偏微分方程數(shù)值解

偏微分方程數(shù)值解(NumericalSolutionofPartialDifferentialEquations)eduwyp@2021/5/91參考數(shù)目GeorgeJ.Haltiner,RogerTerryWilliams,NumericalPredictionandDynamicMeteorology(2ndEdition),theUnitedStatesofAmerica,1979.2.CurtisF.GeraldandPatrickO.,AppliedNumericalAnalysis,PersonEducation,Inc.,2004.3.EugeniaKalnay,AtmosphericModeling,DataAssimilationandPredictability,thepressSyndicateoftheUniversityofCambridge,2003.4.AriehIserles,AFirstCourseintheNumericalAnalysisofDifferentialEquations,CambridgeUniversityPress,1996.5.李榮華，馮國忱.微分方程數(shù)值解.北京：人民教育出版社，1980.6.徐長發(fā)，李紅.實用偏微分方程數(shù)值解法.華中科技大學出版社，2003.7.沈桐立，田永祥等.數(shù)值天氣預報.北京：氣象出版社，2007.2021/5/92數(shù)值天氣預報—PDE數(shù)值解挪威氣象學家V.Bjerknes（1904）提出數(shù)值預報的思想：通過求解一組方程的初值問題可以預報將來某個時刻的天氣—思想；

L.F.Richardson(1922)：開創(chuàng)了利用數(shù)值積分進行預報天氣的先例，由于一些原因（如，計算穩(wěn)定性問題“Courant,1928”）并沒有取得預期的效果—嘗試；

Charney,Fjortoft,andVonNeumann(1950),借助于Princeton大學的的計算機(ENIAC)，利用一個簡單的正壓渦度方程（C.G.Rossby,1940）對500mb的天氣形式作了24小時預報---成功；2021/5/93TheElectronicNumericalIntegratorandComputer(ENIAC).2021/5/94常微分方程的數(shù)值解大氣科學中常微分方程和偏微分方程的關系1.大氣行星邊界層(近地面具有湍流運動特性的大氣薄層,1—1.5km),?？寺╒.W.Ekman）（瑞典）螺線的導出；2.1963年，美國氣象學家Lorenz在研究熱對流的不穩(wěn)定問題時，使用高截斷的譜方法，由Boussinesq流體的閉合方程組得到了一個完全確定的三階常微分方程組，即著名的Lorenz系統(tǒng)。2021/5/95Lorenz系統(tǒng)dx/dt=a(y-x)dy/dt=x(b-z)-ydz/dt=xy-cz其中，a=10,(Prandtlnumber);b=28(Rayleighnumber);c=8/3;(x,y,z)_0=(0.01;0.01;1e-10)2021/5/962021/5/972021/5/982021/5/992021/5/910Franceshini將Navier-Stokes方程截斷為五維的截譜模型如下：2021/5/911歐拉法—折線法常微分方程能直接進行積分的是少數(shù)，而多數(shù)是借助于計算機來求常微分方程的近似解；有限差分法是常微分方程中數(shù)值解法中通常有效的方法；建立差分算法的兩個基本的步驟：1.建立差分格式，包括：a.對解的存在域剖分；b.采用不同的算法可得到不同的逼近誤差—截斷誤差（相容性）；c.數(shù)值解對真解的精度—整體截斷誤差（收斂性）；d.數(shù)值解收斂于真解的速度；e.差分算法—舍人誤差（穩(wěn)定性）.2021/5/9122.差分格式求解將積分方程通過差分方程轉化為代數(shù)方程求解，一般常用遞推算法。

