經(jīng)濟數(shù)學2PPT完整全套教學課件

經(jīng)濟數(shù)學EconomicMathematics函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用第一節(jié)函數(shù)關(guān)系

一家人去某地旅游，甲旅行社優(yōu)惠政策為:父親購買一張全票，其余人均享受半票。乙旅行社優(yōu)惠政策為:購買集體票，按原價的2/3計收。試確定最優(yōu)選擇方案。假設(shè)：單個人的收費價格為α元，家庭有x個孩子，甲、乙旅行社的收費總和分別為y1和y2，則可以建立費用總和與子女數(shù)目之間的函數(shù)關(guān)系:它們均為線性函數(shù)，當x=1時，

y1=y2;當x＜1時，y2＜y1；當x＞1時，y1＜y2，由此可得；只有一個孩子的家庭，兩個旅行社的收費相同；沒有孩子的家庭可選擇乙旅行社；有兩個及兩個以上孩子的家庭可選擇甲旅行社函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用一、函數(shù)的定義定義1.1設(shè)兩個變量ｘ和ｙ，當變量ｘ在某給定的非空數(shù)據(jù)D中取任意一個值時，變量ｙ的值由這兩個變量之間的關(guān)系?確定，稱這個關(guān)系?為定義在D上的一個函數(shù)關(guān)系，或稱ｙ是ｘ的函數(shù)，記作ｙ=

?（ｘ），ｘ?D。

數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域，ｘ叫作自變量，ｙ叫作因變量。函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用求函數(shù)的定義域，即求使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍一般方法是先寫出構(gòu)成所求函數(shù)的各個簡單函數(shù)的定義域，再求出這些定義域的交集。求解過程中，務(wù)必牢記下列常用基本初等函數(shù)的定義域，見表1-1.函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用二、函數(shù)的基本特性（一）函數(shù)的有界性

設(shè)函數(shù)?（ｘ）的定義域為D，如果存在正數(shù)M，使得對每一個ｘ?D有∣?（ｘ）∣≤M，則稱函數(shù)?（ｘ）在D上有界；否則稱?（ｘ）在D上無界。函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用（二）函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)?（ｘ）的定義域為D，區(qū)間

Ι上任意兩點ｘ1及ｘ2，當ｘ1＜ｘ2時，不等式?（ｘ1）≤?（ｘ2）恒成立，則稱函數(shù)?（ｘ）在區(qū)間Ι上是單調(diào)增加的（圖1-2）；若對于區(qū)間Ι上任意兩點ｘ1及ｘ2，當ｘ1＜ｘ2時，不等式?（ｘ1）≥?（ｘ2）恒成立，那么就稱函數(shù)?（ｘ）在區(qū)間Ι上是單調(diào)減少的（圖1-3），單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，區(qū)間Ι稱為單調(diào)區(qū)間。函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用（三）函數(shù)的奇偶性

設(shè)函數(shù)y=

?（ｘ）的定義域關(guān)于原點對稱，且對于任意的ｘ?

D都有：

?（—ｘ）=?（ｘ），則函數(shù)為D上的偶函數(shù)；

?（—ｘ）=—?（ｘ），則函數(shù)為D上的奇函數(shù)。

（四）函數(shù)周期性

對于函數(shù)y=?（ｘ），如果存在不為0的數(shù)T，使得對于ｘ?

D，都有（ｘ±T）?D，且?（ｘ±D）=?（ｘ）成立，則稱函數(shù)y=?（ｘ）為周期函數(shù)，T稱為函數(shù)的周期，一般地，周期指的是函數(shù)的最小正周期。函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用三、復(fù)合函數(shù)定義1.2設(shè)函數(shù)y=?（u），u=φ（ｘ），如果函數(shù)u=φ（ｘ）的值域與函數(shù)y=?（u）的定義域相交非空，則由y=?（u）和u=φ（ｘ）構(gòu)成的函數(shù)y=?[φ（ｘ）]稱為復(fù)合函數(shù)，其中u為中間變量。

