大學(xué)物理功和能課件講義

力的空間累積效應(yīng)功和能第4章4.1力的功動(dòng)能定理abθdr元功功（變力作用曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)）一、力的功直角坐標(biāo)系中功的表達(dá)式:（微元分析法）取微元過(guò)程，再求和解：[例]質(zhì)點(diǎn)在力作用下沿X軸正方向運(yùn)動(dòng)，則從x=1m運(yùn)動(dòng)到x=2m的過(guò)程中，力做的功A=.[例]如圖,質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng),作用力(k為常量),則從原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到A(0,2R)的過(guò)程中,力做的功為.XYＯＡ解：討論摩擦力作功一定是負(fù)的嗎？2）功是過(guò)程量，作功的多少與路徑有關(guān)1）功是標(biāo)量,其正負(fù)取決于與的夾角

3）恒力的功等于力與位移的乘積

4）合力的功:

(1)對(duì)質(zhì)點(diǎn)合力的功等于各力作功之和。代數(shù)和!(2)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系:各力作功之和各質(zhì)點(diǎn)的元位移不同合力作功不等于

一對(duì)內(nèi)力作功之和：

系統(tǒng)中任意兩質(zhì)點(diǎn)m1、m2的相互作用力質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)質(zhì)點(diǎn)2的元位移質(zhì)點(diǎn)1受質(zhì)點(diǎn)2的力一對(duì)內(nèi)力的功等于一個(gè)力與相對(duì)位移的點(diǎn)積、(作用力－反作用力)中學(xué)已使用過(guò)這個(gè)結(jié)論。如：一對(duì)正壓力的功一對(duì)滑動(dòng)摩擦力作功＜0中學(xué)熟知的例子兩質(zhì)點(diǎn)間的“一對(duì)力”做功之和等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力沿著該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的路徑所做的功。二、功率——反映作功快慢程度的物理量平均功率：瞬時(shí)功率：?jiǎn)挝唬和咛兀╓）當(dāng)力和速度的方向一致時(shí)：例4.1

如圖，水平桌面上有質(zhì)點(diǎn)m

，桌面的摩擦系數(shù)為μ,

求兩種情況下從a到b摩擦力作的功:1）沿圓??；2）沿直徑。解：并非恒力，其方向在變化，討論：

1）是負(fù)功；

注意負(fù)號(hào)的來(lái)源。2）摩擦力作功與路徑有關(guān)。解:例4.2質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)在力(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿

x軸正向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。求前三秒內(nèi)該力所作的功。三、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理思路：與推導(dǎo)動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理相同，仍然由

牛頓第二定律出發(fā)。牛頓力學(xué)中定義質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能為由：元功牛Ⅱ◆標(biāo)量◆狀態(tài)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理合力的功質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理四、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理思考：為什么內(nèi)力之和一定為零，而內(nèi)力作功之和不一定為零呢？合力的功質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量對(duì)第i質(zhì)點(diǎn)：所有外力做的功所有內(nèi)力做的功系統(tǒng)總動(dòng)能的增量求和：(動(dòng)能定理)Note:內(nèi)力不改變系統(tǒng)總動(dòng)量，但改變系統(tǒng)總動(dòng)能！四、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理內(nèi)力之和一定為零，而內(nèi)力作功之和不一定為零1）內(nèi)力也能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能

2）質(zhì)點(diǎn)系的三個(gè)運(yùn)動(dòng)定理各司其職動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)能定理討論3）動(dòng)能是狀態(tài)量而功是過(guò)程量，由狀態(tài)量的變化求過(guò)程量可以簡(jiǎn)化計(jì)算。4）動(dòng)能定理只適用于慣性系，并且功和動(dòng)能的計(jì)算必須統(tǒng)一到同一慣性系。

例4.3在光滑的水平桌面上固定有如圖所示的半圓形屏障，質(zhì)量為m的滑塊以初速v0沿屏障一端的切線(xiàn)方向進(jìn)入屏障內(nèi)，滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為，求當(dāng)滑塊從屏障另一端滑出時(shí)摩擦力的功。1.萬(wàn)有引力的功以M處為原點(diǎn)，一、保守力的定義4.2保守力的功勢(shì)能—與路徑無(wú)關(guān)重力作功地面2.彈簧的恢復(fù)力的功小球在x點(diǎn)時(shí)，受力則質(zhì)點(diǎn)從a→b的過(guò)程中，彈簧的恢復(fù)力作功：l0xoxaxbFab——也與路徑無(wú)關(guān)定義：作功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力，稱(chēng)為保守力。保守力的環(huán)流為零。所討論的力的共同特征：作功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末(相對(duì))位置有關(guān)