在常微分方程差分法中最簡單的方法是Euler方法，盡管在計算中不會使用，但從中可領悟到建立差分格式的技術路線，下面將對其作詳細介紹:2021/5/913差分方法的基本思想“就是以差商代替微商”考慮如下兩個Taylor公式：（1）（2）從（1）得到：2021/5/914從（2）得到：從（1）-（2）得到：從（1）+（2）得到：2021/5/915對經典的初值問題滿足Lipschitz條件保證了方程組的初值問題有唯一解。2021/5/916一、算法構造：0tuT1.在求解域上等距離分割：2.在有：微分方程的精確解差分方程的精確解2021/5/9173.應用時采用如下遞推方式計算：4.例題對初值問題用Euler法求解，用即，2021/5/9185.Euler法的幾何意義0t在遞推的每一步，設定過點作的切線，該切線的方程為：即：2021/5/919二、誤差分析構造算法后，這一算法在實際中是否可行呢？也就是說是否使計算機仿真而不失真，這還需要進一步分析。1.局部截斷誤差--相容性為了分析分析數(shù)值方法的精確度，常常在成立的假定下，估計誤差這種誤差稱為“局部截斷誤差”，如圖。局部截斷誤差是以點的精確解為出發(fā)值，用數(shù)值方法推進到下一個點而產生的誤差。2021/5/920整體截斷誤差是以點的初始值為出發(fā)值，用數(shù)值方法推進i+1步到點，所得的近似值與精確值的偏差：2.整體截斷誤差—收斂性稱為整體截斷誤差。2021/5/921特例，若不計初始誤差，即則即3.舍入誤差—穩(wěn)定性假設一個計算機僅表示4個數(shù)字（小數(shù)點后面），那么計算2021/5/922我們的要求是：最初產生的小誤差在以后的計算中雖然會傳遞下去，但不會無限制的擴大，這就是穩(wěn)定性所描述的問題。下面引進穩(wěn)定性的概念：設由初值得到精確解，由初值得到精確解，若存在常數(shù)和充分小的步長使得則稱數(shù)值方法是穩(wěn)定的。tu02021/5/923計算例題其解析解為：x=00.20000.40000.60000.80001.0000y=1.00001.20001.37331.53151.68111.82692021/5/9242021/5/925三、改進的Euler法將微分方程在區(qū)間上積分，得到用梯形法計算積分的近似值，有于是這是一個隱式格式，一般需要用迭代法來求，而用顯式的Euler法提供初值。2021/5/926為了簡化計算的過程，在此基礎上進一步變?yōu)槿缦滤惴ǎ捍耸椒Q為“改進的Euler法。接下來討論其幾何意義預估校正其局部截斷誤差為這個問題將在下節(jié)討論。2021/5/927tu02021/5/928Euler法、改進的Euler法和解析解的比較2021/5/929四、（龍格-庫塔）Runge-Kutta方法簡單的Euler法是建立在Taylor級數(shù)的一項展開；改進的Euler法是以兩項Taylor級數(shù)為基礎建立的，如：如果我們截取Taylor級數(shù)的更多項會得到什么樣的求解方法呢？兩個德國數(shù)學家（C.Runge&M.kutta）以這種思想為基礎建立了求解微分方程的龍格-庫塔方法。它是常微分方程數(shù)值解法中使用最為廣泛的方法之一。2021/5/930一般地，一個K階的Runge-Kutta方法可用下面的公式表示：其中，是待定的加權系數(shù)，是待定的系數(shù)。Euler法就是的R-K法。其系數(shù)的確定如下：將展開成的冪級數(shù)，并與微分方程的精確解在點的Taylor展開式相比較，使兩者的前項相同，這樣確定的R-K法，其局部截斷誤差為，根據(jù)所得關于待定系數(shù)的方程組，求出它們的值后代入公式，就成為一個階R-K方法。2021/5/931例題以二階R-K法為例說明上述過程把代入中，有2021/5/932經比較得到取為自由參數(shù)：從而得到不同的但都是二階的R-K方法，對應的有中點法、Heun（亨）法以及改進的Euler法。2021/5/933基于相同的過程，通過比較五次Taylor多項式，得到更加復雜的結果，給出了包含13個未知數(shù)的11個方程。得到多組系數(shù)，其中常用的是以下四階R-K法：改進的Euler法、R-K法以及解析解的比較：2021/5/9342021/5/935五、線性多步（LinearMultistepMethod）法1.預備知識：插值多項式插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個點處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點處的近似值。

