2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材新高考第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式教案

常用邏輯用語(yǔ)

［考試要求］

1.通過典型數(shù)學(xué)命題，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判

定定理與充分條件的關(guān)系，性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系，理解數(shù)學(xué)定義與充要條

件的關(guān)系.

2.通過實(shí)例，理解全稱量詞命題與存在量詞命題的意義，能正確對(duì)兩種命題

進(jìn)行否定.

［走進(jìn)教材-分實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

齡梳理?必備知識(shí)

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p0q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件

〃是〃的充分不必要條件p今q且q與p

〃是4的必要不充分條件〃於且。今〃

p是q的充要條件p妗q

p是q的既不充分也不必要條件p勢(shì)且q與p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞,

并用符號(hào)“工”表示.

(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量

詞，并用符號(hào)“旦”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

將含有變量x的語(yǔ)句用p(x)，q(x)，4%),…表示,變量x的取值

范圍用M表示

結(jié)構(gòu)

存在M中的元素x,p(x)

對(duì)M中任意一個(gè)%,〃⑴成立

成立

簡(jiǎn)記RXRM,

否定」p(x)VxSM,rp(x)

提醒：含有一個(gè)量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

［常用結(jié)論］

設(shè)p,<7成立的對(duì)象構(gòu)成的集合分別為A,B.

(l)p是q的充分不必要條件0AB;

(2)p是q的必要不充分條件㈡A崔3;

(3)p是q的充要條件0A=8;

(4)p是q的既不充分也不必要條件0A與8沒有包含關(guān)系.

?激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

⑴當(dāng)〃是q的充分條件時(shí)，q是〃的必要條件.()

⑵“龍>1”是“x>0”的充分不必要條件.()

(3)“三角形的內(nèi)角和為180°”是存在量詞命題.()

(4)寫全稱量詞命題的否定時(shí)，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.()

［答案］⑴J(2)V(3)X(4)V

二'教材習(xí)題衍生

1.”。-1)(九+2)=0"是“x=l”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B［若x=l,則(x—l)(x+2)=0顯然成立，但反之不成立，即若(x—l)(x+

2)=0,則x的值也可能為-2.故選B.］

2.(多選)下列命題是真命題的是()

A.VxGR,X2—x+1>0

B.R,sinx=2

C.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

D.平面內(nèi)，到A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在線段AB的垂直平分線上

［答案］ACD

3.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是.

［答案］存在一個(gè)等邊三角形，它不是等腰三角形

4.設(shè)p,/■都是q的充分條件，s是g的充要條件，，是s的必要條件，「是

r的充分條件，那么〃是r的條件，r是t的條件.（用“充分

不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）

充分不必要充要[由題意知p=>4，q妗s,s0t,又/0r,r=><7，故〃是r

的充分不必要條件，r是/的充要條件.]

[細(xì)研考點(diǎn)?突破題型]重難解惑直擊高考

口考點(diǎn)一充分、必要條件的判定，題組逋關(guān)

1.（2021?湖南高三月考）設(shè)aER,則“W2”是rta2-3a+2^0w的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B[解不等式a2—3a+2W0得l〈aW2,

因?yàn)閇1,2]（一8,2],所以“aW2”是“層一3。+2W0”的必要不充分條

件.故選B.]

2.（多選）（2021.遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）下列四個(gè)選項(xiàng)中，q是。的充分必要條件

的是（)

a=0a+b=0

A.,q：

,b=0ab=0

a=\a+b=2

B.P-，q：

b=1ab=1

a>0a+b>0

c.p-,q：

b>0.ab>0

a>\a-\~b>2

D.P-,q：

b>\ab>\

ABC[A.由a=0,b=0,可得a+b=0,ab=0,反之也成立，:.q是p

的充分必要條件;

