

【解析】本題主要考查數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)。幾何作圖三大難題為：三等分角

問(wèn)題、立方倍積問(wèn)題、化圓為方問(wèn)題。

故正確答案為A。

8.【答案】D

【考點(diǎn)】課程知識(shí)——高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)——教學(xué)與評(píng)價(jià)建議

【解析】本題主要考查學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的相關(guān)知識(shí)。情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、

數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境；問(wèn)題是指在情境中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

故正確答案為Do

二、簡(jiǎn)答題(本大題共5小題，每小題7分，共35分)

9.【參考答案】

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)——極限與連續(xù)——函數(shù)的極限；高等數(shù)學(xué)——導(dǎo)數(shù)與微

分——導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；

由方程cos(初)—Iny+x=1可知，當(dāng)％=0時(shí)，/(0)=1。又limn\f(-)—

n->ooL\n/

1]=lim=2lim’(響一’⑼=2Iim，(博一，⑼=2f(0),方程cosQy)-

1n-8元n—87Ao元

Iny+x=1兩邊同時(shí)對(duì)％進(jìn)行求導(dǎo)得—si?i(xy)(y+xy')—2?y'+1=0,將N=0,

丫=1代入得/(0)=1。

故原式limn\f(-)-1]=2f'(0)=2y'(0)=2。

n-?ooL\n/J

10.【參考答案】

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)——導(dǎo)數(shù)與微分——導(dǎo)數(shù)的意義與應(yīng)用

由題，可得函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得尸(x)令/⑺=

0,解得％=e。當(dāng)0<%<e,/(%)>0,所以f(%)在(0,e)上單調(diào)遞增。當(dāng)%〉e

時(shí)，0,所以/(%)在(e,+8)上單調(diào)遞減。因此f(%)在％=e處取得極大值

為f(e)=k>0。

又limf(%)=-8,limf(x)=-oo,因此f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。

X->0%T+8

IL【參考答案】

【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)——概率——隨機(jī)事件的概率

(1)由/曹/(%)dx=l,得J:xdx+—l)dx=1,解得k=1。

'%0<x<1

(2)由(1)可知X具有概率密度函數(shù)/"(%)=1<^<2,則X的分

、0其它

‘0%<0

甘xdx0<x<1

布函數(shù)F(x)=<4，即F(x)=

Jpxdx+(x(%—l)dx1<x<2

<1x>2

r0%<0

-x20<%<1

0

-x2-%+11<x<2

2

<1x>2

(3)—OMX

12.【參考答案】

【考點(diǎn)】課程知識(shí)——高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)——課程概述

（1）屬加種差定義法（最常用的定義方式），對(duì)某一概念有若干屬概念，從

最鄰近的屬概念出發(fā)來(lái)定義，即把被定義的概念歸入另一個(gè)較為普遍的概念（屬

概念）。被定義的概念=最鄰近的屬概念+種差。概念的種差，就是在同一個(gè)屬概

念里，一個(gè)種概念與其他種概念之間本質(zhì)屬性的差別。

例如：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

例如：一組對(duì)邊平行并且相等的四邊形叫做平行四邊形。

鄰近的屬加種差的定義方法有兩種特殊形式：

①發(fā)生式定義方法。它是以被定義概念所反映的對(duì)象產(chǎn)生或形成的過(guò)程作為

種差來(lái)下定義的。

例如，“在平面內(nèi)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)等距離運(yùn)動(dòng)所成的軌跡叫做圓”即

是發(fā)生式定義。在其中，種差是描述圓的發(fā)生過(guò)程。

②關(guān)系定義法。它是以被定義概念所反映的對(duì)象與另一對(duì)象之間關(guān)系或它與

另一對(duì)象對(duì)第三者的關(guān)系作為種差的一種定義方式。

例如，若0b=N,貝iJlogaN=b（a>0,aHl）

（2）揭示外延式定義：數(shù)學(xué)中有些概念，不易揭示其內(nèi)涵，可直接指出概

念的外延作為它的定義。也就是列舉“被定義概念所屬的、所有互不相容的種概

念”的方式下定義。

①逆式定義法，

例如：實(shí)數(shù)是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的總稱；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；正弦、余

