2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷 (八十三)(含答案解析)

2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷(83)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共12小題，共60.()分)

1.己知集合4={制/-6x+8<0},B=(x\l<x<3,x&N},則AnB=()

A.(2,3]B.{3}C.{2,3}D.0

2.已知復(fù)數(shù)Zi=m+2i,z2=2-i,若/為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)，"的值為()

A.1B.-1C.4D.一4

3.自古以來“民以食為天”，餐飲業(yè)作為我國第三產(chǎn)業(yè)中的一個(gè)支柱產(chǎn)業(yè)，一直在社會(huì)發(fā)展與人

民生活中發(fā)揮著重要作用。某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2010?2016年餐飲收入的情況，得到下面的條形圖,

億元

40000

35000

30000

25000

20000

15000

10000

5000

0

A.2010?2016年全國餐飲收入逐年增加

B.2016年全國餐飲收入比2010年翻了一番以上

C.2010?2016年全國餐飲收入同比增量最多的是2015年

D.2010?2016年全國餐飲收入同比增量超過3000億元的年份有3個(gè)

4.在等差數(shù)列{an}中，己知。4+。8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和Su=()

A.58B.88C.143D.176

5.若雙曲線M:，'=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是RAP為雙曲線M上一點(diǎn)，且|P&|=

15,\PF2\=7,\FtF2\=10,則雙曲線M的離心率為()

A.3B.2C.-3D.-4

6.函數(shù)/（%）=ln|x|-/的大致圖象為（）

7.在如圖所示的矩形ABC。中，AB=2,AD=1,E為線段BC上的點(diǎn)，則而.加的

最小值為（）

A.2

D竺

?4

C-T

D.4

8.己知將函數(shù)f(x)=cos(<ox4-9)(3>0,0<<￡后，所得圖象關(guān)于y軸

對(duì)稱，且/■(())=￥，則當(dāng)3取最小值時(shí)，函數(shù)/(X)的解析式為()

A./(%)=cos(5x+B./(x)=sin(9x-^)

C./(x)=cos(3x+$D./(x)=cos(|x+力

9.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A.2

4

B-

3

c-

D-3

10.數(shù)列｛冊(cè)｝中，%=1，劭=3,且數(shù)列｛K3｝是等比數(shù)列，則他等

于（）

A.7B.8C.6D.5

11.過拋物線y2=x的焦點(diǎn)F的直線/交拋物線于A,B兩點(diǎn)，且直線/的傾斜角。2%點(diǎn)A在x軸

的上方，則|凡4|的取值范圍是（）

A.（l,l+爭B.$1+爭C.（；,1]D.（0,l+爭

12.已知函數(shù)/'(%)=(%-l)e"-Q仇x在停,3]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[9e3,4-oo)B.(-00,9s3]C.[4e2,+oo)D.(-8,4吟

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知x是[-10,10]上的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，則使x滿足一2S3的概率為.

2x—y+6N0

14.已知實(shí)數(shù)x、y滿足卜+yN0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為.

X<2

15,將5位老師分別安排到高二的三個(gè)不同的班級(jí)任教，則每個(gè)班至少安排一人的不同方法數(shù)為

16.正四面體ABC。的體積為日，則正四面體ABC。的外接球的體積為____.

3

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在△ABC中，設(shè)2=百一1,半=土￡,求角A,B,C.

ctanCc

18.如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面ABC。為平行四邊形，^ACD=45°,CD=2,△PAC為邊

長為魚的等邊三角形，PALCD.

(1)證明：平面PCD1平面ABCQ；

(2)求二面角4-PB-C的平面角的大小.

p

19.甲乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投籃；

己知每次投籃甲、乙命中的概率分別為3，在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為f,求隨機(jī)變量f的

概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差.

20.設(shè)圓/+y2+2x—15=0的圓心為A,直線/過點(diǎn)BQ0)且與x軸不重合，/交圓4于C,。兩

點(diǎn)，過B作AC的平行線交AO于點(diǎn)E.

(1)證明EA1+IED為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線G，直線/交G于N兩點(diǎn)，過B且與/垂直的直線與圓A交于P,Q

兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

21.若/i(a)/i(b)<0,則九。)在單調(diào)區(qū)間(a,b)上存在唯一零點(diǎn)質(zhì),求證：函數(shù)/(x)=等-g%+b在

區(qū)間(l,e)上存在最大值.

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為［”=：cosa,?為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，1

(y=tsina

軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線G：p=2cos。，曲線C2：P=cos(e-g).

