山西省長治市李莊中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省長治市李莊中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為

A．-1

B．0

C．1

D．2參考答案：B2.已知集合，，則所含元素的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．6 C．8 D．10參考答案：D3.閱讀如圖所示的程序框圖，輸出結(jié)果的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知i為虛數(shù)單位，則z=在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而求出其所在的象限即可．【解答】解：z===，故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，是一道基礎(chǔ)題．5.將一根鋼管鋸成三段,焊接成一個(gè)面積為,形狀為直角三角形的框架,有下列四種長度的鋼管供選用,其中最合理(夠用且最省)的是（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：C6.△的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,已知,,,則△的面積為 （）

A. B. C.

D.參考答案：B略7.某校學(xué)生會(huì)為研究該校學(xué)生的性別與語文、數(shù)學(xué)、英語成績(jī)這3個(gè)變量之間的關(guān)系，隨機(jī)抽查了100名學(xué)生，得到某次期末考試的成績(jī)數(shù)據(jù)如表1至表3，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知該校學(xué)生語文、數(shù)學(xué)、英語這三門學(xué)科中（

）A.語文成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大，數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小B.數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大，語文成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小C.英語成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大，語文成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小D.英語成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大，數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小參考答案：C【分析】根據(jù)題目所給的列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論?！驹斀狻恳?yàn)椋杂⒄Z成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大，語文成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小.故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和處理能力。8.函數(shù)f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，則以下判斷不正確的是（）A．是奇函數(shù) B．為f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心C．f（x）在上單調(diào)遞增 D．f（x）在（0，）上單調(diào)遞減參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用誘導(dǎo)公式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得所得函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及它的圖象的對(duì)稱性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的圖象向左平移個(gè)單位后，得到y(tǒng)=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的圖象，再根據(jù)所得關(guān)于y軸對(duì)稱，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函數(shù)，故A正確；當(dāng)x=時(shí)，f（x）=0，故（，0）是f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）沒有單調(diào)性，故C不正確；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）單調(diào)遞減，故D正確，故選：C．9.在直線上任取一點(diǎn)Q，過Q作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB恒過的點(diǎn)是A．（0，1） B．（0，2） C．（2，0） D．（1，0）參考答案：B10.設(shè)復(fù)數(shù)eiθ=cosθ+isinθ，則復(fù)數(shù)e的虛部為（）A． B． C．i D．i參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】把代入已知條件，求出三角函數(shù)值即可得到復(fù)數(shù)的虛部．【解答】解：由eiθ=cosθ+isinθ，得e=，∴復(fù)數(shù)e的虛部為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了三角函數(shù)的求值，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），則sinα的值為

．參考答案：考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：求得sinβ和cosβ的值，根據(jù)已知條件判斷出α+β的范圍，進(jìn)而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的兩角和公式求得答案．解答： 解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，∴0＜α+β＜，∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)．解題過程中判斷出α+β的范圍是解題的最重要的一步．12.對(duì)于函數(shù)，給出下列五個(gè)命題：①存在，使；②存在，使；③存在，函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱；④函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱；⑤函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位就能得到的圖像，其中正確命題的序號(hào)是_________參考答案：③④略13.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是

．參考答案：15【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體：左邊是三棱柱、右邊是三棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度，由柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積．【解答】解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)組合體：左邊是三棱柱、右邊是三棱錐，三棱柱底面是側(cè)視圖：等腰直角三角形，兩條直角邊是3，三棱柱的高是3；三棱錐的底面也是側(cè)視圖，高是1，所以幾何體的體積是V==15，故答案為：15．14.如圖偽代碼的輸出結(jié)果為．參考答案：26【考點(diǎn)】偽代碼．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=1+1+3+…+9的值．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=1+1+3+…+9的值并輸出．∵S=1+1+3+…+9=26故答案為：2615.圓心為且與直線相切的圓的方程是