弦、正切和余切函數(shù)叫做三角函數(shù)；橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；邏輯

的和、非、積運(yùn)算叫做邏輯運(yùn)算等等

②約定定義法，例如：a0=1（a#0）,0!=1。

13.【參考答案】

【考點(diǎn)】課程知識(shí)——高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)——教學(xué)與評(píng)價(jià)建議

體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)方面如下：

（1）情境與問(wèn)題

情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，問(wèn)題是指在情境中提出的數(shù)

學(xué)問(wèn)題;

（2）知識(shí)與技能

主要是指能夠幫助學(xué)生形成相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的知識(shí)與技能;

（3）思維與表達(dá)

主要是指數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中反映的思維品質(zhì)、表述的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性;

（4）交流與反思

主要是指能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言直觀地解釋和交流數(shù)學(xué)的概念、結(jié)論、應(yīng)用和思想

方法，并能進(jìn)行評(píng)價(jià)、總結(jié)與拓展。

三、解答題（本大題1小題，10分）

14.【參考答案】

［考點(diǎn)】線性代數(shù)一一線性方程組一一線性方程組解的結(jié)構(gòu)

對(duì)增廣矩陣B=（4b）=（；0231\

1305進(jìn)行初等變換有

0124/

/I02

213

\301

0012\

55

2314

10可知RQ4)=

55

71

015-?/

（1.7

X1=+5

RQ4,b）=3,方程組有解，同解方程組為《久2=￡/+￡，可得方程的一個(gè)特解

3=一7廣『1

7

5/-h

1423

為〃=5，基礎(chǔ)解系為5故所求方程組得通解為

7

/-1\

2314

k5+5，其中k為任意常數(shù)。

_71

7/

四、論述題（本大題1小題，15分）

15.【參考答案】

【考點(diǎn)】教學(xué)技能——教學(xué)實(shí)施——有效數(shù)學(xué)教學(xué)

①在知識(shí)形成過(guò)程中培養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念、法則、公式、性質(zhì)等知識(shí)都明顯地寫(xiě)在教材中，是有“形”的，

而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系里，是無(wú)“形”的，并且不成體系地分散

在教材各章節(jié)之中。因此數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)必須通過(guò)具體的教學(xué)過(guò)程加以實(shí)現(xiàn)。

在教學(xué)中，要重視概念的形成過(guò)程；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理、公式進(jìn)行探索、發(fā)現(xiàn)、推

導(dǎo)；最后再引導(dǎo)學(xué)生歸納得出結(jié)論。

②在問(wèn)題解決過(guò)程中培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法存在于問(wèn)題的解決過(guò)程中，數(shù)學(xué)問(wèn)題的步步轉(zhuǎn)化無(wú)不遵循著數(shù)

學(xué)思想方法的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)思想方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中具有舉足輕重的地位。

滲透數(shù)學(xué)思想方法，不僅可以加快和優(yōu)化問(wèn)題解決的過(guò)程，而且還可以達(dá)到會(huì)一

題而明一路、通一類(lèi)的效果。通過(guò)滲透，盡量讓學(xué)生將數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為獨(dú)立

獲取知識(shí)和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。

③在反復(fù)運(yùn)用過(guò)程中培養(yǎng)

在抓住學(xué)習(xí)重點(diǎn)、突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)及解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中，數(shù)學(xué)思想方法是處

理這些問(wèn)題的精髓，這些問(wèn)題的解決過(guò)程，無(wú)一不是數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用的過(guò)

程，因此，時(shí)時(shí)注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用條件，這是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)行之

有效的普遍途徑，數(shù)學(xué)思想方法也只有在反復(fù)運(yùn)用中，才能得到鞏固與深化。

總之，重視并加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透不但有利于提高課堂教學(xué)

效率，而且有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和思維能力。但是，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)

思想方法的滲透，效果不是一朝一夕就能見(jiàn)到的，而是需要一個(gè)過(guò)程。因此，在

教學(xué)過(guò)程中，要有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容，做到持之以恒、循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)