B.由a=l,b=l,可得a+8=2,ab=l;反之也成立，二夕是〃的充分必

要條件；

C.由a>0,b>0,可得a+/?>0,ab>0;反之也成立，...q是p的充分必要

條件；

D.由a>l,b>\,可得a+/?>2,ab>\;反之不成立，例如取a=6,b=?。?q

是p的必要不充分條件.故選ABC.］

3.（2021.珠海第二中學(xué)模擬）《墨子.經(jīng)說(shuō)上》上說(shuō)：“小故，有之不必然，

無(wú)之必不然，體也，若有端，大故，有之必然，若見之成見也.”這一段文字蘊(yùn)

含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的.（選

“充分條件”“必要條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”之一填空）

必要條件［由“小故，有之不必然，無(wú)之必不然”，知“小故”是導(dǎo)致某

個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的幾個(gè)條件中的一個(gè)或一部分條件，故“小故”指的是邏輯中的必要

條件.］

畬反思領(lǐng)悟充分條件'必要條件的兩種判定方法

理判斷性問題i

■舒U哥石碼藁苔乏而而苞察與豪還希

國(guó)宣因T判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推1

:斷問題i

考點(diǎn)二充分、必要條件的應(yīng)用《師生共研

［典例1］已知集合A={x|f-8x—20W0},非空集合8={x|l-mW尤W1+

m}.若xWA是的必要條件，求加的取值范圍.

［解］由f—8x—20W0,得一2W尤W10,

.?.A={M-24W10}.

由x￡A是xGB的必要條件，知

1—mW1+機(jī),

l—m2一2,.,.0W〃zW3.

{1+/nW10,

...當(dāng)時(shí)，是xdB的必要條件，

即所求m的取值范圍是［0,3］.

［母題變遷］

1.若將本例中條件改為“若尤GA是xGB的必要不充分條件”，求〃z的取

值范圍.

［解］由xGA是xdB的必要不充分條件，知8A,

1—tn&l+m,（1-/nW1+m,

1—m^—2,或{1—〃?>—2,

{l+w<10Ij+mWlO,

解得OW〃zW3或OW/”<3,.,.OW機(jī)W3,

故機(jī)的取值范圍是［0,3］.

2.本例條件不變，若xGA的必要條件是xGB,求加的取值范圍.

［解］由原題知A={x|-2WxW10},'."WA的必要條件是xSB,即xSB

是九GA的必要條件，：.A^B,

1—mW1+〃？,

1—m^—2,解得機(jī)29.

{1+〃2力0,

故加的取值范圍是［9,+°°）.

3.本例條件不變，問是否存在實(shí)數(shù)〃?，使xGA是xGB的充要條件？并說(shuō)

明理由.

［解］不存在.由原題知A={x|-2WxW10}.

若尤GA是xGB的充要條件，則A=B,

1—m=-2,（m=3,

：.\,：.］所以相不存在.

,14-m=10,［777=9,

畬反思領(lǐng)悟利用充要條件求參數(shù)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

（1）巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的

關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（或不等式組）求解.

（2）端點(diǎn)取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，

從而確定取舍.

~~［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.（1）（多選）使不等式1+千>0成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.x>2B.x20

C.x<—1或x>lD.—l<x<0

（2）關(guān)于x的方程加+法+。=0（4/0）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是

}Xi1

(1)AC(2)ac<0[(1)不等式1+(>00二->00(》+1)心>0,故不等式的解

集為(-8,-1)U(O,+?)).A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中，只有A,C對(duì)應(yīng)的集

合為(一8,-1)U(O,+8)的真子集.故選AC.

⑵or2+bx+c=O(aWO)有一■個(gè)正根和一■個(gè)負(fù)根的充要條件是

/l=b2—4ac>Q,

<c即ac<0.]

-<o,

[a9

□考點(diǎn)三全稱量詞與存在量詞4多維探究

考向1含量詞命題的否定

[典例2—1](2021?泰安三模)命題“奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的否定

是()

A.所有奇函數(shù)的圖象都不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.所有非奇函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.存在一個(gè)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C[全稱量詞命題”所有奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的否定是存在量詞

命題，所以命題“奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的否定是“存在一個(gè)奇函數(shù)的圖

象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”.故選C.]