從幾何上理解：對一維而言，已知平面上n＋1個不同點，要尋找一條n次多項式曲線通過這些點。插值多項式一般常見的是拉格朗日插值多項式。2.氣象應用不均勻站點上的氣象要素數(shù)據(jù)均勻網(wǎng)格點上的數(shù)據(jù)插值3.拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式逼近可能是求插值節(jié)點不均勻的插值多項式的最簡單的方法。實驗觀察結果或原始測量數(shù)據(jù)的分布通常是非均勻的。例如，四個點可以確定一個三次多項式，其拉格朗日形式為：2021/5/9364.Adams-Bashforth（阿達姆斯—貝雪福斯）公式首先，用以下四個點對進行三次Langrage插值：則于是，有容易算出，例如，我們可以算得*2*12021/5/937將（*2）代入（*1）得到Adams-Bashforth公式：基于同樣的計算過程，可以得到另外一個計算公式：這稱為Adams-Moulto公式。預估校正2021/5/938偏微分方程數(shù)值解主講：王曰朋2021/5/939一、區(qū)域的離散1.2.3.2021/5/940則函數(shù)可表示為：二、1.（一維）一、二階導數(shù)的有限差分近似表達式2021/5/9412.（二維）一、二階偏導數(shù)的有限差分近似2021/5/9423.拋物型方程初條：精確解為（以熱傳導或磁擴散方程為例）初值問題不論初始分布如何集中，它總在瞬間影響于無窮遠，雖該影響隨距離按指數(shù)衰減，然而它是以無限速度傳播。此乃拋物型方程解的特征。2021/5/943三、熱傳導方程（拋物方程）1.熱傳導方程的介紹2.離散化（1）向前差分格式：2021/5/944計算：這是一個顯式格式（四點格式）每一層各個節(jié)點上的值是通過一個方程組求解得到的。這可以從下面的計算過程看出來。2021/5/945系數(shù)矩陣為2021/5/946計算實例：2021/5/9472021/5/9482.向后差分格式當知道第n層上的時，要確定第n+1層上各點值必須通過求解一個線性代數(shù)方程組。2021/5/949其矩陣表達式如下：2021/5/950這是一個古典四點向后差分格式。計算實例2021/5/9512021/5/9523.Crank-Nicolson格式，亦稱六點對稱格式2021/5/9532021/5/9542021/5/9554.Richardson格式這是一個五點三層差分顯式格式2021/5/956討論：假若由于的作用，導致差分方程的近似解設為：于是，我們可得到差分格式的誤差方程如下：xtRichardson格式是不穩(wěn)定的。2021/5/9575.穩(wěn)定性判別Von-Neumann穩(wěn)定性在判斷有限差分近似的穩(wěn)定性方法中，以Von-Neumann方法使用較為廣泛，它僅適用于線性常系數(shù)的有限差分近似。其過程如下：首先，要研究的差分方程可寫為：如，其次，對進行變量分離：2021/5/958最后將代入所考察的有限差分方程。定義為放大系數(shù)2021/5/959下面說明，在什么條件下能使對所有的成立。從上式，我們看出，2021/5/960６.交替顯隱式格式（１）顯式預測隱式校正格式在n+1/2層上用古典顯式格式計算出過度值，再在n+1層上用古典隱格式校正預測值，即：2021/5/961(2).跳點格式首先將網(wǎng)格點（j,n）按j+n等于偶數(shù)或奇數(shù)分成兩組，分別稱為偶數(shù)網(wǎng)點和奇數(shù)網(wǎng)點。從到的計算過程中，先在偶數(shù)網(wǎng)格點上用古典顯式格式計算，再在奇數(shù)網(wǎng)點上用古典隱格式計算，即：2021/5/962三雙曲型方程（a）一階常系數(shù)線性雙曲型方程（b）二階常系數(shù)線性雙曲型方程（波動方程）

其中a為常數(shù)主要對象為這些方程的定解條件，可僅有初始條件，也可以有初始條件和邊界條件。其中a為常數(shù)