練，才能使學(xué)生真正地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)能力的提升。

五、案例分析題（本大題1小題，20分）

16.【參考答案】

【考點(diǎn)】教學(xué)技能——教學(xué)評(píng)價(jià)——課堂教學(xué)評(píng)價(jià)

（1）解題過(guò)程中的錯(cuò)誤之處在于：沒(méi)有討論a=0時(shí)的情形，忽視了拋物線

開(kāi)口方向?qū)︻}目的影響。

（2）一方面學(xué)生在解決不等式的過(guò)程中出現(xiàn)了計(jì)算上的錯(cuò)誤，屬于知識(shí)方

面的原因，是對(duì)于二次函數(shù)與不等式之間關(guān)系的理解不清，忽視了二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)

于二次函數(shù)的影響；另一方面也屬于心理方面的原因，可能是因?yàn)榇中拇笠馑鶎?dǎo)

致的。

（3）正確答案選D項(xiàng)。不等式a/+%+。<0的解集為空集，若a=0,

則不等式為％<0,解集不符合已知條件，則aHO。若aX2+x+a<o的解集為

空集，則需二次函數(shù)y=ax2+x+a的開(kāi)口向上且與％軸無(wú)交點(diǎn)，所以a>0且AW

0,解得a23

教學(xué)措施：

①知識(shí)呈現(xiàn)的改進(jìn)建議。

要認(rèn)真分析學(xué)生出錯(cuò)的原因，找準(zhǔn)錯(cuò)誤的根源，對(duì)癥施教。加強(qiáng)二次項(xiàng)系數(shù)

為參數(shù)的不等式題目的教學(xué)，注意解題過(guò)程中思路的嚴(yán)謹(jǐn)，并將數(shù)形結(jié)合的思想

運(yùn)用在解題過(guò)程中。

②教學(xué)方式的改進(jìn)建議。

教師要認(rèn)真了解和研究學(xué)生，樹(shù)立正確的學(xué)生觀。由于不含參數(shù)的不等式在

學(xué)生以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸，因此可以利用舊知引出新知，遵循款生思維發(fā)展的

規(guī)律，并且重視創(chuàng)設(shè)情境和知識(shí)總結(jié)，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)體系。

③必要的鞏固練習(xí)。

在學(xué)生掌握該知識(shí)的基礎(chǔ)上要進(jìn)行分層練習(xí)，形式多樣，講究實(shí)效，做到能

圍繞教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)強(qiáng)化練習(xí)，針對(duì)易混、易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)比練習(xí)。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題（本大題1小題，30分）

17.【參考答案】

【考點(diǎn)】教學(xué)技能——教學(xué)設(shè)計(jì)——教學(xué)設(shè)計(jì)工作

（1）由定義可知，an+1-an=d,因此

%一/二山

-02=d；

一=d；

an_an_i=d；

左右累加得與一%=（九一l）d,故冊(cè)=%+（九一l）do

（2）教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解并掌握等差數(shù)列的概念，了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的

推導(dǎo)過(guò)程及思想。

過(guò)程與方法目標(biāo)：在領(lǐng)會(huì)函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移

來(lái)研究數(shù)列，提高知識(shí)、方法遷移能力；通過(guò)階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和

解決問(wèn)題的能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的研究，養(yǎng)成主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)

的求知精神與細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。

（3）教學(xué)過(guò)程

一、導(dǎo)入新課

教師活動(dòng)：教師PPT展示幾道題目：

1.我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開(kāi)始，每隔5數(shù)一個(gè)數(shù)，可以得到數(shù)列：0,5,

10,15,20,25o

2.小明目前會(huì)100個(gè)單詞，他她打算從今天起不再背單詞了，結(jié)果不知不覺(jué)

地每天忘掉2個(gè)單詞，那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞減為：100,

98,96,94,92o

3.2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重正式列為比賽項(xiàng)目，

該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別，其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48,

