2023名校冀教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 17.3 勾股定理

17.3勾股定理基礎(chǔ)闖關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)一勾股定理及其應(yīng)用1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別表示∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，則下列各式中，不正確的是()A.B.C.D.2．如圖17-3-1，已知兩正方形的面積分別是25和169，則字母B所代表的正方形的面積是()A．12B．13C．144D.1943．若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為12和5，則第三邊長(zhǎng)為()A．13B.13或C.13或15D.154．如圖17-3-2，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿(mǎn)足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是()A.48B.60C.76D.805．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c．(1)若c=10，a：b=3：4，求a、b；(2)若c=61，a=60，求b．6．勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法．(1)請(qǐng)你根據(jù)圖17-3-3①填空：勾股定理成立的條件是_________三角形，結(jié)論是_________（三邊的數(shù)量關(guān)系）；(2)以圖17-3-3①中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形(如圖17-3-3③)，請(qǐng)你利用圖17-3-3②驗(yàn)證勾股定理．7．小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿的繩子垂到地面還多了1m，當(dāng)他把繩子下端拉開(kāi)5m時(shí)，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面（如圖17-3-4），求旗桿的高，知識(shí)點(diǎn)二勾股定理的逆定理8．下列4組數(shù)據(jù)：(1)8，15，17；(2)5，12，13；(3)12，15，20；(4)7，24，25.其中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的有()A.1組B.2組C.3組D.4組9．如圖17-3-5，明明散步從A到B走了41米，從B到C走了40米，從C到A走了9米，則∠A+∠B的度數(shù)是_________度.10．判斷如圖17-3-6所示的正方形網(wǎng)格中的△ABC是不是直角三角形，試說(shuō)明理由．11.如圖17-3-7，△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面積．12.如圖17-3-8，在△ABC中，CD⊥AB于D．(1)若AD=12，AC=13，求CD的長(zhǎng)；(2)若CD2=AD·DB，求證：△ABC是直角三角形．能力提升全練1．在△ABC中，AB=，AC=2n,，BC=，則這個(gè)三角形是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形2．如圖17-3-9，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線(xiàn)BD上的點(diǎn)A'處，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)______.3．若，則三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三角形是_______三角形．4．閱讀以下解題過(guò)程：已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足，試判斷△ABC的形狀．錯(cuò)解：∵，①∴,③∴．③∴△ABC為直角三角形．④(1)上述解題過(guò)程，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出該步的序號(hào)________；(2)錯(cuò)誤的原因是______________________；(3)本題正確的結(jié)論是___________________．5．如圖17-3-10，四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且∠B=90°.求四邊形ABCD的面積．6．如圖17-3-11，某工廠C前面有一條筆直的公路，原來(lái)通過(guò)兩條路AC，BC可以從工廠C到達(dá)公路，經(jīng)測(cè)量AC=600m，BC=800m，AB=1000m，現(xiàn)需要修建一條路，使工廠C到公路的距離最短，請(qǐng)你幫工廠C的負(fù)責(zé)人設(shè)計(jì)一種方案，并求出新建的路的長(zhǎng)．三年模擬全練一、選擇題1．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為6、8、10，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為()A.3.6B.4C．4.8D．52．把一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形按如圖17-3-12所示的方式放在數(shù)軸上，以正方形的對(duì)角線(xiàn)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是()A．1D．2二、填空題3．如圖17-3-13，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，則AD的長(zhǎng)等于_________.三、解答題4．如圖17-3-14，某登山運(yùn)動(dòng)員想從營(yíng)地A沿AB到達(dá)山頂B，再由山頂B沿BD下山到達(dá)營(yíng)地D．如果AD為水平線(xiàn)，BC為山的垂直高度，AB=2000米，∠A=30°，∠D=45°，求運(yùn)動(dòng)員一共走了多少米．（≈1.414）五年中考全練一、選擇題1．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖17-3-15所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長(zhǎng)為()A.9B.6C.4D.32．如圖17-3-16，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，……，按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，則的值為()A.B.C．D．二、填空題3．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC邊上的高等于3，則BC邊的長(zhǎng)為_(kāi)___．4．如圖17-3-17①，這個(gè)圖案是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱(chēng)它為“趙爽弦圖”，此圖案的示意圖如圖17-3-17②，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四個(gè)全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．