同橢圓型方程與拋物型方程相比，雙曲型方程差分格式的性質與定解問題解析解的性質有更密切的關系。2021/5/9631一階線性雙曲型方程（1）初值問題考慮由于u(x,t)沿x-t平面上方向為dx/dt=a的直線xat=C（C為常數(shù)）的變化率為0，即故沿x-t平面上任一條斜率為1/a的直線xat=C，u(x,t)為常數(shù)。平行直線族xat=C就是方程(3.1)的特征線。(3.2)(3.1)2021/5/964利用特征線，可以求出初值問題(3.1)、(3.2)的解：由于u(x,t)在點處的值依賴與(x)在點的值，故初始線t=0上的點稱為解u(x,t)在點的依賴區(qū)域。與拋物型方程求解類似，對x-t平面進行矩形網(wǎng)格剖分，x方向的步長為h，t方向的步長為，網(wǎng)點簡記為(j,k)。2021/5/965（1）偏心格式和中心差分格式對方程(3.1)，利用差商代替導數(shù)的方法，可得前兩個格式的局部截斷誤差階為，分別稱為左、右偏心格式。第三個格式的截斷誤差階為，它稱為中心差分格式。其中即2021/5/966從差分格式依賴區(qū)域和微分方程依賴區(qū)域的關系，可以得到差分格式收斂的必要條件：

差分格式的依賴區(qū)域包含微分方程的依賴區(qū)域（也稱為CFL條件）。對于左偏心格式，CFL條件為：a>0，且。對于右偏心格式，CFL條件為：a<0，且。所以，當a>0（或a<0）時，左（或右）偏心格式才有實用值；中心差分格式無實用價值。對于中心格式，CFL條件為：。可以證明：左、右偏心格式的穩(wěn)定條件與其CFL條件相同，但中心差分格式是恒不穩(wěn)定的，2021/5/967對方程(3.1)，可利用特征線構造格式。設系數(shù)a>0，上網(wǎng)點A(j1,k)，B(j,k)，C(j+1,k)處的解值已經算出，從點P(j,k+1)作特征線，它與線段AB交于點D。（2）Lax格式PCBAD由u(p)=u(D)，有這樣，得到Lax格式：當，Lax格式穩(wěn)定，截斷誤差階為。2021/5/968（3）Lax—Wendroff格式對方程(3.1)，利用特征線作二次插值，即可得到Lax—Wendroff格式：當，Lax—Wendroff格式穩(wěn)定，它的截斷誤差階為。2021/5/969應該注意：邊值條件的給法與其它兩類方程不同。如果a>0，方程特征線向右傾，只能在x變化區(qū)域的左邊界上給出邊界條件：

（2）初邊值問題如果a<0，方程特征線向左傾，只能在x變化區(qū)域的右邊界上給出邊界條件，即使x的變化區(qū)域為0xd

，也只能給出邊界條件：a<0XOY0xda>0XOY0x<2021/5/970設常數(shù)a>0，考慮下面模型問題：前面建立的幾個顯格式，都適用于這個問題。下面建立隱格式。2021/5/971連同初始條件與邊界條件：（1）最簡隱格式該格式的局部截斷誤差階為。令，格式可改寫為該格式可在0<x,t<內所有網(wǎng)點上顯示地計算解之近似值。2021/5/972然后用中心差商逼近這些導數(shù)值，則可得到Wendroff格式：在點處，用（2）Wendroff格式PCHADGFBE2021/5/973連同初始條件與邊界條件：該格式的局部截斷誤差階為，且無條件穩(wěn)定。令，格式可改寫為該格式可在0<x,t<內所有網(wǎng)點上顯示地計算解之近似值。2021/5/9742二階線性雙曲型方程（波動方程）

考察對x-t平面進行矩形網(wǎng)格剖分，x方向的步長為h，t方向的步長為，網(wǎng)點簡記為(j,k)。用二階中心差商代替(3.3)中的二階導數(shù)，則得到網(wǎng)點(j,k)處的差分方程：

(3.3)(3.4)其中?；?/p>

2021/5/975該格式穩(wěn)定的充分條件為。初始條件離散：初始條件離散：由消去，得上述差分格式與初始條件的截斷誤差階均為。取為2021/5/976上述方法也可用于求解初邊值問題：3交替方向隱格式2021/5/977任何模擬方法，都必須在最佳計算速度和數(shù)值精度之間尋找平衡點。要在各種可能的求解方法中找到一種統(tǒng)一地適用于計算材料學領域（或其它領域）的理想方法，一般是不現(xiàn)實的。