53,58,63o

教師提出問(wèn)題：這幾組數(shù)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生活動(dòng)：預(yù)設(shè)學(xué)生回答從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于一個(gè)常

數(shù)。

教師活動(dòng)：教師順勢(shì)引入新課——等差數(shù)列。

二、探索新知

環(huán)節(jié)一

教師活動(dòng)：教師給出等差數(shù)列的概念，并提出問(wèn)題：等差數(shù)列的概念中，我

們應(yīng)該注意哪些細(xì)節(jié)呢？能否將等差數(shù)列滿足的關(guān)系式用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表示呢？

組織學(xué)生同桌之間進(jìn)行討論，討論結(jié)束后找學(xué)生代表回答討論結(jié)果

學(xué)生活動(dòng)：預(yù)設(shè)學(xué)生回答“從第二項(xiàng)起“滿足條件；公差d一定是由后項(xiàng)減前

項(xiàng)所得；每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個(gè)常數(shù)；數(shù)學(xué)表達(dá)式：冊(cè)+1-瑪=

d(n>1)o

教師活動(dòng)：教師再次提問(wèn)：公差d一定是大于0的嗎？給予一定的時(shí)間，組

織學(xué)生思考并搶答，教師針對(duì)學(xué)生的回答結(jié)果做相應(yīng)評(píng)價(jià)。

學(xué)生活動(dòng)：預(yù)設(shè)學(xué)生得出結(jié)論公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0。

環(huán)節(jié)二

教師活動(dòng)：教師提出問(wèn)題：同學(xué)們可以根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)出等差數(shù)列

的通項(xiàng)公式嘛？教師組織學(xué)生根據(jù)目標(biāo)問(wèn)題四人一組進(jìn)行討論，教師進(jìn)行巡視指

導(dǎo)，交流討論結(jié)束后，找學(xué)生代表回答討論結(jié)果，教師評(píng)價(jià)。

學(xué)生活動(dòng)：經(jīng)過(guò)小組討論，預(yù)設(shè)學(xué)生給出通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程：

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得冊(cè)+1-an=d,所以=a3-a2=d,

a4—a3=d,…，于是a2=%+d,a3=a2+d=+2d,a4=a3+d=+

3d,?-?,以此類(lèi)推an=%+(建—l)d。

環(huán)節(jié)三

教師活動(dòng)：教師組織學(xué)生梳理和總結(jié)本節(jié)新課的重難點(diǎn)并展示相關(guān)例題，引

導(dǎo)學(xué)生完成并展示。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生利用所學(xué)在練習(xí)冊(cè)上完成例題。

三、鞏固練習(xí)

教師通過(guò)多媒體展示不同類(lèi)型不同層次的練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)自思考并作

答，或者找同學(xué)代表到黑板上進(jìn)行板演，完成后教師針對(duì)結(jié)果給予評(píng)價(jià)并總結(jié)。

四、課堂小結(jié)。

教師引導(dǎo)學(xué)生可以從知識(shí)方面，能力方面或情感等方面暢談本節(jié)課的收獲,

針對(duì)學(xué)生的回答，相機(jī)評(píng)價(jià)并總結(jié)。

五、作業(yè)布置。

學(xué)生完成書(shū)后剩余練習(xí)題或者自主設(shè)計(jì)一道能用本節(jié)課知識(shí)解決的生活實(shí)

際問(wèn)題。

2022年下半年中小學(xué)國(guó)家教師資格考試

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力（高級(jí)中學(xué)）模擬卷2

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

(%一l)asin----,%W1

1.設(shè)函數(shù)f(%)=2(IT)在％=1處可導(dǎo)，則常數(shù)a的取值

、0,x=1

范圍為()。

A.a<0

B.0<a<1

C.a=1

D.a>1

(102\

2.已知矩陣4=213,則父1=()

\325/

/100\

A.-210

\-301/

/100\

B.-210

\1-21/

/—14—2\

C.-1-11

\1-21/

(142\

D.111

\121/

3.已知/(x)=Ji(t+l)dt9則-(%)=()o

B.e2x+e*+2+義

C.2ex+4+4

D.e2x—〃+專一專

24v2n

4.已知=l—棄v+1v1尸妥7則己2)=()