復(fù)合函數(shù)的形象描述如圖1-4所示。函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用第二節(jié)初等函數(shù)模型一、反函數(shù)根據(jù)函數(shù)的定義，對于每一個自變量的值，都有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng).而對于每一個函數(shù)值.卻不一定有唯一的自變量值與之對應(yīng)，如函數(shù)y=ｘ2，當

y=1時，就有ｘ=±1與之對應(yīng)，但對函數(shù)y=ｘ3來說，情況卻不一樣，在它的值域中取不同的函數(shù)值，就會有不同的自變量值與之對應(yīng)，這種不同的自變量值對應(yīng)不同函數(shù)值的函數(shù)稱為一一對應(yīng)函數(shù)，對于一一對應(yīng)函數(shù).我們可以定義它的反函數(shù)。

定義1.3設(shè)函數(shù)y=?（ｘ）為定義在D上的一一對應(yīng)函數(shù)，值域為Z，如果對于每一個y?D，都有一個確定的且滿足y=?（ｘ）的ｘ?

D與之對應(yīng)，則稱ｘ=?-1（y）為y=?（ｘ）的反函數(shù)，記作y=?-1（ｘ），反函數(shù)的定義域為Z，值域為D。函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用二、反三角函數(shù)

函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用

反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)．反三角函數(shù)的性質(zhì)見表１-2函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用三、基本初等函數(shù)常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用四、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算所構(gòu)成的,并且可以用一個解析式表示的函數(shù),稱為初等函數(shù)．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用第三節(jié)經(jīng)濟函數(shù)模型一、一致性存儲模型

【訂貨問題】某工廠每年需要鐵礦石１００萬噸,且對該種原料的消耗是均勻的．已知該原料每噸的年庫存費是０．０５元,分批進貨,每次進貨的費用為１０００元,試確定一年中該原料的庫存費、進貨費與批量的關(guān)系．解設(shè)批量為x萬噸,庫存費為C１(x)元,進貨費為C２(x)元,則庫存費和進貨費與批量的關(guān)系為:

無論是廠家還是商家,不管在生產(chǎn)環(huán)節(jié)還是銷售環(huán)節(jié),都需設(shè)置倉庫來存儲原料和商品,因此庫存問題就成了他們必須面對的問題．一致性存儲模型是在“一致需求,均勻消耗,瞬間入庫,不許缺貨”的假設(shè)下建立的模型,它是庫存模型中最簡單,也是最典型的一種函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用二、需求與供給函數(shù)模型

試分析:(１)棉布的均衡價格是多少?(２)棉布的均衡銷售量是多少?(３)如果政府對棉布的最高定價為３元/米,棉布的供需關(guān)系會發(fā)生怎樣的變化?(４)如果政府對棉布征稅,稅額為１元/米,棉布的均衡價格會發(fā)生怎樣的變化?函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用

(２)將均衡價格代入需求曲線或供給曲線即可得均衡銷售量,所以均衡銷售量Q＝２．(３)當P＝３時,價格低于均衡價格,這時需求會增加,供給會減少．

消費者對某種商品的需求量主要受到該商品價格的影響,將需求量與價格的函數(shù)關(guān)系稱為需求函數(shù),一般記作Qd＝Q(P),對應(yīng)在坐標系中的圖形稱為需求曲線．同樣,某種商品的供給量也受該商品價格的制約,將供給量與價格的函數(shù)關(guān)系稱為供給函數(shù),記作Qs＝Q(P),對應(yīng)在坐標系中的曲線稱為供給曲線,如圖１-８所示．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用可以看出,需求函數(shù)是價格的遞減函數(shù),而供給函數(shù)是價格的遞增函數(shù)．我們還將需求曲線和供給曲線的交點E(Pe,Qe)所對應(yīng)的價格稱為均衡價格,記作Pe;對應(yīng)的商品數(shù)量稱為均衡數(shù)量,記作Qe．此時的需求量與供給量相等,需求價格等于供給價格．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用三、成本、收入與利潤函數(shù)模型