由于實際問題的具體特征、復雜性以及算法自身的適用范圍決定了應用中必須選擇、設計適合于自己特定問題的算法，因而掌握數(shù)值方法的思想至關重要。

科學計算（數(shù)值模擬）已經被公認為與理論分析、實驗分析并列的科學研究三大基本手段之一，但三者之間相輔相成。2021/5/978謝謝大家！2021/5/9792021/5/980第三部分偏微分方程的有限元方法一邊值問題的變分原理1引論模型：在條件下求使得泛函達到最大的函數(shù)。（1）等周問題在長度一定的所有平面封閉曲線中，求所圍面積為最大的曲線。2021/5/981定義：當求泛函在一個函數(shù)集合K中的極小（或極大）問題，則該問題稱為變分問題。變分問題與微分方程的定解問題有一定的聯(lián)系。（2）初等變分原理①一元二次函數(shù)的變分原理考察J(x)的極值情況。變分原理：設求，使與求解方程Lx=f等價。2021/5/982對稱正定②多元二次函數(shù)的變分原理求J(x)取極小值的駐點，其中設設則J(x)可表示為：2021/5/983變分原理：設矩陣A對稱正定，則下列兩個命題等價：求，使(a)(b)是方程的解上述兩個例子表明：其中

求二次函數(shù)的極小值問題和求線性代數(shù)方程（組）的解是等價的。2021/5/984（1）弦平衡的平衡原理與極小位能原理2兩點邊值問題的變分原理考察一根長為l的弦，兩端固定在點A(0,0)和B(l,0)。當沒有外力作用時，它的位置沿水平方向與X軸重合。設有強度為f(x)的外荷載垂直向下作用在弦上，于是弦發(fā)生形變。假定荷載很小，因而發(fā)生的形變也很小。用u(x)表示在荷載f(x)的作用下弦的平衡位置。2021/5/985求弦的平衡位置歸結為求解兩點邊值問題：設弦處于某一位置u=u(x)，可得到其總位能為

極小位能原理：其中T是弦的張力。平衡原理弦的平衡位置(記為)將在滿足邊值條件u(0)=0，u(l)=0的一切可能位置中，使位能取極小值。弦的平衡位置是下列變分問題的解2021/5/986在數(shù)學上，要將某個微分方程的定解問題轉化為一個變分問題求解，必須針對已給的定解問題構造一個相應的泛函，并證明定解問題的解與泛函極值問題的解等價。有限元方法正是利用這種等價性（邊值問題與變分問題的等價性），先將微分方程定解問題轉化為變分問題（或變分方程）的求解問題，然后再設法近似求解變分問題（或變分方程）。2021/5/987（2）兩點邊值問題的變分原理①構造泛函考察二階常微分方程邊值問題：引入泛函算子則2021/5/988②變分問題與前述二階常微分方程邊值問題相應的變分問題是其中求，使2021/5/989③變分原理（變分問題與邊值問題的等價性）設，是邊值問題的解，則使J(u)達到極小值；反之，若使J(u)

達到極小值，則是邊值問題的解。其中是強制邊界條件，是自然邊界條件，區(qū)別這兩類邊界條件在用有限元方法求解邊值問題時很重要。2021/5/990（3）虛功原理對兩點邊值問題：其中虛功原理，且滿足變分方程：設，以v乘方程兩端，沿[a,b]積分，并利用，得變分方程對任意在力學里，表示虛功設，則

是邊值問題解的充要條件是：2021/5/991

對于復雜的邊界條件，邊值問題的求解一般是困難的。若將微分方程化為相應的變分問題或變分方程，則只需處理強加邊界條件，無需處理自然邊界條件（自然邊界條件已包含于變分問題中泛函的構造或已包含于給出的變分方程之中）。這一特點對研究微分方程離散化方法及其數(shù)值解帶來了極大的方便。2021/5/9923二階橢圓邊值問題的變分原理（1）極小位能原理模型方程其中G是平面有界區(qū)域。①構造泛函引入泛函算子則2021/5/993②變分問題與前述二階橢圓邊值問題相應的變分問題是求，使其中2021/5/994③變分原理（變分問題與邊值問題的等價性）對第一邊值問題，無論齊次或非齊次邊界條件，泛函是一樣的，只是邊界條件要作為強加邊值條件加在所取的函數(shù)類上。設，是二階橢圓邊值問題的解，則使J(u)達到極小值；反之，若使J(u)

