2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷 (一百零八)(含答案解析)

2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷（108）

一、單項選擇題（本大題共4小題，共12.0分）

1.設(shè)z為非零復(fù)數(shù)，則“z+：CR”是“|z|=1"的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

2.設(shè)a=0.5己，b=0.8”c~logzO.5,則（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

3.方程一1|=Ji一⑶一1尸表示的曲線是（）

A.一個圓B.兩個半圓C.兩個圓D,半圓

4.設(shè)集合M={（X1，x2,》3,》4,X5）%e{-l,0,1},i=l,2,3,4,5],那么集合M中滿足

條件"1<\Xi\+\x2\+|x3|+|x4|+|x5|<3"的元素個數(shù)為（）

A.60B.90C.130D.140

二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.不等式log式x+1）>kg式3-x）的解集是.

44

6.若圓/+y2+2萬一2y+F=0的半徑為1,則尸=.

7.某班級共有56人，學(xué)號依次為01,02,03,...56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣

本，已知在抽取的樣本中學(xué)號最大的為48,那么抽取的樣本中學(xué)號最小的學(xué)號為.

8.定義行列式的運算：：|=。/2-。2瓦，若將函數(shù)/0）=|，口的圖象向左平移t（t>

0）個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則/的最小值為.

9.己知函數(shù)/（?=儼j是偶函數(shù)，則a+b=______.

1%24-bx-1,%<0

10.（依）5的展開式中的常數(shù)項是（用數(shù)字作答）.

11.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是|,則正視圖中的X

的值是.

俯視圖

x+y<10

12.已知JGy滿足滿足約束條件x—yW2,那么z=/+y2的最大值為.

%>3

13.已知|五|=2,3為單位向量，當(dāng)向量五，N的夾角為等時，方+3在五上的投影為.

14./(x)=V3sm2a>x+l(w>0)在區(qū)間[—表堂上為增函數(shù)，則3的最大值為.

15.設(shè)X6R,若函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，且對任意實數(shù)x,都有/'[/CO-eX]=e+l,則〃)2)的

值為.

16.已知函數(shù)/\x)=，若存在X],%2eR，%1*%2>使得/(xj=/。2)成立，則

\CLXIXfX_L

實數(shù)〃的取值范圍是.

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分)

17.己知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足c-|a=bcosA.

(I)求角B；

(11)若匕=百，a=2c,求AABC的面積.

18.如圖，在四棱錐S—ABC。中，底面ABC。是邊長為4的菱形，^BAD=60°,平面SBDJ_平面

(1)求SC與平面SBD所成的角;

(2)求M到平面SBC的距離.

19.已知矩形4BC。所在的平面與地面垂直，點A在地面上，設(shè)4B=a(a>0),BC=1,48與地

面成。角(0<0<3,如圖所示，CE垂直地面，垂足為E,點B、。到CE的距離分別為b，h2,

記CE=h.

(2)若九(九1十九2)的最大值為%求。的值.

20.已知x>0,y>0,且xy=l,求?氏的最小值及相應(yīng)的x,y的值.

21.對于雙曲線C(“)：l(a,h>0),若點PQo，%)滿足.一普<1,則稱P在的“力)外部;

若

若點PQ),yo)滿足|一3〉1，則稱「在的C(a,b)內(nèi)部：

(1)證明：直線3x-y+1=0上的點都在C(L1)的外部；

(2)若點M的坐標(biāo)為(0,-1),點N在C(i,i)的內(nèi)部或Co#上，求|而|的最小值：

(3)若(:(昉)經(jīng)過點(2,1),圓/+y2=r2(r>0)在C(a,b)內(nèi)部及C(a,b)上的點構(gòu)成的圓弧長等于該

圓周長的一半，求6、廠滿足的關(guān)系式及r的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查了復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)z=%+yi（居y€R,不同時為0）,可得z+}=%+yi+^%+y（l-*6R,可

得y（i—號7）=°，解出即可判斷出結(jié)論?