【盈虧分析】張同學在學校附近租了一間店面準備開蛋糕店．經(jīng)測算,一年的房租及水電費等固定費用為１．５萬元,每個蛋糕的原料費用為１５元,每年的銷售量為２０００個,問:蛋糕的單價應(yīng)定為多少時才能使蛋糕店不虧本?分析:當?shù)案獾甑目偸杖氲扔诳偝杀?即利潤為０時就不虧本了．假設(shè):蛋糕的單價為x元/個,則蛋糕店的總收入為２０００x元．蛋糕店的總成本為固定成本和可變成本之和,即為１５０００＋１５Ｘ２０００＝４５０００（元）要使蛋糕店不虧本,必須使２０００x≥４５０００,解得x≥２２．５．因此,當?shù)案獾膯蝺r不低于２２．５元/個時,可以使蛋糕店不虧本．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用在上面的案例中,我們了解了成本、收入和利潤等概念,下面給出它們的含義及函數(shù)模型．

某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部費用總額,由固定成本和可變成本組成．平均每單位產(chǎn)品的成本稱為平均成本,總收入是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品時所得到的全部收入．

設(shè)產(chǎn)品的數(shù)量為Q,總成本為C,固定成本為C０,可變成本為C１,平均成本為C,商品的單價為P,總收入為R,平均收入為R,利潤為L,平均利潤為L,則函數(shù)模型及平衡關(guān)系為:函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用

(１)生產(chǎn)８臺該商品的利潤與平均利潤是多少?(２)生產(chǎn)活動的保本點(即無盈虧的生產(chǎn)量)是多少?(３)若每月銷售該商品２０臺,為了不虧本,單價應(yīng)定為多少?函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用即生產(chǎn)８臺該商品時,總利潤為４萬元,平均利潤為０．５萬元．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用25Thankyou!經(jīng)濟數(shù)學EconomicMathematics極限與變化趨勢分析變量的極限是描述和研究變量在無限變化過程中的變化趨勢的數(shù)學模型,是微積分的基本概念之一。本章主要討論極限的概念,介紹極限的基本運算方法,并運用極限分析建立資金的終值和現(xiàn)值計算模型。第一節(jié)變化趨勢問題一、數(shù)列的極限定義２．１設(shè)數(shù)列{an},如果當n無限增大(n→∞)時,an無限接近于一個確定的常數(shù)A,則稱A為該數(shù)列當n→∞時的極限,或稱數(shù)列收斂于A,記作否則,稱數(shù)列沒有極限或數(shù)列發(fā)散．極限與變化趨勢分析二、函數(shù)的極限（一）x→∞時函數(shù)?(x)的極限定義２．２設(shè)函數(shù)f(x),如果當x無限增大(x→∞)時,函數(shù)f(x)無限接近于一個確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)?(x)當x→∞時的極限,記作

極限與變化趨勢分析極限與變化趨勢分析極限與變化趨勢分析第二節(jié)極限運算一、極限的運算法則極限與變化趨勢分析二、求極限的基本方法（一）代入法當?(x０

)、g(x０

)有意義,且g(x０

)≠０時,有極限與變化趨勢分析

極限與變化趨勢分析

極限與變化趨勢分析三、等比級數(shù)極限與變化趨勢分析第三節(jié)利息計算模型利息是經(jīng)濟活動中貨幣資本投資在一定時間后的價值．也可以說,利息是指掌握和運用他人資金所付的代價或轉(zhuǎn)讓貨幣使用權(quán)所得到的報酬．企業(yè)從銀行貸款,必須付給銀行貸款利息．個人儲存一筆錢在銀行,也能從銀行得到存款利息．就其實質(zhì)而言,利息是貨幣投資在經(jīng)濟活動中所獲得的收益極限與變化趨勢分析一、“１∞型”極限公式