達到極小值，則是二階橢圓邊值問題的解。其中對第二、三類邊值問題，無論齊次或非齊次邊界條件，二次泛函形式相對于第一邊值問題有所改變，但函數(shù)類的選取與邊界條件無關。2021/5/995（2）虛功原理問題其中設，以v乘方程兩端后在G上積分，并利用Green公式，得變分方程2021/5/996虛功原理在力學里，表示虛功設是邊值問題的解，則對任意，滿足變分方程。反之，若，且對任意滿足變分方程，則為邊值問題的解。與極小位能原理類似，第一類邊界條件為強加邊界條件，第二、三類邊界條件為自然邊界條件。虛功原理比極小位能原理應用更廣。2021/5/997目的：求解相應的變分問題或相應的變分方程。

Ritz方法是近似求解變分問題(即二次泛函極小值)的算法。Galerkin方法是近似求解變分方程的算法，這兩種算法統(tǒng)稱為Ritz-Galerkin方法。Ritz-Galerkin方法的基本思想以下用V表示等Sobolev空間，L表示微分算子，(u,v)為由L及邊值條件決定的雙線性泛函。4Ritz-Galerkin方法用有限維空間的函數(shù)代替變分問題(或變分方程)中無限維空間的函數(shù)，從而在有限維函數(shù)空間中求變分問題(或變分方程)的近似解，并要求當有限維空間的維數(shù)不斷增加時，有限維近似解逼近原變分問題(或變分方程)的解。2021/5/998由極小位能原理得出的變分問題為：Ritz方法：求變分問題的近似解。（1）Ritz方法求，使其中，設是V的n維子空間，是的一組基底(稱為基函數(shù))。中任一元素可表示為即選擇適當?shù)?，使取極小值。求，使Ritz方法：2021/5/999展開令則滿足解出代入，則得2021/5/9100Ritz方法步驟為：根據(jù)最小位能原理構造相應于微分方程或物理問題的變分問題；取作為的一組基底，即用近似代替無窮維空間V；根據(jù)二次函數(shù)取極值的必要條件，得到

中所滿足的方程組：求解關于的線性代數(shù)方程組。2021/5/9101由虛功原理得出的變分方程為：Galerkin方法：求變分方程的近似解。（2）Galerkin方法設是V的n維子空間，是的一組基底(稱為基函數(shù))。中任一元素可表示為即選擇適當?shù)?，使取極小值。Galerkin方法：求，使對，滿足2021/5/9102由的任意性，取作為v，則得將代入變分方程，則解出代入，則得2021/5/9103Galerkin步驟為：根據(jù)虛功原理構造相應于微分方程或物理問題的變分方程；取作為的一組基底，即用近似代替無窮維空間V；求解關于的線性代數(shù)方程組。取作為v

，將代入變分方程，得到滿足的方程組：2021/5/9104有限元法廣泛應用的原因Ritz-Galerkin方法應用的困難①基函數(shù)選取必須滿足強加邊界條件，因此選取困難；②計算量、存儲量巨大；③方程組求解病態(tài)嚴重。充分發(fā)揮了變分形式和Ritz-Galerkin方法的優(yōu)點；②擺脫了傳統(tǒng)的基函數(shù)取法；③各種問題的結構程序格式統(tǒng)一。2021/5/9105有限元方法基于變分原理，又具有差分方法的一些特點，并且適于較復雜的區(qū)域和不同粗細的網(wǎng)格。二橢圓型方程的有限元方法