考向2含量詞命題的真假判斷

[典例2—2](多選)下列命題中是真命題的有()

A.VxGR,2廠1>0

B.VxGN*,(x-l)2>0

C.lgx<l

D.3XGR,tanx=2

ACD[當(dāng)x=l時(shí),(工一1)2=0,故B為假命題，其余都是真命題，故選ACD.]

考向3含量詞命題的應(yīng)用

[典例2—3]若命題p：uBxGR,x2—/m—m^0，,為假命題，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是________.

[四字解題]

相

讀/UA算思

計(jì)算判別式

命題p:若P為真命題補(bǔ)集思想

心0

計(jì)算判別式

為假命題若rp為真命題轉(zhuǎn)化化歸

/<0

(—4,0)［法一：若p為真命題，即R,X2-/n^O,.'./I=m2-l-4/n^:0,

或機(jī)W—4,

當(dāng)p為假命題時(shí)一4</n<0.

法二：為假命題，

.；p：VxGR,x^—inx—m>Q為真命題，

即/=nr+4〃?<0,/.—4</??<0.]

畬反思領(lǐng)悟1.判定全稱量詞命題“MXQM,p(x)”是真命題，需要對(duì)集合

M中的每一個(gè)元素X,證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“mxWM,p(x)”是

真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)居使p(x)成立即可.

2.由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是

可利用等價(jià)命題，即P與了的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成了的真假求參數(shù)的范圍.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.(1)已知命題“VxGR,加+4%+1>0”是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.(4,+°°)B.(0,4]

C.(—8,4]D.[0,4)

(2)已知/(尤)=f,g(x)=(y一加.若對(duì)Vxie[0,3],Ex2e[l,2],使得f

(X|)2g(X2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

(1)C(2)[1,+8)[(1)當(dāng)原命題為真命題時(shí)，?！?且/=16—4”<0,所以

a>4.故當(dāng)原命題為假命題時(shí)，&W4.故選C.

(2)當(dāng)x￡［0,3］時(shí)，/(x)min=/(O)=O;當(dāng)x￡［l,2］時(shí)，g(x)1nin=g(2)="一加.

由/(X)min》g(X)min,得0"(一"2,所以"ZN".]

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

［考試要求］

1.掌握等式的性質(zhì).

2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小.

3.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

［走進(jìn)教材?夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

?梳理?必備知識(shí)

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

方法

關(guān)系

作差法作商法

a>ha—h>01>l(a,QO)或.<l(a,b<0)

a=b。一〃三0￡=l(bWO)

a______,

a<hq—h<0尸l(a,。>0)或g>l(a,/?<O)

2.等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱性：如果a=",那么方=a；

性質(zhì)2傳遞性：如果a=b,b=c,那么a=c；

性質(zhì)3可加（減）性：如果那么a土c=Z?土c；

性質(zhì)4可乘性：如果。=力，那么ac=hc；

性質(zhì)5可除性：如果a=b,cWO,那么

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱性：

性質(zhì)2傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

性質(zhì)3可加性：a>b^a+c>b+c；

性質(zhì)4可乘性：a>b,c>O^ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；

性質(zhì)5同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>O0ac>bd；

性質(zhì)7同正可乘方性：。>/>00N,鹿22).

提醒：同向不等式可相加，不能相減.

［常用結(jié)論］

1.倒數(shù)性質(zhì)

⑴a>b,^>0=?1<1:

(2)o<0<W^<|;

(3)a>h>0,d>c>0挈>g.

2.分?jǐn)?shù)性質(zhì)

若4Q0,m>0,則

b~~jn

⑴真分?jǐn)?shù)性質(zhì):(。—加>0);

a-m

、?yaa+maa-m

(2)假分?jǐn)?shù)性質(zhì)：J>=；百曰i>0).