A.e2

B.sin2

C.cos2

D.tan2

5.直線5濘=亭=一與直線5｛第透的夾角為（）。

6.二次型2/+孫+丫2是（）o

A.正定的

B.負(fù)定的

C.半正定的

D.半負(fù)定的

7.教師講授知識(shí)，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行獨(dú)立作業(yè)，通過(guò)獨(dú)立作業(yè)掌握基

礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，培養(yǎng)能力，發(fā)展智力的方法是對(duì)（）的闡述。

A.講授法

B.談話法

C.講練結(jié)合法

D.發(fā)現(xiàn)法

8.以下關(guān)于評(píng)價(jià)的語(yǔ)句，錯(cuò)誤的是（）

A.評(píng)價(jià)的目的是考查學(xué)生學(xué)習(xí)的成效，進(jìn)而也考查教師教學(xué)的成效

B.通過(guò)考查，診斷學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)與不足，進(jìn)而診斷教師教學(xué)過(guò)程中

的優(yōu)勢(shì)與不足

C.通過(guò)診斷，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，進(jìn)而改進(jìn)教師的教學(xué)行為，促進(jìn)學(xué)生數(shù)

學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成

D.評(píng)價(jià)就是為了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握程度

二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

22_

9.求雙曲線器-左=1在點(diǎn)（2a,gb）處的切線方程和法線方程。

10.已知函數(shù)f（x）=2x3-6x2-18%4-3,試求:

（1）函數(shù)f。）的單調(diào)區(qū)間、極值；

（2）函數(shù)/（%）在上的最大值、最小值。

11.設(shè)矩陣M=（其中a>0,b>0）

（1）若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-i；

（2）若曲線C：x2+y2=1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C'：

-

——I-y2=1,求a,b的值。

4

12.簡(jiǎn)單說(shuō)明創(chuàng)造良好課堂教學(xué)氣氛的意義。

13.談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的模型思想？

三、解答題(本大題1小題，10分)

14.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)％<2a。>0)時(shí)/'(%)>0,當(dāng)％>2a時(shí)

f(%)<0,證明：在開(kāi)區(qū)間(0,a)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使/(f+a)=f紇+2a).

四、論述題（本大題1小題，15分）

15.舉例說(shuō)明直觀想象的含義，內(nèi)容及表現(xiàn)是什么？

五、案例分析題（本大題1小題，20分）

16.“直線與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)片段。

教師：同學(xué)們?cè)诤＿吙催^(guò)日出嗎？下面請(qǐng)同學(xué)們欣賞一段視頻，海邊看日出

視頻。（多媒體播放視頻，學(xué)生看視頻）

教師：如果我們從數(shù)學(xué)的角度看，看到的是怎樣的幾何圖形？請(qǐng)同學(xué)們猜想

并動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)。

學(xué)生：畫(huà)一畫(huà)。

教師：通過(guò)觀察這幾幅圖，知道直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種嗎？分別怎樣

定義？

學(xué)生：直線與圓有三種位置關(guān)系：相離、相切、相交。當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公

共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)直線與圓相交；當(dāng)直線與圓有唯一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)直線與圓

相切，這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn)，直線叫做圓的切線；當(dāng)直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，我們

說(shuō)直線與圓相離。

教師：能否根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到圓心的距離d和半徑r作比較，類(lèi)

似地推出如何用點(diǎn)到直線的距離d和半徑7?之間的關(guān)系來(lái)確定三種位置關(guān)系呢？

學(xué)生：從點(diǎn)到直線的距離（d與r的大小關(guān)系來(lái)判斷）：d<r時(shí)，直線與圓相

交；d=r時(shí)，直線與圓相切；d>r時(shí)，直線與圓相離。

教師：那若給直線和圓的方程，大家應(yīng)該清楚如何判定二者位置關(guān)系了吧？

學(xué)生：……（一片沉寂，竊竊私語(yǔ)）

問(wèn)題：

（1）分析上述教學(xué)片段，教學(xué)過(guò)程中教師哪些教學(xué)行為值得肯定？

（2）分析上述教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題，并進(jìn)行改進(jìn)。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題（本大題1小題，30分）