(I)求C2的直角坐標(biāo)方程；

(II)若直線/與曲線C1，C2分別相交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)M,N,求|MN|的最大值.

23.設(shè)函數(shù)(f%)=氏-1|+|%—21

(1)解不等式/(無)>5-%；

(2)若/(x)>i-1對(duì)VxGR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：解：A={x|2<x<4],B=[2,3}；

???AnB={3}.

故選：B.

可解出集合A,B,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

考查描述法、列舉法的定義，

2.答案：D

解析：解：復(fù)數(shù)Zi=m+2i,z2=2-i,

.z〔_m+2i_(m+2i)(2+i)_2m-2+(m+4)i

“5-2-i-(2-i)(2+0—5，

?嚀為實(shí)數(shù),

z2

???771+4=0,

??.m=-4.

故選：D.

通過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)為a+兒的形式，利用復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，虛部為0,即可求出〃?

的值.

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查.

3.答案：D

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查條形圖、折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、分析判斷能力，

由2010年至2016年我國實(shí)際利用外資情況統(tǒng)計(jì)圖直接求解，是基礎(chǔ)題.

解：由條形圖可知2010?2016年全國餐飲收入逐年增加；

2016年全國餐飲收入比2010年翻了一番以上；

2010?2016年全國餐飲收入同比增量最多的是2015年；

顯然，2010?2016年全國餐飲收入同比增量超過3000億元的年份有2個(gè).

故。錯(cuò)誤.

故選。.

4.答案：B

解析：解：??,在等差數(shù)列｛即｝中，已知。4+。8=16,

**,Q]+=。4+。8=16,

S11=iiS'+a"）=88,

故選：B.

根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)得%++。8=16,再由S11=11（。；用）運(yùn)算求得結(jié)果.

本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.答案：D

解析：

利用勾股定理以及雙曲線的定義，求出a,c即可求解雙曲線的離心率即可.本題考查雙曲線的簡單

性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

解：因?yàn)镻為雙曲線"上一點(diǎn)，且儼&|=15,仍61=7,尸/2|=10，

由雙曲線的定義可得|PF/-IPF2I=2a=8,I&F2I=2c=10,

則雙曲線的離心率為：e=-=p

a4

故選。.

6.答案：C

解析：

本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)的性質(zhì)入手是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題.根據(jù)題意可得函數(shù)為

奇函數(shù)，排除選項(xiàng)，利用特殊點(diǎn)的位置判斷選項(xiàng)即可.

解：由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）（J（0,+8）,

函數(shù)/（無）=ln|x|-x3,

當(dāng)x<0時(shí)，可得/（工）=In（-工）-J,

由y：hi（-工）與y=-%3在（-8,0）上均單調(diào)遞減,

故/'(x)在(—8,0)上均單調(diào)遞減，排除A,B,D.

故選C.

7.答案：B

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，8c所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,

則4(0,2),D(l,2),F(x,0),

所以南.赤=(x,-2)-(x-1,-2)

=X2—x+4

=。_》2+奉

因?yàn)镋為線段BC上的點(diǎn)，所以x6[0,1],

所以當(dāng)x=：時(shí)，AE■屁取得最小值手.

24

故選：B.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，8c所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示荏.反，計(jì)算它的最小值.

本題考查了平面向量數(shù)量積的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

8.答案：C

解析：

本題主要考查函數(shù)y=As譏(3%+0)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題，利

用函數(shù)y=As譏(3丫+尹)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，可得一翳+W=/OT,keZ,

(P=g求得3的值，可得函數(shù)f(x)的解析式.

解：將函數(shù)/(X)=cos(3X+8)(3>0,0<W<])向右平移2個(gè)單位長度后，可得y=COS(3X-得+

0)的圖象，

根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得一雪+3=1兀，k€Z.

再根據(jù)/(0)=苧可得cosw=浮二W=%

?"翳+?=kn,3=12k+3,則當(dāng)3=3取最小值時(shí)，函數(shù)“X)的解析式為f(x)=cos(3x+》

故選C.

9.答案：C

解析:

本題考查通過三視圖求解幾何體的體積，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

通過三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.

解：如圖所示，由三視圖可知，

在三棱錐P-4BC中，P4_L平面ABC,底面△4BC為等腰三角形，且底邊長為2,高為1,

故三棱錐的體積為5.詆=I-ShABC-P>4=1x|x2xlx2=|.

故選C.

10.答案：A

解析：解：???數(shù)列｛三是等比數(shù)列，其公比為",

設(shè)生=總

,"2=±=3%=六=；

?_如_1

??q-^-2

b3

■■s=b5q=1

.1—1

"a8+l-8'

CLQ=7,

故選：A.