◎激活?基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)若〃〉人，則次:2>〃3.()

(2)若。。2>歷2,貝|J()

(3)若號(hào)>1,則()

(4)若a+c>/?+c,則a>/?.()

［答案］(1)X(2)V(3)X(4)V

二、教材習(xí)題衍生

1.若M=(x—3>,N=(x—2)(x—4),則有()

A.M>NB.M2N

C.M<ND.M&N

A［因?yàn)镸-N=(x-3)2-a-2)(x-4)=l>0,

所以M>M］

2.設(shè)d<c,則下列不等式中一定成立的是()

A.a-c<b-dB.ac<bd

C.a+c>/?+dD.a+d>Z?+c

C[由a>。，c>d得a+c>b+d,故選C.]

鹽的量力克

3.鹽水溶液的濃度公式為。=色>與，向鹽水中再加入，"克鹽,

鹽水的量a克

那么鹽水將變得更咸，下面哪一個(gè)式子可以說(shuō)明這一事實(shí)（）

bb+mbh+m

a+m

bb~\~mbb+m

C.-<------D.->-------

aaaa

b+m

A［向鹽水溶液中加入加克鹽，鹽水的濃度變?yōu)閙，此時(shí)濃度變大，鹽

,.、b+mb,

水更咸，即訴>>故選A?】

4.已知一lva<2,—3<Z?<5,則a—人的取值范圍是.

（—6,5）［V—3</?<5,/.—5<—b<3,

又一1<。<2,—6<a—h<5.］

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑直擊高考

□考點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小《師生共研

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

［四字解題］

讀想算思

In3In41n4In5

34及T745的正

作差法

...^ln3In4In5,,負(fù)轉(zhuǎn)化化歸

比較亍,—,-y的

作商法?￡與1的大小

大小

於）」：龍的單調(diào)性

單調(diào)性法構(gòu)造函數(shù)

B［法一：(作差法)

In3In441n3-31n4In81-In64

a-b=~丁=12=12>0

In4In551n4—41n5In1024—In625”

b~c~~4~~~S~=------20------=---------20--------所以a>b>c.

法二：(作商法)

易知a,b,c都是正數(shù)，(=|^T=log8i64Vl,所以。>匕；^=41^~5=1°§6251

024>1,所以b>c.即cVAVa.

法三：(單調(diào)性法)

對(duì)于函數(shù)y=/(x)=—j,y=-p-.

易知當(dāng)x>e時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.

因?yàn)閑〈3V4V5,

所以/(3)>/(4)>/(5),即cVAVa.］

畬反思領(lǐng)悟比較兩式大小的常用方法

(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形,

常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)

式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差.

(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大?。虎芙Y(jié)論.

(3)函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)

函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.

(4)特殊值法：對(duì)于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)若a<0,b<0,則“=￡+萬(wàn)與q=a+b的大小關(guān)系為()

A.p<qB.pWq

C.p>qD.p?q

(2)已知a>b>0,則"/與ahba的大小關(guān)系為.

從a2

(1)B(2)aubh>abba［(l)p一夕="+了一。一。

Ir—a2c^—b1,l_r

(9

=+k=”>ab,

(b2—-q)(/7-a)2s±a)

abab

因?yàn)椤?lt;0,力<0,所以a+〃<0,ab>0.

又(匕一4)220,「?p—qWO.