17.“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是用坐標(biāo)法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們

的方程，通過(guò)方程研究它們的簡(jiǎn)單性質(zhì)的。在此基礎(chǔ)上完成下列問(wèn)題：

（1）在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容前，學(xué)生已具備了哪些相關(guān)知識(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？

（2）寫(xiě)出本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)；

（3）設(shè)計(jì)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程。

2022年下半年中小學(xué)國(guó)家教師資格考試

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力（高級(jí)中學(xué)）模擬卷2

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.【答案】D

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—導(dǎo)數(shù)與微分——導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】本題主要考查可導(dǎo)的相關(guān)知識(shí)。因?yàn)閒(x)在％=1處可導(dǎo)，所以r(%)=

1汕叵皿=所竺/息=：吧(％_1尸-%譏公不存在,又s譏元片是有

x->lX-1X->1X-1

界函數(shù)，因此要使得極限存在，則有l(wèi)im(x-1尸-1=0,所以a-1>0,即a>1。

故正確答案為D。

2.【答案】C

【考點(diǎn)】線性代數(shù)——矩陣——矩陣的運(yùn)算

【解析】本題主要考查逆矩陣的相關(guān)知識(shí)。由題，g02100\

13010-

25001/

/I02100\/I02100\

01-1-210-01-1-210-

\02-1-301/\0011-21/

/I00-14-2\/-I4-2\

010-1-11,所以尸=-1-110

\0011-21/\1-21/

故正確答案為Co

3.【答案】B

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)——積分——定積分

【解析】本題主要考查積分上限函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。由題，/(%)=Ji(t+l)dt,

X

則廣⑺=0+l)(e-y-Q+l)QY=e2x+姬+++專。

\人/\人/人人

故正確答案為B。

4.【答案】C

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)——導(dǎo)數(shù)與微分——微分學(xué)基本定理

【解析】本題主要考查泰勒公式的相關(guān)知識(shí)。由題，=+

v2n

(-l)n—?jiǎng)t/'(%)=cosx,因此f(2)=cos2o

故正確答案為Co

5.【答案】C

【考點(diǎn)】空間與圖形——解析幾何——空間平面與直線

【解析】本題主要考查直線與平面位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)。由題，令直線匕、%的

,Ijk一

方向向量分別為￡、可,則￡=（1,一2,1）,方=1-1o=-t-J+2k=

021

所以直線匕與直線。夾角8的余弦值cos?=昌署因此夾角8=

7T

-o

3

故正確答案為C。

6.【答案】A

【考點(diǎn)】線性代數(shù)——二次型——正定二次型和正定矩陣

【解析】本題主要考查二次型的相關(guān)知識(shí)。由題，二次型27+%y+y2對(duì)應(yīng)矩

2-.

陣的一階順序主子式為|2|>0,二階順序主子式為12=：>0,所以二次型

|14

2x2+xy+y?是正定的。

故正確答案為A。

7.【答案】A

【考點(diǎn)】教學(xué)知識(shí)——教學(xué)方法——常用的教學(xué)方法

【解析】本題主要考查教學(xué)方法的相關(guān)知識(shí)。講練結(jié)合法是教師講授知識(shí)，學(xué)生

在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行獨(dú)立作業(yè)，通過(guò)獨(dú)立作業(yè)掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，培養(yǎng)能

力，發(fā)展智力的方法。

故正確答案為A。

8.【答案】D

【考點(diǎn)】課程知識(shí)——高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)——教學(xué)與評(píng)價(jià)建議

【解析】本題主要考查評(píng)價(jià)建議的相關(guān)知識(shí)。評(píng)價(jià)的目的是考查學(xué)生學(xué)習(xí)的成效,

進(jìn)而也考查教師教學(xué)的成效。通過(guò)考查，診斷學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)與不足，

進(jìn)而診斷教師教學(xué)過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)與不足；通過(guò)診斷，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，進(jìn)而