差分法解偏微分方程，解得的結果就是準確解u在節(jié)點上的近似值；Ritz-Galerkin方法得到近似的解析解，但對一般區(qū)域，卻往往難以實現(xiàn)。有限元方法與傳統(tǒng)Ritz-Galerkin方法的差別在于有限維函數(shù)空間的構造方法。Ritz-Galerkin方法選用的基函數(shù)在整個定解區(qū)域上整體光滑，有限元則取分段或分片連續(xù)且局部非零的基函數(shù)。2021/5/9106考慮兩點邊值問題：1一維問題的線性元將區(qū)間[a,b]分割為n個子區(qū)間。第i個單元記為，其長度。（1）試探函數(shù)與試探函數(shù)空間設則稱為試探函數(shù)空間，稱為試探函數(shù)。2021/5/9107（2）用單元形狀函數(shù)表示試探函數(shù)設在節(jié)點上試探函數(shù)在節(jié)點上的一組值為最簡單的試探函數(shù)空間由分段線性函數(shù)組成。在第i個單元上的線性插值函數(shù)為即當時，的（線性）插值公式稱為（線性）單元形狀函數(shù)。2021/5/9108把每個單元形狀函數(shù)合并起來，就得到整個區(qū)間[a,b]上都有定義的函數(shù)：2021/5/9109為使分段插值標準化，通常用仿射變換顯然把變到，令則變?yōu)榛?021/5/9110定義基函數(shù)系（3）用節(jié)點基函數(shù)表示試探函數(shù)2021/5/9111線性無關，它們可組成試探函數(shù)空間的基，常稱為節(jié)點基函數(shù)。幾何形狀如圖ab任一試探函數(shù)可表示為用這類插值型基函數(shù)，可以構造出適合各種邊界條件的試探函數(shù)。2021/5/9112若借助前述放射變換節(jié)點基函數(shù)可用變量表示為2021/5/9113①直接形成有限元方程(a)把表達式代入泛函；（4）從Ritz方法出發(fā)形成有限元方程(b)將泛函表達式中積分區(qū)間[a,b]變到[0,1]；(c)由達到極小值的條件得到含的有限元方程這兒(d)解出有限元方程的數(shù)值解，就得到使二次泛函取極小的近似函數(shù)(有限元解)2021/5/9114有限元方程可用矩陣表示為其中稱為總剛矩陣。2021/5/9115工程中形成有限元方程時，通常先在每個單元上形成單元矩陣（稱為單元剛度矩陣），然后由單元剛度矩陣形成總剛度矩陣（稱為總體合成）。②用單元剛度分析形成有限元方程(a)把按單元組織，則在第i個單元上，令其中稱為單元剛度矩陣。各元素可計算得到。2021/5/9116再把擴展成nn矩陣，使其第i1行、第i行和第i1列、第i列交叉位置的元素就是單元剛度矩陣的四個元素，其余全為零（只是第一行，第一列元素非零）。即記則其中稱為總剛矩陣。2021/5/9117(b)由達到極小值的條件(c)解出有限元方程的數(shù)值解，就得到使二次泛函取極小的近似函數(shù)(有限元解)得到有限元方程。2021/5/9118（5）從Galerkin方法出發(fā)形成有限元方程把表達式代入變分方程對前面的兩點邊值問題，變分方程變?yōu)槠渲信cRitz方法相比，Galerkin方法形成的有限元方程其系數(shù)矩陣就是總剛矩陣。該方程即為Galerkin法形成的有限元方程。由Galerkin方法推導有限元方程更加方便直接，且適用面廣。2021/5/9119

若希望在每個單元上提高逼近的精確度，則可通過提高插值多項式次數(shù)來實現(xiàn)，在單元上可構造一、二、三及高次插值多項式，其方法有兩種：2一維問題的高次元