綜上，pWq.

o..廢/_〃'-"_僅丫b

(2).at^a-ba-b-\jj)，

又a>b>09故》1,a—b>0,

(―沙

..?MCl\>1，即而>1，

又a%"〉0,：.d'bb>c^ba^

考點(diǎn)二不等式的基本性質(zhì)，師生共研

[典例2](1)已知實(shí)數(shù)a,b,。在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中

正確的是(

cba0

A.b-a<c+aB.(r<ah

-c、C

Cb>aD.\b\c<\a\c

(2)(2021.珠海模擬)若aO<0,c>0,則下列不等式中一定成立的是()

111,1

A.~a<b7B.a-7b<b—~a

C.InS-a)>0D.怦>腎

(1)D(2)D[⑴法一：(邏輯分析法)根據(jù)數(shù)軸可得c<Xa<0,且|c|〉IM>|a|,

對(duì)于A:因?yàn)閏<〃，QVO,所以c+a〈c,b—a>b,貝UC+Q<C<〃V〃-a,即c+a<〃

—a,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B:因?yàn)閏vh<a<0,|o|>|勿>同，所以且扶>而,

11cc

所以即c2〉。/?,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C:因?yàn)榱?lt;4<0,所以g>,，則

故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:因?yàn)榫W(wǎng)>|a|,且”0,所以網(wǎng)c<|a|c,故D正確.

法二：（特殊值法）不妨令C=-5,z?=—4,a=—1,則c+a=—6<b—a=一

c5c

3,故A錯(cuò)誤；c1=25>ab=4,故B錯(cuò)誤；^=^<-=5,故C錯(cuò)誤；\b\c=-20<\a\c

=-5,故D正確.故選D.

,,_11b-a1,“cb-a

（2）對(duì)選項(xiàng)A,/一.=ab，因?yàn)椤?lt;*0,所以。。>0,b—a>09即（由>°，

所以故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B,a—!）=〃—〃+5一1=（。一人>3^，因

為a<b<0,所以4一。<0,不能判斷",1間的關(guān)系，故B不正確；對(duì)選項(xiàng)C,因

為b—a>0,所以InS—a）的范圍為R,故C錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)樾　?lt;0,所以亳>0,->0,因?yàn)?—―3>°，所以8A

babaabba'

又因?yàn)閏>0,所以丁=/'在（0,+8）為增函數(shù)，

所以故D正確.故選D.］

畬反思領(lǐng)信判斷不等式是否成立的常用方法

（1）直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成

立時(shí)要特別注意前提條件.

（2）利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利

用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、嘉函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較.

一［跟進(jìn)訓(xùn)練］一

2.（多選）下列四個(gè)條件，能推出《V：成立的有（）

A.h>Q>aB.Q>a>b

C.a>Q>hD.a>b>0

ABD［運(yùn)用倒數(shù)性質(zhì)，由帥>0可得B、D正確.又正數(shù)大于

負(fù)數(shù)，A正確，C錯(cuò)誤，故選ABD.］

□考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用《師生共研

［典例3］（多選）（2021.長(zhǎng)沙一中模擬）設(shè)x,y為實(shí)數(shù)滿足1WxW4,0勺W2,

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.l<x+y<6B.l<x—y<2

C.0<yyW8D->2

BD[Vl<x<4,0<><2,，la+)W6,A正確；?；1WXW4,—2W-y<0,

：.-\^x~y<4,B錯(cuò)誤；?.?1WXW4,0<)W2,二。(孫W8,C正確；；1WxW4,0<g

1x1

W一,D錯(cuò)誤.故選BD.]

yy2

［母題變遷］

1.將本例條件改為“一l<x<y<3"，求x—y的取值范圍.

［解］因?yàn)橐籰<x<3,

所以一3v—y<l,—4<x—y<4.①

又因?yàn)閤<y,所以x—y<0,②

由①②得一4<x—y<0,

故x—y的取值范圍是(一4,0).

2.將本例條件改為“已知一l<x—y<4,2<x+y<3"，求3x+2y的取值范圍.

［解］設(shè)3x+2y=2(x—y)+〃(x+y),

即3x+2y="+〃)x+(//—2)y,

f；_l

”—2,

A+4=3,解得

于是k=2,

5

3x+2y=T(x—y)+|(x+.y).

?.*—1<x~y<4,2<x+y<3,

.115,15

??-2<2(x-y)<2,5<2(x+>，)<T,

畬反思領(lǐng)悟利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的方法

(1)已知X,y的范圍，求F(x,y)的范圍.可利用不等式的性質(zhì)直接求解.