極限與變化趨勢分析極限與變化趨勢分析

極限與變化趨勢分析二、極限公式的運用極限與變化趨勢分析第四節(jié)個人所得稅計算模型我國現(xiàn)行的個人所得稅計算辦法規(guī)定:個人所得稅的起征點為５０００元(表２Ｇ３為７級稅率表)．某單位所有員工的月收入(扣除險金等費用后)都不超過２００００元,試確定該單位員工每月應(yīng)繳個人所得稅(簡稱“個稅”)的計算模型．極限與變化趨勢分析一、分段函數(shù)在許多實際問題中,函數(shù)在其定義域內(nèi)的對應(yīng)關(guān)系不能用一個數(shù)學表達式表示．譬如郵遞物品時產(chǎn)生的郵費和物品重量之間的函數(shù)關(guān)系;個人所得稅的稅額和個人收入之間的函數(shù)關(guān)系都不能用一個數(shù)學表達式予以表示．一般地,對于定義域內(nèi)自變量的不同取值范圍,其函數(shù)關(guān)系不能用同一個統(tǒng)一的數(shù)學表達式表示,而要用兩個或兩個以上的式子表示,這類函數(shù)稱為分段函數(shù)．絕對值函數(shù)y＝∣x∣＝，函數(shù)的定義域為(－∞,＋∞),其圖形如圖２-６所示．符號函數(shù)y＝sgnx＝，函數(shù)的定義域為(－∞,＋∞),其圖形如圖２-７所示．極限與變化趨勢分析極限與變化趨勢分析二、分段函數(shù)的極限例２．２５設(shè)函數(shù)?(x)＝，考察解觀察函數(shù)的圖形(圖２-９),分兩種情形分別討論．當?(x)從左側(cè)無限趨近于０時,記作x→０ˉ

,函數(shù)?(x)無限趨近于１,記作當?(x)從右側(cè)無限趨近于０時,記作x→０＋,函數(shù)?(x)無限趨近于０,記作極限與變化趨勢分析三、函數(shù)的連續(xù)性在現(xiàn)實世界中,很多變量都是連續(xù)變化的,如氣溫的變化、生物的成長等．這種現(xiàn)象反映在數(shù)學上就是函數(shù)的連續(xù)性．定義２．４設(shè)函數(shù)?(x)在x０的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義,如果存在且等于函數(shù)值?(x０

)，即，則稱函數(shù)?(x)在點x０處連續(xù),稱x０為函數(shù)f(x)的連續(xù)點;否則稱函數(shù)?(x)在x０處間斷,稱x０為函數(shù)f(x)的間斷點。根據(jù)連續(xù)的定義,函數(shù)?(x)在點x０處連續(xù),必須滿足三個條件:極限與變化趨勢分析極限與變化趨勢分析極限與變化趨勢分析49Thankyou!經(jīng)濟數(shù)學EconomicMathematics經(jīng)濟最優(yōu)化為分析在經(jīng)濟領(lǐng)域中常常會遇到,在一定條件下如何使“利潤最大”“成本最低”“方案最優(yōu)”等問題．這類問題的解決,很多時候可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值和最小值,本章主要介紹導數(shù)的概念和導數(shù)的基本運算法則,建立運用導數(shù)求函數(shù)極值及最值的方法,分析解決經(jīng)濟最優(yōu)化問題．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析第一節(jié)變化率問題

【切線問題】

一張圓形的餐桌上需要安裝一塊圓形的玻璃,玻璃店的師傅在制作時,會先在方形的玻璃上畫出圓形,劃掉多余部分后進行不斷的打磨．師傅打磨的過程在數(shù)學上就是作圓周切線的過程．