三、解答題5．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過(guò)程．核心素養(yǎng)全練1.閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱(chēng)為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為其中m>n>0，m，n,是互質(zhì)的奇數(shù)，應(yīng)用：當(dāng)n=1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)．2．如圖17-3-19.(1)小明在做拼圖游戲時(shí)，把三個(gè)正方形拼成一定的形狀，如圖17-3-19①，若正方形P的面積為9，Q的面積為15，M的面積為24．則此圖中的△DEF為_(kāi)_______三角形；(2)如圖17-3-19②，若半圓的面積為36，半圓的面積為64，半圓的面積為100，則△DEF為_(kāi)_______三角形；(3)如圖17-3-19③，如果直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，你能求出陰影部分的面積嗎？17.3勾股定理基礎(chǔ)闖關(guān)全練1．D∵∠C=90°，∴c為斜邊，∴A、B、C正確，故選D．2．C字母B所代表的正方形的面積為169-25=144．3．B當(dāng)12是斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)是；當(dāng)12是直角邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)是.經(jīng)檢驗(yàn)，兩種情況都符合題意．故選B．4.C∵∠AEB=90°，AE=6,BE=8，∴在Rt△ABE中，，∴．故選C．5．解析(1)根據(jù)題意可設(shè)a=3k，b=4k，k>0，由勾股定理得，所以k=2，所以a=6，b=8．(2)由勾股定理得b=．6．解析(1)直角；.(2)∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC.又∵∠EDC+∠DEC=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠AED=90°,∴,即(a+b)(a+b)=ab+ab+．整理得.7．解析設(shè)旗桿的高AB為xm，則繩子的長(zhǎng)AC為(x+1)m，在Rt△ABC中，，∴，解得x=12,∴旗桿的高為12m．8．C根據(jù)勾股定理的逆定理可知，(1)(2)(4)能構(gòu)成直角三角形，故選C．9．答案90解析∵，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．10.解析△ABC是直角三角形，理由：設(shè)正方形網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1．由勾股定理得=13，=52，=65，∵，∴△ABC是直角三角形．11．解析∵，即，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，則∠ADC=90°，∴在Rt△ADC中，,∴DC=15，∴BC=BD+DC=21,∴=×21×8=84.12.解析(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°．在Rt△ACD中，由勾股定理得，所以CD=5．(2)證明：由已知可知△ACD與△BCD均為直角三角形，所以，，所以,因?yàn)?所以，所以△ABC是直角三角形.能力提升全練1.B因?yàn)?,，所以，所以△ABC為直角三角形．2．答案解析由勾股定理求得BD=13，由題意知DA=DA'=BC=5，∠DA'E=∠DAE=90°，所以BA’=13-5=8，設(shè)AE=x，則A'E=x，BE=12-x，在Rt△EA'B中，，解得x=，即AE的長(zhǎng)為．3．答案直角解析∵．∴c-13=0，a-12=0，b-5=0，∴a=12，b=5，c=13，∴，∴三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三角形是直角三角形．4．答案(1)③(2)不能確定的值是不是0(3)等腰三角形或直角三角形解析∵，∴由得到．∴或，即a=b或，∴三角形ABC為等腰三角形或直角三角形，故從第③步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是不能確定的值是不是0．5．解析連接AC，如圖所示：∵∠B=90°,AB=3,BC=4,∴AC==5．在△ACD中,=25+144=169=,∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∴.6．解析過(guò)點(diǎn)C作公路AB的垂線(xiàn)，垂足為D,則CD即為新建的路，∵,，∴，∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°.由三角形的面積公式知,∴,∴CD=480m，即新建的路的長(zhǎng)為480m．三年模擬全練一、選擇題1．D∵．∴三邊長(zhǎng)分別為6、8、10的三角形是直角三角形，最長(zhǎng)邊為10，∴最長(zhǎng)邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為5．故選D．2．B∵，∴OA=，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是，故選B.二、填空題3．答案13解析在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，根據(jù)勾股定理，得AB=5．在直角三角形ABD中，AB=5，BD=12，根據(jù)勾股定理，得AD=13.三、解答題4．解析∵在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=2000，∴BC=AB=1000，在Rt△DBC中，∠D=45o，∴BC=CD=1000,∴=1000≈1414,∴AB+BD=2000+1414=3414.∴運(yùn)動(dòng)員一共走了約3414米.五年中考全練一、選擇題1.D由題意可知，中間小正方形的邊長(zhǎng)為a-b．∵每一個(gè)直角三角形的面積為AB=×8=4∴4×ab+=25，∴=25-16=9，∴a-b=3，故選D.2.A如圖所示，∵△CDE為等腰直角三角形，∴,DE=CE,∴,即．觀察后可發(fā)現(xiàn)：.當(dāng)n=9時(shí)，，故選A.二、填空題3．答案9或1解析分兩種情況討論：①當(dāng)BC邊上的高在△ABC內(nèi)時(shí)，如圖，過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．在Rt△ABD中，∵AB=，AD=3，∴BD==5．在Rt△ACD中，∵AC=5，AD=3，∴CD==4．∴BC=BD+CD=9．②當(dāng)BC邊上的高位于△ABC外時(shí)，如圖，同①可求得BD=5，CD=4，∴BC=1．綜上可知，BC的長(zhǎng)為1或9．4．答案10解析依題意知．BG=AF=DE=8，EF=FG=2，∴BF=BG-FG=6，∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AB==10．三、解答題5．解析在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，作AD⊥BC于D．設(shè)BD=x，則CD=14-x.由勾股定理得．,∴，解得x=9，∴AD=12,∴.核心素養(yǎng)全練1．解析當(dāng)n=1時(shí)，a=①，b=m②，c=③，∵直角三角形有一邊長(zhǎng)為5，∴(1)當(dāng)a