(2)已知兀v,y),g(x,y)的范圍，求F(x,y)的范圍.

可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F(x,y)=〃次x,y)+〃g。，y),用恒等變形求

得施，〃，再利用不等式的性質(zhì)求得用x,y)的取值范圍.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

3.⑴若6<“<10,為c=a+b,則c的取值范圍是()

A.[9,18]B.(15,30)

C.[9,30]D.(9,30)

7T7T

(2)已知角a,B滿足一]Va一0<a+/?<7t,則3a-/3的取值范圍是

〃。

(1)D(2)(一兀，2兀)[⑴因?yàn)閍卜代2〃，所3以學(xué)即學(xué)3《3a,

因?yàn)樗?<c<30.故選D.

(2)設(shè)3a一4=m(夕一夕)+〃(4+夕)，則

3a-B—(m+n)a+(〃-in)/].

zn+〃=3,[m=2,

：.\解得彳

n—m=~\,5=1,

一4=2(a一夕)+(G+Q).

兀兀

由一工(a—￡V]得一Ti〈2(a—0)VR,

一兀V3。一用〈2兀]

1M基本不等式

［考試要求］

1.了解基本不等式的證明過程.

2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.

3.理解基本不等式在生活實(shí)際問題中的應(yīng)用.

［走進(jìn)教材?夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

彩梳理?必備知識(shí)

1.基本不等式：―2—

(1)基本不等式成立的條件：。＞0,本＞0.

⑵等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

⑶其中號(hào)叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，、應(yīng)叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.幾個(gè)重要的不等式

(1)a2+b2^2ab(a,OGR)；

(2)￡+522(“，Z?同號(hào)且不為零);

＞當(dāng)且僅當(dāng)”=匕

(3)aZ?W~—I(a,/?￡R)；I時(shí)等號(hào)成立

4)［亍)^GR).

3.利用基本不等式求最值

已知x＞0,y＞0,則

(l)x+y^2yjxy,若盯是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值2版

(簡(jiǎn)記：積定和最小).

(2)孫,若x+y是定值4,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，孫有最大值上(簡(jiǎn)

記：和定積最大).

提醒：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”.

［常用結(jié)論］

若心b>0,則bW舌至屜空

丫

~a~+~vb

?激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打"X")

⑴兩個(gè)不等式a2+b2^2ah與皇三旃成立的條件是相同的.

()

⑵若?！?,則〃+點(diǎn)的最小值為入』.()

4,

(3)函數(shù)7U)=sinx+而7，工6(0,兀)的最小值為4.()

(4)x>0且>>0是的充要條件.()

y冗

[答案]⑴*(2)X(3)X(4)X

二'教材習(xí)題衍生

1.設(shè)x>0,y>0,且光十y=18,則孫的最大值為()

A.80B.77

C.81D.82

C[孫〈(甘=81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí)，等號(hào)成立.故選C.]

2.若x>0,則x+1()

A.有最大值，且最大值為4

B.有最小值，且最小值為4

C.有最大值，且最大值為2a

D.有最小值，且最小值為2啦

4I4

B[x>0時(shí)，x+;22\/xXt=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立.故選B.]

3.已知a,b^R,且a/?W0,則下列結(jié)論恒成立的是()

A.a~\-b^2\[abB.苗+，22

a、b、c,c

丁+-22

C.ba22D.a+b>2ab

一，a,力一c“a、bci,b、

C［因?yàn)榍邃溉f(wàn)，所以b+-=b+-2］

4.一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m,則這

個(gè)矩形的長(zhǎng)為m,寬為m時(shí)菜園面積最大.