我們知道,圓周的切線就是與圓有唯一交點的直線,那么曲線y＝?(x)的切線又是什么呢?如圖３－１所示,設(shè)曲線y＝?(x)上的點M(x０,y０

),在該曲線上另取一點N(x０＋Δx,y０＋Δy),作割線MN,當點N沿曲線趨向于M時,若割線的極限位置為MT,則直線MT就是曲線在點M(x０,y０

)的切線．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析

可以計算,割線MN的斜率為當Δx→０時,N點沿曲線趨向于M點,因此得到切線MT的斜率為由上式可知,曲線在點M(x０,y０

)的切線的斜率為函數(shù)在某點的增量Δy與自變量增量Δx之比的極限．設(shè)函數(shù)y＝?(x),那么就是函數(shù)的變化率,它反映了因變量隨自變量變化的快慢程度．我們將這種特殊的極限叫作函數(shù)的導數(shù)．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析一、導數(shù)的定義定義３．１設(shè)函數(shù)y＝?(x)在x０處及其鄰域內(nèi)有定義,當自變量x在x０處有增量Δx(Δx≠０)時,函數(shù)y＝?(x)取得相應(yīng)的增量經(jīng)濟最優(yōu)化為分析二、導數(shù)的基本公式我們給出了根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)的方法,但是如果對于每一個函數(shù),都直接按定義去求它的導數(shù),那將是極其復(fù)雜和困難的．因此,我們將一些基本初等函數(shù)的導數(shù)作為求函數(shù)導數(shù)的基本公式．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析經(jīng)濟最優(yōu)化為分析第二節(jié)導數(shù)運算例３．７某產(chǎn)品投放市場所產(chǎn)生的利潤L是產(chǎn)量x的函數(shù),已知L(x)＝－３x２＋２４０x－１５００,試分析:(１)當日產(chǎn)量從x＝３０增加到x＝４０時利潤的增加量;(２)當日產(chǎn)量從x＝３０增加到x＝４０時利潤的增加率;(３)當日產(chǎn)量x＝３０時利潤的增長率．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析一、導數(shù)的四則運算法則經(jīng)濟最優(yōu)化為分析經(jīng)濟最優(yōu)化為分析二、導數(shù)的復(fù)合運算法則定理３．２設(shè)函數(shù)y＝?(u)在u處可導,u＝φ(x)在x處可導,則復(fù)合函數(shù)y＝?

[φ(x)]在x處可導,且有經(jīng)濟最優(yōu)化為分析三、隱函數(shù)求導法函數(shù)y＝?(x)稱為顯函數(shù),而方程F(x,y)＝０確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)．如y＝x2、y＝sin

x都是顯函數(shù),而由方程x2＋y2＝２５、xy＋lny＝１確定的函數(shù)為隱函數(shù)．隱函數(shù)很多時候不能轉(zhuǎn)化為顯函數(shù),但我們可以利用復(fù)合函數(shù)的求導法則求出隱函數(shù)的導數(shù)．設(shè)方程F(x,y)＝０確定y是x的函數(shù),并且可導．將方程兩邊同時對x求導,并將y看成x的函數(shù),便可得到隱函數(shù)的導數(shù)了．

經(jīng)濟最優(yōu)化為分析四、二階導數(shù)

例３．１７求函數(shù)y＝x?的二階導數(shù)．解y′＝(x?)′＝４x3;

y″＝(４x3)′＝１２x2．要求函數(shù)的二階導數(shù),只需對函數(shù)連續(xù)兩次逐階求導即可．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析五、二元函數(shù)的偏導數(shù)

經(jīng)濟最優(yōu)化為分析經(jīng)濟最優(yōu)化為分析例３．１９求函數(shù)z＝５x2y3

的偏導數(shù)?′x(x,y)、?′y(x,y),并求?′x(１,－１)、f′y(－１,２)．解?′x(x,y)＝(５x2y3

)′x＝１０xy3．

?′y(x,y)＝(５x2y3

)′y＝１５x2y2．?′x(１,－１)＝１０×１×(－１)3＝－１０．?′y(－１,２)＝１５×(－１)2×２2＝６０．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析第三節(jié)經(jīng)濟最優(yōu)化模型

經(jīng)濟最優(yōu)化為分析一、函數(shù)增減性的判別

函數(shù)的增減性和其導數(shù)的符號有關(guān),我們可以從圖３-２中找到它們之間的關(guān)系．定理３．３設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導:

(１)若在(a,b)內(nèi)f′(x)＞０,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;

(２)若在(a,b)內(nèi)f′(x)＜０,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析經(jīng)濟最優(yōu)化為分析二、函數(shù)極值的判別設(shè)函數(shù)?(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x０∈(a,b),如果:

(１)在x０的某一鄰域內(nèi),有?(x)≤?(x０),則稱函數(shù)在x０處取得極大值?(x０

),x０稱為函數(shù)的極大值點;

(２)在x０的某一鄰域內(nèi),有?(x)≥?(x０

),則稱函數(shù)在x０處取得極小值?(x０

),x０稱為函數(shù)的極小值點．

函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析（一）極值存在的必要條件

定理３．４(極值存在的必要條件)如果函數(shù)?(x)在x０處可導,且在x０處取得極值,那么一定有?′(x０

)＝０．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析（二）極值存在的充分條件定理３．５

(極值存在的第一充分條件)設(shè)函數(shù)?(x)在x０的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(?′(x０

)可以不存在),如果:

(１)當x＜x０時,?′(x)＞０;當x＞x０時,?′(x)＜０,則?(x)在x０處取得極大值;