具有這種特征的力（嚴(yán)格說(shuō)是一對(duì)力）

稱(chēng)為保守力

證明：=0等價(jià)的數(shù)學(xué)表述：沿任意閉合的相對(duì)路徑移動(dòng)一周保守力做功為零．二、勢(shì)能1.定義

保守力的功，均為系統(tǒng)始末位形函數(shù)的差。把這些由位形決定的函數(shù)，叫做勢(shì)能函數(shù)(Ep)

。保守力做功的特點(diǎn)——與路徑無(wú)關(guān)彈性力的功——保守力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少任一狀態(tài)的勢(shì)能值？若選末態(tài)為勢(shì)能零點(diǎn)，即令即為系統(tǒng)在狀態(tài)a的勢(shì)能◆勢(shì)能零點(diǎn)原則上任意選取；零點(diǎn)改變，則各點(diǎn)勢(shì)能值隨之改變，勢(shì)能差值與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。由功的定義定義:一點(diǎn)處的勢(shì)能等于保守力從該點(diǎn)到勢(shì)能零點(diǎn)的線(xiàn)積分值(1)萬(wàn)有引力勢(shì)能由=EPa－EPb以r→∞時(shí)為萬(wàn)有引力勢(shì)能零點(diǎn)，即令rEP引O由任一狀態(tài)勢(shì)能值的定義,可得兩物體相距r時(shí)的萬(wàn)有引力勢(shì)能2.力學(xué)中常見(jiàn)的勢(shì)能函數(shù)[思考]設(shè)則(2)重力勢(shì)能0hEP以h=0處為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有EP重（h）

=

mgh(3)彈性勢(shì)能通常以彈簧原長(zhǎng)(x=0)時(shí)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，xEP彈O同樣根據(jù)任一狀態(tài)勢(shì)能值的定義，可得彈簧伸長(zhǎng)x

時(shí)彈性勢(shì)能:以彈簧原長(zhǎng)(x=0)時(shí)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)oxX[思考]設(shè)則有關(guān)勢(shì)能的幾點(diǎn)說(shuō)明2、系統(tǒng)引入勢(shì)能的條件是系統(tǒng)內(nèi)物體間存在著保守力。對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)的非保守力就不能引入勢(shì)能。

3、保守力所做的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。保守力做正功，系統(tǒng)勢(shì)能減少；保守力做負(fù)功，系統(tǒng)勢(shì)能增加。系統(tǒng)具有勢(shì)能，就具有做功的本領(lǐng)。4、由于勢(shì)能和系統(tǒng)所處的相對(duì)位置(相對(duì)位移)有關(guān)，因而與參照系的選擇無(wú)關(guān)。1、勢(shì)能屬于產(chǎn)生保守力的整個(gè)物體系統(tǒng)，不屬于某一物體所有。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m,距地心為r，若選r=4R(R為地球半徑)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)位于r=2R處時(shí)，它與地球(質(zhì)量為M)所組成的系統(tǒng)的勢(shì)能為.

解:用萬(wàn)有引力的線(xiàn)積分計(jì)算？[思考][例4-6][例4-7]兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量均為m,開(kāi)始時(shí)兩者靜止，距離為a.在萬(wàn)有引力作用下,兩者距離變?yōu)閎.在此過(guò)程中,萬(wàn)有引力做的功A=.解：[思考]兩者距離為b時(shí)的速率？[例4-8]質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在指向圓心的力F=k/r2的作用下，作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，若取Ep=0，則系統(tǒng)的機(jī)械能E=.解：牛Ⅱ：于是三、由勢(shì)能函數(shù)求保守力由勢(shì)能定義有保守力與相應(yīng)勢(shì)能的關(guān)系：例如彈性勢(shì)能：一、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理（動(dòng)能定理的變形）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理機(jī)械能二、機(jī)械能守恒定律功能原理：外力與非保守內(nèi)力做功的代數(shù)和等于質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量當(dāng)4.3功能原理

機(jī)械能守恒定律說(shuō)明1、只有保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但它們的總和始終保持不變。2、機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系。3、運(yùn)用守恒定律解題步驟選系統(tǒng)明過(guò)程查受力審條件定狀態(tài)列方程

例4.4一雪橇從高度為50m的山頂上點(diǎn)A沿冰道由靜止下滑,山頂?shù)缴较碌钠碌篱L(zhǎng)為500m.雪橇滑至山下點(diǎn)B后,又沿水平冰道繼續(xù)滑行,滑行若干米后停止在C處.若摩擦因數(shù)為0.050,求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.(點(diǎn)B附近可視為連續(xù)彎曲的滑道.忽略空氣阻力)已知：h=50m，=0.050，s=500m，求：s=？解:以雪橇、冰道和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，代入已知數(shù)據(jù)有由功能原理得例4.5