15v［設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm,寬為ym.則x+2y=30（0VxW18）,所以S=

孫=5.（2y）Wr當(dāng)且僅當(dāng)尤=2y,即x=15,y=當(dāng)時(shí)取等號(hào).］

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑?直擊高考

考點(diǎn)一利用基本不等式求最值《師生共研

11

［典例1］已知正數(shù)a,匕滿足％+1=3,求a+/?的取值范圍一

［四字解題］

讀相算思

由昭+9=

1得a+b

能否用“1”的代換法常值代換

=（a+b\g&+力進(jìn)

求最值法

而求最值

①正數(shù)a,。滿足《十（

先得到a+b=3ab,

能否直接用基本不等

=3；再用"2J求放縮法

式求最值

②求a+b的取值范

最值

圍

由b—d［得a+b

3。一1

能否用a表示h進(jìn)而消元配湊

=。十再配湊

求最值3。一1法

求最值

［解］法一：（常值代換法）

J/N1,1

%+廠3仔五+豆=1，

."+匕=3+與層+&H+品+分|+2出蔻號(hào),

當(dāng)且僅當(dāng)為=卷，即。=。=|時(shí)取等號(hào),

所以a+b的取值范圍是*+8）.

法二：放縮法（必W件4）

由:+'=3,得

〃+力）2

又abW,所以二一W

4

即4（a+b）W3（a+b）2,所以a+b2],

即a+h的取值范圍是,，+8）.

法三：消元配湊法（先用。表示乩再配湊）

由1+4=3得〃+〃=3〃〃，1[,由于a>0,b>0,可得

。o5a—13

當(dāng)Q—!=一2

即時(shí)取等號(hào),

9

...a+。的取值范圍是芯+°°

畬反思領(lǐng)悟利用基本不等式求最值的常用方法

⑴常值代換法：當(dāng)式子中含有兩個(gè)變量，且條件和所求的式子分別為整式

和分式時(shí)，常構(gòu)造出（6+勿）?匕+拳1（。，b,m,n為常數(shù)）的形式，利用（ox+

,、但㈤I,.b〃?y.anx..,.

by）-二十二=am十/?〃十十^am十力〃十2yfahmri

\xy）xy

（當(dāng)且僅當(dāng)縉=等時(shí)等號(hào)成立）得到結(jié)果.

⑵放縮法：又稱整體轉(zhuǎn)化法，將已知等式適當(dāng)調(diào)整，放縮成所求代數(shù)式的

不等式，整體解出.

(3)消元配湊法：將已知條件中的一個(gè)變量用另一變量表示出來(lái)，代人到所

求代數(shù)式中轉(zhuǎn)化為“x)=a(x+①的形式(ae>0或ae<0時(shí)用單調(diào)性求

解)，設(shè)/=%+",直接用基本不等式求解.

提醒：無(wú)論選取哪種方法，都栗根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為

常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

一［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)(多選)(2021?重慶三模)已知a,b為正實(shí)數(shù)，且ab+2a+b=6,則()

A.帥的最大值為2B.2a+b的最小值為4

C.。+人的最小值為3D.±+春的最小值為號(hào)

a+1b+22

(2)函數(shù)y=2jtr>l)的最小值為________.

X1

11Q

(3)已知〃>0,歷>0,且必=1,則三;+五十二7的最小值為

2a2ba+b

(l)ABD(2)4(3)4［⑴因?yàn)?=ab+2a+b2ab+2巾后,當(dāng)且僅當(dāng)2。=

/7時(shí)取等號(hào)，解得即時(shí)W2,故〃〃的最大值為2,A正確；由6=a〃

,e6—2a8

+2。+力仔b=一~7~7~=,—2,

a+1a+1

6—2cl8Ig

所以2a+b=2a+.,=2(^+1)+~TT—4^2A2(?+1)-———4=4,

a+1a+1\la+1

Q

當(dāng)且僅當(dāng)2?+l)=在［即〃=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值4,B正確；

OOO

a+b=a+?2=tz+1+—77—3^4^/2—3,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=..,即a

a+1a+1'a+1

=2啦一1時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；

士a+1十b+2系\］I七a+1熹b+2=2、\jLabB+2a匕+b二+2普2,當(dāng)且僅當(dāng)a+\=h

+2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)工匕取得最小值券，D正確.故選ABD.