解：設(shè)2=x+yi（%,yER,不同時為0）,

則z+g+yi+亮L+壽+y（-壽）

二y（i—N；y2）=o,?11y=0,x彳o；或/+y2=i,即憶|=i.

“z+：€R"是團=r的必要不充分條件.

故選：B.

2.答案：B

解析：

本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

由y=￡的單調(diào)性可得0<0,5；<0,嫉，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得log20-5<0，由此可解.

解：:）;=/在［0,+8）上是增函數(shù)，

又?.,0.5<0.8....0<0,52<0.82-

又log20.5<0,...log20.5<0,55<0.嫉，

即c<a<b.

故選員

3.答案：A

解析:

本題考查曲線與方程，考查推理能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

將已知方程化簡、整理后即可求解.

解：因為1一⑶一1)220,解得0Wy42

又因為-i|=71-(y-1)2<1，解得0<x<2

由|x—1|=71-(y-l)2-化簡得O-l)2+(y—1)2=1,

x,y的取值，可以取到整個圓的范圍

所以方程表示的是以(1,1)為圓心，1為半徑的一個圓，

故選4.

4.答案：C

解析：解：由于々6{—1,0,1},i=l,2,3,4,5},集合M中滿足條件“1三%|+%|+氏3|+

W

|x4l+k5|<3,所以|看|只能取?；?,因此5個數(shù)值中有2個是0,3個是0和4個是0的情況:

①項中有2個取值為0,另外3個從—1,1中取，共有方法數(shù)：量X23.

②/中有3個取值為0,另外2個從一1,1中取，共有方法數(shù)：CfX22.

③々中有4個取值為0,另外1個從-1,1中取，共有方法數(shù)：Cjx2.

所以總共有方法數(shù)：髭x23+年x22+C?x2=130

故答案為C.

5.答案:(-1,1)

解析：

本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)?shù)讛?shù)小于1時，對數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞減的，還要考慮對數(shù)函數(shù)的定義

域.

解：由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，若log式X+1)>log式3-X),

44

則％+1<3-%,解得％<1；

又由對數(shù)函數(shù)的定義域有C1

即一l<x<3,故x的取值范圍為一1<x<1.

故答案為(—1,1).

6.答案：1

解析：

本題考查圓的一般式方程，是基礎(chǔ)的計算題.

由己知圓的方程寫出半徑，結(jié)合半徑為1求解F.

解：由圓/+y2+2x-2y+F=0,得半徑r=V4+4-4F=1,

解得F=l.

故答案為1.

7.答案：06

解析：

本題考查系統(tǒng)抽樣方法，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)系統(tǒng)抽樣過程即可求解.

解：從56個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣抽取4個人的一個樣本，

分組時要分成4個小組，

每一個小組有14人，

己知在抽取的樣本中學(xué)號最大的為48,48號為第四組第6人，

所以第一個學(xué)號是06,

故答案為06.

8.答案O:整

解析：解：f(x)=A/3COSX-sinx=2cos(%+-),

平移后得到函數(shù)y=2cos(x+m+1)，

則由題意得g+t=k兀，t=kn—%kEZ,

66

因為t>0,所以，的最小值為警.

6

故答案為：答.

6

/(%)=y/3cosx-sinx=2cos(x+g),平移后得到函數(shù)y=2cos(%+￡+t),由此能求出［的最小值.

66

本題考查滿足條件的實數(shù)的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意二階行列式的性質(zhì)的合理運用.

9.答案：0

解析：

本題考查分段函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)偶函數(shù)的定義求解即可.

解：因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以/(一1)=/(1),

即1—6—1=1+a—1>

所以：a+b=0.

代入檢驗可得符合/(x)為偶函數(shù).

故答案為0.

10.答案：-80

解析：解：(y-蠢I'的二項展開式的通項公式為7；+1=%.(偽5-r.(一夏.喘)『=(-2)1".C'

15-Sr

令15-5r=0,解得r=3,故展開式中的常數(shù)項為-80.

