線性代數(shù)二次型和對(duì)稱矩陣的有定性

線性代數(shù)二次型和對(duì)稱矩陣的有定性第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三一、正定二次型正定矩陣定義由定義，可得以下結(jié)論：

充分性是顯然的；下面用反證法證必要性：

代入二次型，得

2第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三由上述兩個(gè)結(jié)論可知，研究二次型的正定性，只要通過非退化線性變換，將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，就容易由以下定理判別其正定性。

3第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三定理推論實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的特征值全為正。?正定矩陣。這是因?yàn)椋?第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三解例1判別二次型是否正定。二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為

5第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三全為正，

因此二次型正定。

6第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三定理設(shè)矩陣A正定，則

（1）A的主對(duì)角元全為正；

證明7第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三上述定理是A正定的必要條件，但不是充分條件。

定理8第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三解例2判別二次型是否正定。二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為

它的順序主子式為：

因此

A是正定的，

即二次型

f正定。

9第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三解例3設(shè)有實(shí)二次型

問

t

取何值時(shí)，該二次型為正定二次型？

f的矩陣為順序主子式為：

解得10第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三?實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在可逆矩陣C，使得

實(shí)際上，正定二次型的規(guī)范形為即A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E，即存在可逆矩陣C，使11第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三?證因?yàn)橛谑?2第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三2、其它有定二次型定義如果二次型不是有定的，就稱為不定二次型。

13第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三顯然，A是負(fù)定（半負(fù)定）的當(dāng)且僅當(dāng)-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下結(jié)論：

（2）A負(fù)定的充分必要條件是A的特征值全負(fù)；

（3）A半負(fù)定的充分必要條件是A的特征值非正；

（4）A負(fù)定的充分必要條件是A的奇數(shù)階順序主子式全為負(fù)而偶數(shù)階順序主子式全為正；

（1）A半正定的充分必要條件是A的特征值非負(fù)；

（5）若A負(fù)定，則A的對(duì)角元全為負(fù)。

注意:1.最后一條只是必要條件。2.A的順序主子式全非負(fù)，A也未必是半正定的。14第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三例如，設(shè)矩陣顯然A的順序主子式但對(duì)角元有正有負(fù)，顯然A是不定的。15第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三例5判定下列二次型是否是有定二次型。

解（1）f的矩陣為

順序主子式

所以

f是負(fù)定的。16第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三例5判定下列二次型是否是有定二次型。

解（2）f的矩陣為

順序主子式

所以

f是不定的。17第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三練習(xí)：P222習(xí)題五18第十八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三ENDEND19第十九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期三選用例題1、解C是正定的。且C是實(shí)對(duì)稱陣，故C是正定矩陣。20