根據(jù)數(shù)列｛士r｝是等比數(shù)列，其公比為4,設(shè)bn=±,求出公比，即可得到三7=:，解得即可，

U^T1Clfi"r1.UgT1o

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查額運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：B

解析：

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

通過拋物線方程可知焦點(diǎn)F(；,0),一方面通過點(diǎn)A在x軸上方可知|F*cos。=辦一］,一方面利用

拋物線定義可知|凡4|=馬+；,聯(lián)立消去孫可知|凡4|=不藹，利用。6碎㈤計(jì)算即得結(jié)論.

解：???拋物線方程為y2=%,

其焦點(diǎn)尸&,0),

???點(diǎn)A在x軸上方，

???\FA\cos0=\

由拋物線定義可知：\FA\=xA+^,

1

\FA\=—J，

1-COS0

???0e《,兀)，

**?COSdE(-1,~y\1

?中*=嘉6(h+爭，

故答案為艮

12.答案：A

解析：

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.屬于基礎(chǔ)題.

求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可.

解:由題意得［⑺=xe，-三。在［：,3］上恒成立，則a2廣］在［|,引上恒成立,

令。(%)=x2ex,g'(%)=(x2+2x)ex>0,

所以g(x)在質(zhì)3］單調(diào)遞增，所以g(x)在已3］最大值為9e3.

所以aZ9e3.

故選：A.

13.答案；；

4

解析：解：由測(cè)度比為長度比可得，

在［—10,10］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則使x滿足—2<x<3的概率為p=W2張=

故答案為：

4

直接利用測(cè)度比為長度比得答案.

本題考查幾何概型概率的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

14.答案：12

解析：解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分)

由z=x+y得y=—x+z,平移直線y=—x+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)、直線y=-x+z的

截距最大，

此時(shí)Z最大.由已久-y+6=°解得4(2,10).

代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=2+10=12.

即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為12.

故答案為：12.

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移

即可求z的最大值.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法.利用平移確定目標(biāo)

函數(shù)取得最優(yōu)解的條件是解決本題的關(guān)鍵.

15.答案：150

解析：解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、將5名實(shí)習(xí)老師分為3組，

若分為2、2、1的三組，有建筍=15種分組方法；

若分為3、1、1的三組，有猿=10種方法，

則一共有15+10=25種分組方法；

②、將分好的三組對(duì)應(yīng)3個(gè)班級(jí)，有a=6種情況，

則共有25x6=150種不同的分配方案.

故答案為：150.

根據(jù)題意，分2步分析：先將5名實(shí)習(xí)老師分為3組，有2種分組方法，分為2、2、1的三組或3、

I、1的三組，由組合數(shù)公式可得其分組方法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理將其相加可得分組的情況數(shù)目，

第二步，將分好的三組對(duì)應(yīng)3個(gè)不同的場(chǎng)館，由排列數(shù)公式可得其對(duì)應(yīng)方法數(shù)目；由分步計(jì)數(shù)原理

計(jì)算可得答案.

本題考查排列、組合及分步乘法原理的應(yīng)用，注意本題的分組涉及平均分組與不平均分組，要用對(duì)

公式.

16.答案：^-na3

2

解析:

本題考查多面體外接球體積的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

由題意畫出圖形，設(shè)正四面體ABC。的棱長為無，由已知求得X,進(jìn)一步求出外接球半徑，代入體積

公式求解.

解：如圖,

設(shè)正四面體A8Q）的棱長為x,過4作ADLBC,

設(shè)等邊三角形ABC的中心為。，則40=2/1。=3%,

33

???PO=_譚%/=乎第，

VP-ABC=\'\X?yx?=y）即尤=企必

再設(shè)正四面體ABC。的外接球球心為G,連接GA,

則R2=（當(dāng)以+（誓a—R）2,即R=苧a.