整個問題計算的全過程除分析單元插值外，均與前面框架類似。①Lagrange型：在單元內部增加一些插值節(jié)點。②Hermite型：在節(jié)點引進一階、二階乃至更高階導數(shù)。2021/5/9120①線性元(Lagrange型)要求：在每一個單元上是一次多項式，在單元節(jié)點處連續(xù)。插值條件：在單元的兩個端點取指定值。②二次元(Lagrange型)要求：在每一個單元上是二次多項式，在單元節(jié)點處連續(xù)。插值條件：在單元的兩個端點及單元中點取指定值。③三次元（Hermite型）要求：在每一個單元上是三次多項式，在單元節(jié)點處連續(xù)。插值條件：在兩個端點取指定的函數(shù)值和一階導數(shù)值。2021/5/9121采用高次元，有限元方程形成的方法和線性元類似，但工作量增加。一是計算積分的復雜性增加，二是矩陣的帶寬增加。高次元的主要優(yōu)點是收斂階高，且提高了函數(shù)逼近的光滑性。2021/5/9122假定區(qū)域G可以分割成有限個矩形的和，且每個小矩形（單元）的邊和坐標軸平行。3二維問題的矩形元通過仿射變換采用矩形剖分后，任一個矩形總可變成單位正方形如果在上造出單元形狀函數(shù)，就可得到試探函數(shù)。而上的形狀函數(shù)可通過先在上造出形狀函數(shù)，再通過仿射變化而得到。2021/5/9123在上構造形狀函數(shù)，也采用Lagrange型和Hermite型插值。Lagrange型：根據(jù)若干插值節(jié)點處的函數(shù)值決定插值函數(shù)。Hermite型：根據(jù)若干插值節(jié)點處的函數(shù)值、一階偏導數(shù)乃至更高階偏導數(shù)決定插值函數(shù)。2021/5/9124（1）Lagrange型公式①雙一次插值插值條件：給定頂點上的函數(shù)值求：雙線性函數(shù)滿足設令由為雙線性函數(shù)，可求得2021/5/9125令則通過仿射變換消去、

，就得到上的形狀函數(shù)。把這些函數(shù)按單元疊加，即對所有單元求和，就得到G上的試探函數(shù)。實際計算時，并不消去中間變量、，因為計算剛度矩陣元素（定積分）用、作自變量更為方便。2021/5/9126插值條件：給定II上九個插值節(jié)點(0,0)、(1/2,0)、(1,0)、(0,1/2)、(1/2,1/2)、(1,1/2)、(0,1)、(1/2,1)、(1,1)的函數(shù)值。求：雙二次函數(shù)滿足②雙二次插值2021/5/9127故通過仿射變換消去、

，就得到上的形狀函數(shù)。令由為二次函數(shù)，可求得設2021/5/9128插值條件：給定II上十六個插值節(jié)點(見圖)。求：雙三次函數(shù)滿足設③雙三次插值2021/5/9129故令由為三次函數(shù)，可求得2021/5/9130可以在四個頂點分別給定函數(shù)值、兩個一階偏導數(shù)的值和二階混合偏導數(shù)的值(共十六條件)，確定一個雙三次多項式的十六個系數(shù)。（2）Hermite型公式Lagrange型公式中不出現(xiàn)導數(shù)，這樣的試探函數(shù)只屬于。為了得到屬于的試探函數(shù)，需要Hermite型插值公式。雙三次多項式含有十六項：簡單且常用的是不完全的雙三次多項式插值。它去掉雙三次多項式中的項。2021/5/9131插值條件：給定II上四個插值節(jié)點。求：不完全雙三次函數(shù)滿足四個頂點處的函數(shù)值等于在該點的函數(shù)值；四個頂點處的值等于在該點的值；四個頂點處的值等于在該點的值。根據(jù)仿射變換則可將原插值問題轉化為II上的插值問題。2021/5/9132滿足四個頂點處的函數(shù)值等于在該點的函數(shù)值；四個頂點處的值等于在該點的值乘以x；四個頂點處的值等于在該點的值乘以y。插值條件：給定II上四個插值節(jié)點(0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1)。求：不完全雙三次函數(shù)類似于Lagrange型公式的構造，可以求得上的形狀函數(shù)。2021/5/9133

在三角形元的有限元方法中，先將定解區(qū)域G化分為若干個小三角形（稱作單元）。然后在每個單元上構造插值型函數(shù)，并用分片函數(shù)（但整體連續(xù)的函數(shù)）代替變分問題或變分方程中所需求解的函數(shù)。4二維問題的三角形元用有限元求解二維橢圓邊值問題時，應用最廣的是三角形元。2021/5/9134（1）三角剖分將定解區(qū)域化分成若干個小三角形單元時應注意：③為了保證有限元解的精確度和收斂性，并避免其離散后代數(shù)方程組系數(shù)矩陣的病態(tài)性，網(wǎng)格剖分中疏密的過渡不要太陡。錯誤為了保證有限元解有較好的精度，每個單元中應盡量避免出現(xiàn)大的