ClI1CzI乙乙

(2)Vx>l,:.x—1>0,

?-y2x3-1+1i

?>>，-7=;T=A-i=x+1+U7

=（L1）+—^+224.

當(dāng)且僅當(dāng)x—l=」T，即x=2時(shí)，等號(hào)成立.

X—1

（3）Va>0,Z?>0,.\a+h>0,ab=1,

?14_14_8abab8

??五十五十丁二=五十萬(wàn)十幣

a+h8、la+h8-

=2.示石x2、l下一義示］=4,

當(dāng)且僅當(dāng)a+/>=4時(shí)取等號(hào)，結(jié)合ab=l,解得a=2一小,b=2+y/3,或

a=2+小，8=2—仍時(shí)，等號(hào)成立.］

□考點(diǎn)二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用'師生共研

［典例2］（2021?上海師大附中月考）新冠疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺，政府決

定為生產(chǎn)防護(hù)服的公司提供x（xd［0,10］）（萬(wàn)元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼用于擴(kuò)大生產(chǎn)，并以每

套80元的價(jià)格收購(gòu)其生產(chǎn)的全部防護(hù)服，公司在收到政府x（萬(wàn)元）補(bǔ)貼后，防護(hù)

服產(chǎn)量將增加到f={6—旨）（萬(wàn)件），其中［0.5』］）為工人的復(fù)工率.公司

生產(chǎn)t萬(wàn)件防護(hù)服還需投入成本（20+8x+50。（萬(wàn)元）.

（1）將公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為補(bǔ)貼x（萬(wàn)元）的函數(shù)（政府補(bǔ)貼x

萬(wàn)元計(jì)入公司收入）；

（2）當(dāng)復(fù)工率k=0.1時(shí)，政府補(bǔ)貼多少萬(wàn)元才能使公司的防護(hù)服利潤(rùn)達(dá)到最

大？

（3）對(duì)任意的萬(wàn)元），當(dāng)復(fù)工率人達(dá)到多少時(shí)，公司才能不虧損？（精

確至I」0.01）

［解］（1）依題意，y=x+80r-（20+8x4-50r）

=30/—20—7%=180%—^^-7%—20,%e［0,10］.

,,360X0.7

⑵當(dāng)&=0.7時(shí)，>>=180X0.7---^——lx-20

JiII

=—7x—由+106=—[7(》+4)+干1+134

I?52

W-2A/7(X+4).—+134=50,

當(dāng)且僅當(dāng)7(x+4)=若252，即x=2時(shí)等號(hào)成立，

所以政府補(bǔ)貼2萬(wàn)元才能使公司的防護(hù)服利潤(rùn)達(dá)到最大50萬(wàn)元.

⑶若對(duì)任意的%e[0,10],公司都不產(chǎn)生虧損，則180k一當(dāng)當(dāng)一7%—2020

在xW[0,10]恒成立,

7小48H8。

,W180(x4-2)令r=x+2￡[2,12],

.7?+20r+12而卜+7+20),

?2180?

設(shè)/(r)=7f+7+20在[2,12]上遞增,

，月)n1ax=川2)=7X12+五+20=105,

，k±上X105心0.58.

1oU

即當(dāng)工人的復(fù)工率達(dá)到0.58時(shí)，公司不虧損.

畬反思領(lǐng)悟

利用基本不等式解決實(shí)際問題的三個(gè)注意點(diǎn)

(1)設(shè)變量時(shí)，一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

(2)解題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.

(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性

求解，如利用＜/U)=x+?a＞。)的單調(diào)性.

一「跟進(jìn)加■]

2.某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長(zhǎng)，計(jì)劃利用學(xué)校空地建造一

間室內(nèi)面積為900n?的矩形溫室.在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種

植三種植