???正四面體ABCD的外接球的體積加=7X亭尸="

故答案為：如

17.答案：（本題滿分為14分）

A7JitanB2a-c砥sinBcosC2sinA.-=v/,v\sinA2sinA-八、

解：：由嬴==,得：嬴7蒜=赤一1，可得：嬴浪防=三方’…?分）

二整理解得：cosB=：,可得：B=g,可得：力+C=與....（6分）

4+CA-C

???岑+1=8,可得；竺上解得：cos5^=sine=cosG—C），

sinCsinC22'

等=］一C或竿=。一］…［12分）

A+C=n,或3c—4=兀,

二當(dāng)4+C=兀時(shí)，由于A+C=等，矛盾,

可得：3。-4=兀，結(jié)合力+。=拳可得：c="，4=%..（14分）

解析：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式，整理可得cosB=1,結(jié)合B的范圍可求8的值,

利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得cos”=cos《-C）,利用余弦函數(shù)的

性質(zhì)即可得解3。-4=兀，進(jìn)而可求C,A的值.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦函數(shù)的性質(zhì)

在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.答案：證明：（1）△ACD'V^ACD=45°,

CD=2,AC=V2,

由余弦定理可得，AD=42,

故心+心=CD?,

所以NCAD=90。，且△ACD為等腰直角三

角形.

y

取C。中點(diǎn)0,由力C=4D得，>401CD

連PO,PA1CD,

所以CO_L平面POA,所以CDJ.P。

又40=1,PO=1,PA=>/2

所以，AO2+P02=PA2,：.PO1AO

又4。U平面尸CO所以P。1平面ABCD

又POU平面PCD

所以平面PCDJ■平面ABCD.(6分)

解：(2)以。為原點(diǎn)，OD、OA、OP分別為x、八z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1),4(0,1,0),C(-l,0,0),0),

設(shè)平面PAB的法向量五=(x,y,z),

PA=(0,1.-1).BA=(2,0,0),

則屜里=o,即y-廣。令y=i,貝ijz=i,所以元=(o,i,i)

同理，平面PBC的法向量鉆=(LI,-1)

故cos(五，記>==0,0=90°.

阿m|

所以，二面角4-PB-C的平面角為90。.(12分)

解析：(1)由余弦定理可得，AD=<2,推導(dǎo)出4040=90。，且△4CD為等腰直角三角形.取CD中

點(diǎn)。，由ZC=4D得，401。。連「。，PALCD,從而CDJ_平面POA,CD1PO,求出POJ.AO,

由此能證明平面PCO，平面ABCZX

(2)以。為原點(diǎn)，OD、04、OP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角4一

PB-C的平面角.

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.答案：解：隨機(jī)變量f的可能取值為0,1,2,

P(f=0)=[x瀉，

隨機(jī)變量6的概率分布表:

012

171

P

9182

E(f)=0x/lx?2x；條

心)=(。-解嗎+(1—書2乂3+(2一款x；=券

答：隨機(jī)變量6的數(shù)學(xué)期望為荒，方差為孤.

解析：本題考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量的期望與方差，隨機(jī)變量f的可能取

值為0,1,2,分別得出對(duì)應(yīng)概率，即可得出隨機(jī)變量f的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差.

20.答案：解：(1)-??\AD\=\AC\,EB//AC,^/.EBD=^ACD=/.ADC,

|FB|=\ED\,故|E4|+\EB\=\EA\+\ED\=\AD\.

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+y2=16,從而[4D|=4.

???|EA|+|E8|=4.由題設(shè)得A(-l,0),6(1,0),\AB\=2,

由橢圓定義可得點(diǎn)E的跡方程為：9+?=l(y#0).

(2)當(dāng)/與X軸不垂直時(shí)，設(shè)/的方程為y=k(x-l)(kM0),時(shí)(孫乃),/V(x2,y2).

y=fc(x—1)

/y2[得(軟2+3)/-8k2%+4好—12=0.

{—I—=1

43

2

則X1+犯=黑,尤/2=器詈????|MN|=Vl+fc!%!-x2|=嚶著.

過點(diǎn)B(l,0)且與/垂直的直線機(jī)：y=-*—1),A到，"的距離為扁，

\PQ\=2I42-(^|=)2=41^^.

q\ZH+j7k2+i

故四邊形MPNQ的面積S=2|MN||PQ|=12J]

可得當(dāng)/與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍為口2,84).

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，其方程為％=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPN。的面積為12.

綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8/).

解析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題.

(1)根據(jù)圖形中圓的半徑相等及平行線同位角相等容易得出EB=ED,得出結(jié)論|EA|+|EB|為定值,

利用定義可以判斷出點(diǎn)E的軌跡為橢圓，求出方程，但要注意標(biāo)注范圍；

(2)求對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的最值，首先設(shè)直線方程聯(lián)立方程組求弦長，表示出四邊形的面

積，再求出面積的最值，注意直線的斜率不存在的情形.

21.答案：證明：由條件函數(shù)的定義域是(0,+8),

1111—hu：--x2--X2—liix+1

=li"=_________2_=_2___________，

八叼療212小

1c1

令人(工)=-I