改進(jìn)教師的教學(xué)行為，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成。

故正確答案為Do

二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

9.【參考答案】

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)——導(dǎo)數(shù)與微分——導(dǎo)數(shù)的意義與應(yīng)用

將點(diǎn)(2a,Kb)代入方程得真一卷=某一得=1,即點(diǎn)(2a,回)在雙曲線上且是

切點(diǎn)。

方程左右兩邊同時(shí)對(duì)%求導(dǎo)得a-誓=0,得y'=怒，因此過(guò)點(diǎn)(2a,8b)得切

線斜率4—2ab"—衛(wèi)_一2?

所以過(guò)點(diǎn)(2a,Bb)的切線方程為y-V5b=鬻(％-2@),E［J2bx-43ay-

ab=0；法線方程為y—>/3b=一溪—2a),即V^ax+2by—2y/3(a2+b2)=

0o

10.【參考答案】

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一導(dǎo)數(shù)與微分——導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

(1)由題得，f(x)的定義域?yàn)镽,廣。)=6%2-12%-18=6(%-3)(%+1),

令尸(x)=0,解得％=-1或3。

因此f(%)在或⑶+8)單調(diào)遞增，在(-1,3)單調(diào)遞減，所以f(%)在％=-1

處取得極大值八一1)=13,在％=3處取得極小值/'(3)=-51o

綜上f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-1),(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,3),極大

值為/'(-1)=13,極小值為f(3)=-51。

(2)由⑴可得f(%)在［一2,1］上先增后減，又f(-2)=-1,/(-I)=13,f⑴=

-19,所以函數(shù)f。)在［一2,1］上的最大值f(-1)=13,最小值為八函=一19。

11.【參考答案】

【考點(diǎn)】線性代數(shù)——線性變換——線性變換的運(yùn)算

(1)若a=2,b=3,則M=(g),\M\=1^2=6,M*=(:：),因此

'U'\J''UNi'

(2)設(shè)曲線C：/+y2=1上任意一點(diǎn)p(%y),它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換

作用下得到點(diǎn)P'(x',y'),則焉：)?=(力即貪羨又點(diǎn)p’3,y')在曲

j222

線C'上，所以《+y'2=l,即上；+b2y2=1,又點(diǎn)p(%,y)滿足/+y2=1,

因此｛:：二:，因?yàn)閍>0,b>0,所以1二j

12.【參考答案】

課堂氣氛的優(yōu)劣直接制約和影響師生關(guān)系，教學(xué)過(guò)程和結(jié)果，雙方信息與情感的

交流。良好的課堂教學(xué)氣氛可以促進(jìn)教師和學(xué)生有效的互動(dòng)活動(dòng)，使師生雙方精

神煥發(fā)，思維活躍，在課堂教學(xué)過(guò)程中，使教師教和學(xué)生學(xué)的最佳心理狀態(tài)互相

吻合，激發(fā)了師生潛能的充分發(fā)揮，從而較好地完成教學(xué)任務(wù)。而消極的課堂氣

氛是一種消沉的、緊張的氛圍，會(huì)使師生態(tài)度消極，思維反映遲鈍，注意力不夠

集中，從而嚴(yán)重制約師生教與學(xué)的積極性、創(chuàng)造性，使得正常的教學(xué)任務(wù)難以完

成，教學(xué)效益更是無(wú)從談起。

13.【參考答案】

模型思想是是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型

的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、

不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的

意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)

用意識(shí)。培養(yǎng)學(xué)生的模型思想需要：

第一，模型思想需要教師在教學(xué)中逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟。模型思想的感

悟應(yīng)該蘊(yùn)涵于概念、命題、公式、法則的教學(xué)中，并與數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀

念等的培養(yǎng)緊密結(jié)合.

