演示文稿高斯求積公式數(shù)值微分

當前第1頁\共有50頁\編于星期二\11點一、高斯點定義：高斯公式機械求積公式含有2n+2個待定參數(shù)

若適當選擇這些參數(shù)使求積公式具有盡量高次（2n+1次?!）代數(shù)精度，則這類公式稱為高斯公式。(4.1)當前第2頁\共有50頁\編于星期二\11點定義：高斯公式的求積節(jié)點稱為高斯點。???請回顧:以前學過的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式嗎？

除中矩形公式外都不是！注：機械型高斯求積公式一定是插值求積公式。當前第3頁\共有50頁\編于星期二\11點舉例求

[a,b]上的兩點高斯公式。解

設(shè)兩點高斯公式為當前第4頁\共有50頁\編于星期二\11點這是關(guān)于四個未知數(shù)的非線性方程組，是否有解？一般難于求解…要求其代數(shù)精度最高，四個未知數(shù)，可列出4個方程:當前第5頁\共有50頁\編于星期二\11點高斯點具有以下性質(zhì)：定理插值型求積公式(4.1)成為Gauss求積公式的充要條件：求積節(jié)點為n+1次正交多項式的零點。如何求高斯公式?當前第6頁\共有50頁\編于星期二\11點正交多項式概述：當前第7頁\共有50頁\編于星期二\11點首先證明對于任給節(jié)點x0，x1，…，xn，均存在某個次數(shù)為2n+2的多項式f(x),機械型求積公式不能精確成立，即其最高代數(shù)精度不能達到2n+2。如?。鹤C明則有：當前第8頁\共有50頁\編于星期二\11點設(shè)求積節(jié)點為n+1次正交多項式ωn+1(x)

的零點。現(xiàn)證充分性。即求積公式是高斯型。證明當前第9頁\共有50頁\編于星期二\11點現(xiàn)對于任意給定的次數(shù)不超過2n+1的多項式f(x),用除f(x)，記商為P(x)，余式為Q(x)，即≤2n+1n+1≤

n≤n由已知條件，ω(x)與P(x)正交，故得當前第10頁\共有50頁\編于星期二\11點由于所給求積公式(4.1)是插值型的，它至少具有n次代數(shù)精度，故對Q(x)能準確成立：再注意到ω(xk)=0，知Q(xk)=f(xk)，從而有綜之得：這說明公式對一切次數(shù)不超過2n+1的多項式準確成立，綜之說明xk是高斯點。當前第11頁\共有50頁\編于星期二\11點再證必要性，即若是高斯求積公式設(shè)P(x)是任意次數(shù)不超過n

的多項式，則P(x)ω(x)的次數(shù)不超過2n+1，因此應(yīng)準確成立但故.求積節(jié)點構(gòu)造的當前第12頁\共有50頁\編于星期二\11點注：1、總可通過施密特正交化求出[a,b]上與所有次數(shù)不超過n的多項式都正交的多項式ωn+1(x)。2、命題：n次正交多項式有n個單零點。當前第13頁\共有50頁\編于星期二\11點解：設(shè)P0(x)=C，ω1(x)=x–x0。由于即展開，得則一個點的高斯公式為中矩形公式例.求[-1，1]上與次數(shù)為0的多項式正交的多項式ω1(x)=？當前第14頁\共有50頁\編于星期二\11點二、高斯—勒讓得公式若[a,b]=[-1,1]，其上的高斯公式為稱為高斯-勒讓得公式。[-1，1]上的正交多項式稱為勒讓得多項式，勒讓得多項式Pn+1(x)的零點就是高斯點。當前第15頁\共有50頁\編于星期二\11點幾個Legandre多項式：當前第16頁\共有50頁\編于星期二\11點

若取P1(x)=x

的零點x0=0作求積節(jié)點構(gòu)造公式：令它對f(x)=1準確成立，即可定出A0=2.從而得到一點高斯公式：中矩形公式當前第17頁\共有50頁\編于星期二\11點令它對f(x)=1,x

