線性方程組矩陣的秩

線性方程組矩陣的秩1第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三2第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩，矩陣A的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩。A的列向量組為3第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三問題：一個(gè)矩陣的行秩與列秩之間的關(guān)系如何？

為此我們引入下面關(guān)于矩陣等價(jià)

(相抵)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形(相抵標(biāo)準(zhǔn)形)的概念。這部分內(nèi)容請(qǐng)參見書上P168—170,P37--38！4第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三定義：給定兩個(gè)m×n矩陣A與B，若A可以經(jīng)過矩陣的初等變換化為B，則稱矩陣A與B是

等價(jià)的。否則稱矩陣A與B是不等價(jià)的。由矩陣等價(jià)的定義，易得矩陣等價(jià)有下列性質(zhì)：1.反身性：即對(duì)矩陣A，有A與A等價(jià)。2.對(duì)稱性：即若A與B等價(jià)，則B與A等價(jià)。3.傳遞性：即若A與B等價(jià)，且B與C等價(jià)，則A與C等價(jià)。5第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三等價(jià)的作用是將所有的m×n矩陣進(jìn)行等價(jià)分類，每一類中的任意兩個(gè)矩陣均是等價(jià)的，

任意兩類中的矩陣均不等價(jià),每一類中的矩陣可能有一些共同的性質(zhì)，我們只要在每一類中取出一個(gè)矩陣(一般選較簡單的)進(jìn)行研究，就可以知道這一類中所有矩陣的一些(共同)的性質(zhì)。

一個(gè)應(yīng)用，如果兩個(gè)矩陣等價(jià)(行變換)，則以這兩個(gè)矩陣為增廣矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組同解。反之，若兩個(gè)矩陣(行,列數(shù)分別相同)為增廣矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組同解，則這兩個(gè)矩陣等價(jià)*。6第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三定理；任一m×n矩陣A=(aij)均可經(jīng)過矩陣的初等變換化為(

等價(jià)于)下列矩陣之一。(m=n)(m<n)7第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三(m>n)矩陣中沒寫出的元素均為零。這三種矩陣的行秩=列秩=矩陣中1的個(gè)數(shù)。

8第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三證明：若A=0，則命題成立。下設(shè)A≠0，不妨設(shè)(若不然，經(jīng)過互換兩行兩列

可使變化后的矩陣中)利用初等行變換有再利用初等列變換進(jìn)一步化為

繼續(xù)對(duì)右下角的(m–1)×(n–1)

矩陣重復(fù)上述步驟，9第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三定義：定理中給出的三種矩陣稱為矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形

(相抵標(biāo)準(zhǔn)形)

。

(它的行秩=列秩)經(jīng)過一系列初等行，列變換之后，矩陣A可化為定理中所給出的矩陣之一。例1.求矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。其中解：10第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三矩陣B即為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。11第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三下面我們給出關(guān)于矩陣秩的一個(gè)定理。定理:1)矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩與列秩;2)矩陣的初等列變換不改變矩陣的行秩與列秩.(*即初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。)證明1)：設(shè)A為m×n矩陣，其行向量組為列向量組為由向量組極大線性無關(guān)組的求法中，我們有：則A,B的行向量組等價(jià),所以A的行秩=B的行秩.12第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

即矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩，下面證矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。設(shè)A=12n的列秩為r且(不妨設(shè))

12r就是A的列向量的一個(gè)極大無關(guān)組(只要證明A的列秩=B的列秩即可)13第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三由矩陣消元法知道：齊次線性方程組14第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三同前面一樣由矩陣消元法知道，15第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

由上所述，矩陣的初等行變換不改變矩陣A的行秩與列秩。同樣矩陣的初等行變換不改變矩陣AT的行秩與列秩,16第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

因?yàn)锳的行(列)向量組就是AT的列(行)向量組,所以,對(duì)AT作初等行變換就相當(dāng)于對(duì)A作初等列變換。

所以矩陣的初等列變換不改變矩陣A的列秩與行秩.定理：矩陣的行秩=列秩。17第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三定義：矩陣A的行秩(列秩)稱為A的秩,記為

例2.求矩陣A的秩,其中18第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

作為矩陣秩的一個(gè)應(yīng)用，我們給出下面的定理(線性方程組有解判別定理)—書上P96

。

19第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三證明：設(shè)線性方程組⑴的向量表示為且⑴有解的充分必要條件是“必要性”設(shè)⑴有解，20第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三理由，見書上P88,P72—習(xí)題3。

21第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三即線性方程組⑵有解。至此，定理證完。*定理隱含了⑴無解的充分必要條件是問題：對(duì)線性方程組⑴，當(dāng)將定理應(yīng)用到齊次線性方程組上，則有

22第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三定理：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的秩小于未知量的個(gè)數(shù)。*特別當(dāng)齊次線性方程組的方程個(gè)數(shù)

<

未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，必有非零解。例3：判斷方程組是否有解。解：對(duì)

⑴的增廣矩陣施以初等行變換化為階梯形矩陣，23第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三由此階梯形矩陣可得24第二十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三