.參考答案：答案：解析：半徑R=，所以圓的方程為16.(幾何證明)如圖,是圓的切線,切點(diǎn)為,

點(diǎn)、在圓上，，

則圓的面積為

.參考答案：略17.（幾何證明選講選做題）如圖，直角三角形中，，，以為直徑的圓交邊于點(diǎn)，，則的大小為

．

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知a≥2，函數(shù)F（x）=min{x3﹣x，a（x+1）}，其中min{p，q}=．（1）若a=2，求F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)F（x）在[﹣1，1]上的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）令f（x）=x3﹣x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），畫出函數(shù)f（x），g（x）的圖象，結(jié)合圖象求出F（x）的遞減區(qū)間即可；（2）根據(jù)a的范圍，在[﹣1，1]上，F(xiàn)（x）=f（x）=x3﹣x，求出F（x）的最大值即可．【解答】解：（1）令f（x）=x3﹣x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），令f（x）=g（x），解得：x=﹣1或x=2，畫出函數(shù)f（x），g（x）的圖象，如圖示：，顯然x≤1時(shí)，f（x）≤g（x），x＞1時(shí)，f（x）＞g（x），故F（x）=，故F（x）在在（﹣，）遞減；（2）由（1）得：a≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=，而＞2，故在[﹣1，1]上，F(xiàn)（x）=f（x）=x3﹣x，而f（x）在[﹣1，﹣）遞增，在（﹣，）遞減，在（，1]遞增，故F（x）的最大值是F（1）=0．19.已知梯形中，∥，，

，、分別是、上的點(diǎn)，∥，，是的中點(diǎn).沿將梯形翻折，使平面⊥平面(如圖).(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求證：⊥；(Ⅱ)若以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；(Ⅲ)當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）作于，連，由平面平面知

平面而平面，故又四邊形為正方形

∴

又，故平面而平面

∴.

（Ⅱ）∵，面面

∴面又由（Ⅰ）平面

∴

所以＝

即時(shí)有最大值為．（Ⅲ）設(shè)平面的法向量為∵

,，，

∴

則

即取

則

∴

面的一個(gè)法向量為則<>由于所求二面角的平面角為鈍角所以，此二面角的余弦值為－.

20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)Q（1，0）的直線l與橢圓C相較于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1?k2取最大值時(shí)，求直線l的方程．參考答案：考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）由題意可得：b=c=，a=2，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，利用向量計(jì)算公式可得k1k2=；當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立可得（m2+2）y2+2my﹣3=0，利用斜率計(jì)算公式與根與系數(shù)的關(guān)系可得k1?k2==，令t=4m+1，只考慮t＞0時(shí)，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答： 解：（1）由題意可得：b=c=，a=2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，k1k2==；當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，化為（m2+2）y2+2my﹣3=0，，y1y2=，又x1=my1+1，x2=my2+1，∴k1?k2=====，令t=4m+1，只考慮t＞0時(shí)，∴k1?k2=+=≤1，當(dāng)且僅當(dāng)t=5時(shí)取等號(hào)．綜上可得：直線l的方程為：x﹣y﹣1=0．點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線斜率計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了換元法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓Ｃ的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到Ｆ的距離為．（Ⅰ）求橢圓Ｃ的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求的方程；（2）求證：|MN|為定值．參考答案：（I）因?yàn)?，所?/p>

所以橢圓的方程為，

又=2,所以準(zhǔn)圓的方程為.

（II）（1）因?yàn)闇?zhǔn)圓與軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2）,設(shè)過點(diǎn)P（0，2），且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為,

所以，消去y，得到

,

因?yàn)闄E圓與只有一個(gè)公共點(diǎn),所以

,

解得.所以方程為.

（2）①當(dāng)中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，因?yàn)榕c橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)(或)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是(或)，即為(或)，顯然直線垂直；同理可證方程為時(shí)，直線垂直.

②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為,則，消去得到，即,，經(jīng)過化簡(jiǎn)得到:,因?yàn)?，所以?設(shè)的斜率分別為,因?yàn)榕c橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足上述方程,所以，即垂直.

綜合①②知：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，且垂直，所以線段MN為準(zhǔn)圓的直徑，所以|ＭＮ|＝４.

略22.橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作垂直于軸的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若，且.（Ⅰ）求橢圓的方程