準確成立，即可定出A0,A1可得兩點高斯—勒讓得公式為若取的零點作求積節(jié)點構(gòu)造公式注：更高階的公式見書p122。當前第18頁\共有50頁\編于星期二\11點???請思考:高斯—勒讓得公式的求積區(qū)間是[-1，1]，那么對于任意求積區(qū)間[a,b]如何辦？解作變換可以化到區(qū)間[-1，1]上，這時當前第19頁\共有50頁\編于星期二\11點三、帶權(quán)的高斯公式（更一般的表現(xiàn)形式）有時需要求如下帶權(quán)的積分：稱上述ρ(x)≥0是權(quán)函數(shù)。當前第20頁\共有50頁\編于星期二\11點定義：若求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，則稱這類公式為帶權(quán)的高斯公式.高斯點我們類似的可有：當前第21頁\共有50頁\編于星期二\11點定理是高斯點的充要條件：是區(qū)間[a,b]上帶權(quán)ρ(x)正交的多項式。當前第22頁\共有50頁\編于星期二\11點若[a,b]=[-1，1]，權(quán)函數(shù)為所建立的高斯公式切比雪夫—高斯公式稱為切比雪夫—高斯公式。xk是切比雪夫多項式的零點。當前第23頁\共有50頁\編于星期二\11點4.7.4Gauss-Chebyshelv

quadratureformula當前第24頁\共有50頁\編于星期二\11點Remark1threetermrecurrenceformula

v.s.

Schmidtorthogonolization;Remark2Tnare

perpendicular

polynomials;當前第25頁\共有50頁\編于星期二\11點當前第26頁\共有50頁\編于星期二\11點Atlast,we’llstatetheerrorestimationoftheGauss-Chebyshelvformulawithouttheproof:當前第27頁\共有50頁\編于星期二\11點AccordingtotheerrorestimationoftheGauss-Typeformula,wehave:

當前第28頁\共有50頁\編于星期二\11點Consultthetableinp122.當前第29頁\共有50頁\編于星期二\11點當前第30頁\共有50頁\編于星期二\11點構(gòu)造高斯公式的一般方法：1、構(gòu)造正交多項式，繼而求其零點，再按插值求積公式獲得高斯公式；2、待定系數(shù)法此外，還可涉及到無窮區(qū)間上的廣義積分等。例如：---拉蓋爾-高斯積分當前第31頁\共有50頁\編于星期二\11點舉例要構(gòu)造下列形式的高斯公式解則其代數(shù)精度應(yīng)為即求解…?!當前第32頁\共有50頁\編于星期二\11點定理（穩(wěn)定性）高斯求積公式的求積系數(shù)Ak>0.證明：事實上這表明高斯求積法是穩(wěn)定的。當前第33頁\共有50頁\編于星期二\11點關(guān)于積分余項和收斂性有：積分余項：收斂性：設(shè)f(x)∈C[a,b],則有：當前第34頁\共有50頁\編于星期二\11點4.1NumericalDifferentiationHowever,(i)Thereisnoerrorestimation;(ii)ArethereanyothernumericalmethodsforND?Howtoconstructthem&whatabouterror?Toanswerthesequestions,weobservefirst:當前第35頁\共有50頁\編于星期二\11點ErrorBound當前第36頁\共有50頁\編于星期二\11點當前第37頁\共有50頁\編于星期二\11點當前第38頁\共有50頁\編于星期二\11點Calledforwarddifference¢raldifferenceformula.Therearealsobackwarddifferenceformulas.當前第39頁\共有50頁\編于星期二\11點Five-pointformulabelowcanbeobtainedsimilarly:Itthenbecalledcompactform.當前第40頁\共有50頁\編于星期二\11點Forhigherorderderivatives,itcanalsobeobtainedbyinterpolationliketothe1storderderivativeusingmorepoints.

Alternately,wecanobtaintheformulaswhicharealgebraicallytediousbyTaylor’sexpansionsuchas:Cf.theresultsobtainedbythetwomethods.當前第41頁\共有50頁\編于星期二\11點Balancebetweenround-off&truncatederror當前第42頁\共有50頁\編于星期二\11點4.2Richardson’sExtrapolation(1927)Richardson’sExtrapolationisusedtogeneratehigh-accuracyresultswhileusinglow-accuracyformulas.當前第43頁\共有50頁\編于星期二\11點當前第44頁\共有50頁\編于星期二\11點ThencombinedwiththeformulaofN2(h)toeliminatetheh2term,weobtain:Whichposseshigherordertruncatederror!當前第45頁\共有50頁\編于星期二\11點當前第46頁\共有50頁\編于星期二\11點Thegeometryexplanation(Forh→0,theapproximationshouldbeaccuracy):Relatedtopic:steffensen’saccelerationforconvergentlinearlyiterativesequence.當前第47頁\共有50頁\編于星期二\11點NumericalDifferentiationRevisit

-------UsingExtrapolationMethod當前第48頁\共有50頁\編于星期二\11點ThetechniqueofRichardson’sextrapolationisalsousedinapproximatingdefiniteintegralsandindeterminingapproximatesolutiontodifferentialequationsi