教案微分中值定理

西安交通工程學院《高等數(shù)學》教案西安交通工程學院《高等數(shù)學》教案#/7西安交通工程學院《高等數(shù)學》課程建設組八,)=b-aF'(,)=0。又F'(x)=門x)-f?-f八,)=b-a?門,)-=0或b-a注1：拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣；2：定理中的結論，可以寫成f(b)-f(a)=f'(g)(b-a)(a…,…b),此式也稱為拉格朗日公式，其中,可寫成:€a+0(b-a)(0<0…1)?f(b)-f(a)€f(a+0(b-a))(b-a)若令b€a+h,?f(a+h)-f(a)=廣(a+0h)h3：若a>b，定理中的條件相應地改為：f(x)在［b,a］上連續(xù)，在(b,a)內可導，則結論為：f(a)-f(b)=f'(g)(a-b)也可寫成f(b)-f(a)=f'(g)(b-a)可見，不論a,b哪個大，其拉格朗日公式總是一樣的。這時，,為介于a,b之間的一個數(shù)，(4)中的h不論正負，只要f(x)滿足條件，(4)就成立。4：設在點x處有一個增量Ax，得到點x+Ax，在以x和x+Ax為端點的區(qū)間上應用拉格朗日中值定理，有f(x+Ax)-f(x)=f'(x+0Ax)-Ax(0<0<1)即Ay=f'(x+0Ax)-Ax這準確地表達了Ay和Ax這兩個增量間的關系，故該定理又稱為微分中值定理。5：幾何意義：如果曲線y=f(x)在除端點外的每一點都有不平行于y軸的切線，則曲線上至少存在一點，該點的切線平行于兩端點的連線。由定理還可得到下列結論：推論1：如果y=f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為o,則f(x)在I上是一個常數(shù)。證明：在I中任取兩點x，x(x<x)，y=f(x)在［x,x］連續(xù)，在121212(x,x)可導，由拉格朗日中值定理，則在(x,x)內至少存在一點,，使得1212

f(x2)-f(xi)二廣(€)(x2-xi)由假設可知在I上,f'(x)三0，從而在(x,x)上,f'(x)三0，12…廣(€)=0，所以f(x)-f(xo)=0…(x)=f(xo)，可見，f(x)在1上的每一點都有：f(x)=f(x0)(常數(shù))。x【例3】證明當x〉0時1子財+x)<x.證：設/(x)=ln(l+x),顯然f(x)在［0,X］上滿足拉格朗日中值定理條件，故至少存在一點Ee(°,x)使f(丁f(°)=f'(E)1，f(°)=°，廣(￡)=1，代入上式有l(wèi)n(l+x)一Ln11ln(1+ln(l+x)一Ln11ln(1+x)1=1即「17「吃凹<1即『<加(1+x)<1+xx1+x注：(1)構造輔助函數(shù)f(x)；(2)正確確定區(qū)間左右端點，利用TH2可得.三、柯西中值定理定理3：若f(x),F(x)滿足:⑴在［a,b］上連續(xù)；⑵在(a,b)內可導；(3)Vxe(a,b)F'(x)豐0則在(a,b)內至少存在一點€，使得爲=倍舉。F'(€)F(b)-F(a)證明：令9(x)=f(b)［f(a)F(x)-f(x)'顯然’曲)在叵b］上連續(xù)'且申(x)在(a,b)內可導，更進一步還有申(a)二申(b)，事實上,9(b)(a)=F(b)-f(b)-f(a”f(a)

€Fl舗(F(b)-F(a))-(f(b)-f(a))€0所以,(x)滿足羅爾定理的條件，故在(a,b)內至少存在一點匕,使得(x)€船罟f?(x)一八x)…F?(g)一f?(g)€0因為F?(g)’0，…黑€FbfF?(g)’0，…黑€Fbf就得到拉格朗日中值定理;2：幾何意義：若用：€f(x］(a<x<b)表示曲線c，2：幾何意義：若用Y€F(x)義同前一個。<【例4】證明arcsinx+arccosx=(-1<x<1)。^211證：令f(x)€arcsinx+arccosx，€?f'(x)=-=0，1-x2<1-x2<<由推論知f(x)=常數(shù)！再由f(0)€—，故arcsinx+arccosx=—【例5】若方程axn+axn-i+...+ax€0有一個正根x=x，01n-10證明方程a0nxn-1+a1(n一1)xn一2+…+an-1€0必有一個小于x0的正根。證明：令f(x)€aoxn+a嚴+…+，在閉區(qū)間［0,%］上滿足羅爾定理的三個條件，故f'(g)€0(0<E<xo)f'(x)€anxn-1+a(n一1)xn-2+...+aTOC\o