故答案為：—80.

在二項展開式的通項公式中，令x的事指數(shù)等于0,求出/?的值，即可求得常數(shù)項.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題.

11.答案：|

解析：

本題考查三視圖求幾何體的體積，考查空間想象能力，三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵.

由三視圖可知該幾何體為是一個四棱錐，底面是一個直角梯形，由三視圖求出高、上底、下底和直

角腰，利用椎體體積公式列出方程求出x的值.

解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個四棱錐，且高為X,

底面是一個直角梯形，上底下底分別為1、2,直角腰為2,

所以幾何體的體積V=|x|x(l+2)x2xx=|,解得x=|,

故答案為|.

12.答案:58

聯(lián)立方程組解得：6(6.4).

\0A\=V58.\0B\=V52-

坐標(biāo)原點0到直線x+y=10的距離d=詈=5魚.

z=x2+y2的最大值為58.

故答案為：58.

由約束條件作出可行域，由z="+y2的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與坐標(biāo)原點距離的平方得答

案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

13.答案：|

解析：解：???|a|=2,3為單位向量，且向量乙E的夾角為胃,

方+3在不上的投影為

\a+e|cos<a+e,a>=|a+e|x

1111|a+e|x|a|

-a>2+Te--a?

|a|

22+1X2XC0S^3

22

故答案為：|.

根據(jù)平面向量投影的定義，進行計算即可.

本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)熟記平面向量投影的定義，是基礎(chǔ)題.

14.答案：D

解析：解：T/(X)=Wsin23x+1(3>0)在區(qū)間[一蕓習(xí)上為增函數(shù)，

可得一浮2322k兀一多且1.23W2/OT+akez,

求得故3的最大值為g

OO

故答案為：

O

由題意可得可得一*2322"冷，且923W2k7T+],k&z,求得3的最大值.

本題主要考查求正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案：3

解析：解：設(shè)t=/(x)-ex,

則/(x)=ex+t,則條件等價為/(t)=e+1,

令％=t,則f(t)=e，+t=e+l,

???函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

???函數(shù)為一對一函數(shù)，解得t=l，

???/(%)=ex+1,

即/(仇2)=eln2+1=2+1=3,

故答案為：3

利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(t)=e+1,根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系求出f的值，即可求出函數(shù)/Q)的表達

式，即可得到結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)值的計算，利用換元法求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.

16.答案：(-8,1)u(2,+8)

解析：

由題意可得，若改1，型6/?,豐X2,使得/■01)=f(%2)成立，則說明/(X)在R上不單調(diào)，分a=0

及a彳0兩種情況分布求解即可求得結(jié)論.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

豐

解:若環(huán),x2eR,x*x?,使得f(%i)=f(物)成立，則說明/(x)在R上不單調(diào).

①當(dāng)a=0時，

滿足題意

其其圖象如圖所示，滿足題意

②當(dāng)a<0時，函數(shù)y=——+2ax的對稱軸尤=a<0,其圖象如圖所示，滿足題意

③當(dāng)a>0時，函數(shù)y=—/+ax的對稱軸x=a>0,其圖象如圖所示，要使得/(x)在R上不單調(diào)

則只要二次函數(shù)的對稱軸工=a<1,或｛曾，.xl>axl+1

0<a<1或a>2,

綜合得：。的取值范圍是(一8,1)u(2,+8).

故答案為：(一8,1)u(2,+8).

17.答案：解：(I)-c-la=bcosAf

??.由正弦定理可得：sinC—sinA=sinBcosA,

???sinAcosB+sinBcosA--sinA=sinBcosA,

2

i

???sinAcosB=-sinA,

2

vsinA工0,

**,consB—i—f

2

???BG(0,7T),

??.B=￡.

3

(H)v5=pb=用,CL—2c,

?,?由余弦定理可得：3=—ac=4c2+—2c?=3/,解得：c=1,

tz—2c—2,

???s4ABe=\acsinB=|xlx2xy=y.