第二，使學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境一一建立模型一一求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程。

“問(wèn)題情境一一建立模型一一求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)中模型思

想的基本要求，也有利于學(xué)生在過(guò)程中理解、掌握有關(guān)知識(shí)技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)

經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想的本質(zhì)，這一過(guò)程更有利于學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決

問(wèn)題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

第三，結(jié)合綜合實(shí)踐活動(dòng)的開(kāi)展，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

第四，通過(guò)數(shù)學(xué)建模改善學(xué)習(xí)方式。

三、解答題(本大題1小題，10分)

14.【參考答案】

【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一極限與連續(xù)一一函數(shù)的連續(xù)

令g(%)=f(%+a)-f(%+2a),則g(0)=f(a)-f(2a),由題當(dāng)％<2a時(shí)

/'(%)>0,f(x)單增，因此f(a)</(2a),g(0)<0；

g(a)=/(2a)—f(3a),由題當(dāng)x>2a時(shí)尸(%)<0/(X)單減,因此f(2a)>/(3a),

g(a)>0；

g(x)=f(x+a)-f{x+2a),則g(x)可導(dǎo)且連續(xù)，由于g(0),g(a)<0,因此

根據(jù)零點(diǎn)定理可知g(x)在(0,a)內(nèi)至少存在一點(diǎn)f使得g(x)=0,即/?管+a)-

f(f+2a)=0,故(0,a)內(nèi)至少存在一點(diǎn)f使得f(f+a)=f(f+2a)。

四、論述題(本大題1小題，15分)

15.【參考答案】

【考點(diǎn)】課程知識(shí)——高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)——課程概述

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特

別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)，主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位

置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立形與數(shù)的聯(lián)

系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思

路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。

直觀想象主要表現(xiàn)為建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問(wèn)題，借助幾何直觀

理解問(wèn)題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物。

通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展結(jié)合直觀和空間想象

力，增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)；形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情

境中感悟事物的本質(zhì)。

五、案例分析題(本大題1小題，20分)

16.【參考答案】

【考點(diǎn)】教學(xué)技能——教學(xué)評(píng)價(jià)——課堂教學(xué)評(píng)價(jià)

(1)教學(xué)片段中，教師的教學(xué)行為值得肯定之處有：①教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)之前

學(xué)習(xí)的舊知，既檢驗(yàn)了學(xué)生對(duì)之前知識(shí)的掌握情況，又通過(guò)舊知引出新知。

②教師運(yùn)用多媒體進(jìn)行教學(xué)，體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》

中提出的數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注

意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合。

(2)教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題：①《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中指

出教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。應(yīng)采用多樣化的評(píng)價(jià)

方式，恰當(dāng)呈現(xiàn)并合理利用評(píng)價(jià)結(jié)果，發(fā)揮評(píng)價(jià)的激勵(lì)作用，保護(hù)學(xué)生的自尊心

和自信心。而案例中，針對(duì)學(xué)生的回答以及討論，教師并沒(méi)有及時(shí)作出相應(yīng)的評(píng)

價(jià)。②《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出學(xué)生是主體，教師是引導(dǎo)者、

組織者、合作者，而案例中，教師未組織學(xué)生進(jìn)行討論，對(duì)于本節(jié)課較難的知識(shí)

點(diǎn)未做好循序漸進(jìn)的過(guò)渡，最后提出的問(wèn)題太過(guò)籠統(tǒng)，缺少目的性和啟發(fā)性，導(dǎo)

致學(xué)生思維跨越太大，無(wú)法解答。

改進(jìn)方案：①在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該關(guān)注每一位學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，

不僅要評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，也要評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)的過(guò)程。②對(duì)于本節(jié)課的重點(diǎn)或難點(diǎn)

知識(shí)，教師在備課時(shí)應(yīng)該做好預(yù)設(shè)，對(duì)于難點(diǎn)知識(shí)要注意循序漸進(jìn)式的引導(dǎo)，通

過(guò)圖形可以直觀得到直線與圓的位置關(guān)系，而如果給定的是直線和圓的方程，應(yīng)

該引導(dǎo)學(xué)生思考，如何根據(jù)給定的直線和圓的方程找到d和r的關(guān)系，或找到二

者交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，從而總結(jié)出直線與圓的位置關(guān)系的判定方法。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)