一半徑為的四分之一圓弧垂直固定于地面上，質(zhì)量為的小物體從最高點(diǎn)由靜止下滑至點(diǎn)處的速度為，求摩擦力所作的功。解：法二：應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求解法一：應(yīng)用功能原理求解選系統(tǒng)：物體圓軌道地球取點(diǎn)處為重力勢(shì)能零點(diǎn)，得法三：應(yīng)用牛二定律，解出摩擦力，然后由功的定義求例4.6一輕彈簧,其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P,另一端系一質(zhì)量為m的小球,小球穿過(guò)圓環(huán)并在圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)(不計(jì)摩擦)。開(kāi)始小球靜止于點(diǎn)A,彈簧處于自然狀態(tài),其長(zhǎng)度為圓環(huán)半徑R;當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的底端點(diǎn)B時(shí),小球?qū)A環(huán)沒(méi)有壓力。求彈簧的勁度系數(shù)。解：以彈簧、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)機(jī)械能守恒取圖中點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)即又所以機(jī)械能守恒在體育方面的應(yīng)用

碰撞的特點(diǎn)：

1、兩物體間相互作用時(shí)間很短，而碰撞前后，兩物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化顯著。

2、兩物體碰撞時(shí)，相互作用的沖力很大，其它外力相對(duì)很小，可忽略不計(jì)，因此可認(rèn)為總動(dòng)量守恒。

碰撞

是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體間的短促作用。4.4碰撞（collision）（五個(gè)小球質(zhì)量全同）一、完全彈性碰撞

（perfectlyelasticcollision）特點(diǎn)：系統(tǒng)的機(jī)械能（動(dòng)能）完全沒(méi)有損失。兩球交換速度輕球反彈重球速度不變，輕球以?xún)杀队谥厍虻乃俣惹斑M(jìn)。由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒：解得討論二、完全非彈性碰撞（perfectlyinelasticcollision）

特點(diǎn)：碰后兩物體以共同速度運(yùn)動(dòng)碰撞過(guò)程中損失的動(dòng)能：由動(dòng)量守恒：解得：機(jī)械能不守恒！動(dòng)量守恒：碰撞定律：

碰撞后兩球的分離速度（v2-v1）與碰撞前兩球的接近速度（v10-v20）成正比。比值由兩球的質(zhì)料決定。

彈性碰撞：e=1完全非彈性碰撞：e=0非彈性碰撞：0＜e＜1定義:恢復(fù)系數(shù)三、非彈性碰撞（non-perfectlyelasticcollision）習(xí)4.1質(zhì)量為1kg的鋼球，系在長(zhǎng)為l=0.8m的繩子的一端，繩的另一端固定。把繩拉至水平位置后將球由靜止釋放，球在最低點(diǎn)與質(zhì)量為5kg的鋼塊作完全彈性碰撞。求碰撞后鋼球升高的高度。解：本題分三個(gè)過(guò)程：第一過(guò)程：鋼球下落到最低點(diǎn)。以鋼球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒。以鋼球在最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)：第二過(guò)程：鋼球與鋼塊作完全彈性碰撞，以鋼球和鋼塊為系統(tǒng)，動(dòng)能和動(dòng)量守恒：第二過(guò)程：鋼球與鋼塊作完全彈性碰撞，以鋼球和鋼塊為系統(tǒng)，動(dòng)能和動(dòng)量守恒：第三過(guò)程：鋼球上升。以鋼球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒。以鋼球在最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)。解以上方程，可得代入數(shù)據(jù)，得習(xí)4.2一劈形物體質(zhì)量為m′,斜面傾角為θ,靜止于光滑的水平面上。在它的斜面上有一質(zhì)量為m的小物體，從高度h處由靜止無(wú)摩擦地下滑。問(wèn)當(dāng)小物體滑到水平面時(shí)，劈形物體的速度為多大？解設(shè)小物體相對(duì)于斜面的下滑速度為相對(duì)于地的速度為以?xún)蓚€(gè)物體和地球?yàn)橄到y(tǒng)，有機(jī)械能守恒：劈形物體的速度為m′v2v′mθ(1)動(dòng)量的水平分量守恒根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度變換公式可得由以上四式解得(2)(1)(3)(4)v′v2v1θ運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：解：以m1

、m2和彈簧、地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)，開(kāi)始時(shí)，彈簧被壓縮x0，由平衡條件得m2離開(kāi)地面的條件為:系統(tǒng)機(jī)械能守恒習(xí)4.3用彈簧連接兩個(gè)木板m1、m2

，彈簧壓縮。求:給m1上加多大的壓力能使m2

離開(kāi)桌面？