解析：本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理，三角形面積公式在解三角形

中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

（I）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sinAcosB=^sinA,由于sirM*0,可得

cosB=I，結(jié)合范圍B€（0,兀），可求B的值.

（H）由余弦定理可得c的值，進而可求。的值，利用三角形面積公式即可計算得解.

18.答案：解：（1）連接AC,交BD于點O,

???在菱形A8CD中，則AC1BD,

在平面SB。中，過點。做OzlBD,

又平面SB。1平面ABCQ,平面SBOn平面4BC0=BD,

所以O(shè)z_L平面A8C。，從而Oz104,Oz1OB,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

「菱形ABC。中，/.BAD=60°,則AABD為正三角形，

???DB=4,

又SB=2%,SD=2,

■?■SB2+SD2=DB2,即SOJLSB,

過點S作。8邊上的高交。B于E,則易知，OE=1,SE=W，

???0(0,0,0),D(0,-2,0),S(0,-l,aB(0,2,0),C(-2伺0,0),

則克=(-2V3,1,-V3).

又平面SB。_L平面ABCD,平面SBOCl平面4BC0=BD,

AC1BD,ACu平面ABC。，貝MC1平面SB。，

則k=(-2V3.0,0)是平面SDB的法向量，

設(shè)SC與平面S3。所成的角為0,

12瓜

則siiifl=

s?-嘮2V“4~

且［0°,90°J,故0=60°,

SC與平面S3。所成的角60。；

(2)又???SB=(0,3,-V3).BC=(-273,-2,0).

設(shè)平面SBC的法向量為元=(a,b,c),

則13b-8c=0

't-2V3a-2b=0'

取c=-3,則五=(1,一6,一3),

???M為S。的中點，

二也0，一|凈,而=(0，1-爭'

設(shè)M到平面SBC的距離為d,

_____|7>/3,3>/3|

則d=同畫=「三+可=逗=返.

故M到平面SBC的距離為亞呢.

13

解析：本題直線與平面所成角，點到面的距離的計算，考查利用空間向量求點、線、面之間的距離,

利用空間向量求線線、線面和面面的夾角，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題.

(1)利用空間向量可以計算SC與平面勖。所成的角60。；

(2)利用空間向量計算M到平面SBC的距離.

19.答案：解：(1)va=V3?

又刀==2sin(0+1),

6

v0<0<-,

2

7r

7R,A1/2TT

???一<e+—v——，

663

當(dāng)且僅當(dāng)。+合》即。話時，hmax=2；

+1

(2)?/h(h1+hz)(asintf+cosff){aca60+smtf)o---sin20+a,

當(dāng)且僅當(dāng)2。=泉即。=1時，帥1+七)的最大值為三口+￡1=4,

a>0,a=2&-1.

解析：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查三角函數(shù)的最值，考查分

析與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

⑴由題可得a=%，a=2疝1(。+；),由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出人的最大值，并求此時的。值；

(2)由題可得“兒+兒)=勺Liu28+“，運用正弦函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)2。=[即。=：時，

/1(均十九2)的最大值為4,即可得到答案.

20.答案：解：已知x>0,y>0,且%y=l,

所以x+yZ2j^=2,當(dāng)且僅當(dāng)％=y=1時取等號，

設(shè)1=%+丫，t6[2,4-00),

則立尤=Q+y)2-2劃=先二=t_馬

x+yx+ytt

設(shè)/?="，，teZ+8),

則f(t)在[2,+8)單調(diào)遞增，

故f(t)的最小值為f(2)=2-1=1,

此時x+y=2,xy=1,

解得汽=1,y=1,

故當(dāng)汽=1,y=1時，*+'的最小值為1.

解析：本題考查基本不等式及其應(yīng)用，還考查了構(gòu)造函數(shù)法求最值，屬于簡單題.

先由己知條件求出x+