(２)當x＜x０時,?′(x)＜０;當x＞x０時,?′(x)＞０,則?(x)在x０處取得極小值;

(３)當x從x＜x０變化到x＞x０時,?′(x)的符號沒有發(fā)生改變,則?(x)在x０處沒有極值．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析經(jīng)濟最優(yōu)化為分析綜上所述,可得函數(shù)的極大值為?(１)＝２,極小值為?(２)＝１．判斷函數(shù)單調(diào)性和極值的一般步驟:

(１)確定函數(shù)的定義域;

(２)求函數(shù)的導數(shù);

(３)求函數(shù)的駐點和連續(xù)但不可導點;

(４)用駐點和連續(xù)不可導點將定義區(qū)間劃分為若干小區(qū)間,列表考察每個小區(qū)間內(nèi)導數(shù)的符號,判斷函數(shù)的增減性和極值點;

(５)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,計算函數(shù)的極值．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析

定理３．６(極值存在的第二充分條件)設(shè)函數(shù)?(x)在x０的某一鄰域內(nèi)有定義,且?′(x０

)＝０,?″(x０

)存在,如果:

(１)

?″(x０

)＜０,則函數(shù)?(x)在x０處取得極大值;

(２)?″(x０

)＞０,則函數(shù)?(x)在x０處取得極小值;

(３)?″(x０

)＝０,需進一步判斷．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析三、函數(shù)的最大值和最小值

設(shè)函數(shù)?(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,如果

(１)對一切x∈[a,b],有f(x)≤f(x０),則稱?

(x０

)為?(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值．

(２)對一切x∈[a,b],有f(x)≥f(x０),則稱?(x０

)為?(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值．函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值,取得最大值或最小值的點x０稱為最值點．在實際問題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最大值或最小值,且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點,那么可以利用實用最值判別法判定函數(shù)的最值．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析經(jīng)濟最優(yōu)化為分析經(jīng)濟最優(yōu)化為分析經(jīng)濟最優(yōu)化為分析

解

先建立利潤函數(shù),再確定函數(shù)的最值即可．由題意可得:總成本函數(shù)為總收入函數(shù)為

R（x）=20x

故利潤函數(shù)為

根據(jù)利潤最大化原則,令L′(x)＝－x＋１８＝０,得x＝１８．

因為L″(x)＝－１＜０,所以L(x)在x＝１８處取得最大值．即當企業(yè)生產(chǎn)１８臺設(shè)備時可以獲得最大利潤,最大利潤為L(１８)＝１４２萬元．經(jīng)濟最優(yōu)化為分析

【定價問題】

某商店以每件１００元的價格購進一批襯衫,若零售價定為１５０元/件,估計能賣出３００件;若每件零售價每降低１０元,則可多賣出２０件,試分析應(yīng)向批發(fā)商購進多少件、每件零售價多少元時才能獲得最大利潤,最大利潤是多少．

經(jīng)濟最優(yōu)化為分析

82Thankyou!經(jīng)濟數(shù)學EconomicMathematics微分及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用第一節(jié)改變量的估值問題有一正方形金屬薄片受熱膨脹,試估計其面積的改變量．

假設(shè):正方形的邊長為x,其面積S＝x2,當金屬受熱后,其邊長的改變量為Δx(圖４-１),則相應(yīng)面積的改變量為

ΔS＝(x＋Δx)2－x2＝２xΔx＋(Δx)2

邊長的量Δx很小時,面積的改變量ΔS可以近似地表示為２xΔx,即ΔS≈２xΔx．

此時,我們將２xΔx稱為函數(shù)在x處的微分,記作dy,即

dy＝２xΔx一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在x處可導,當自變量有微小的增量Δx時,函數(shù)的增量也就是函數(shù)的改變量,可以近似地用f′(x)Δx表示．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用一、微分的定義

定義４．１設(shè)函數(shù)y＝f(x)可導,對自變量x取增量Δx,將f′(x)Δx稱為函數(shù)在x處的微分,記作dy．即

dy＝?′(x)Δx

由微分的定義可以推得

dx＝(x)′·Δx＝Δx

于是,函數(shù)的微分可以寫成

dy＝

?′(x)dx

即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導數(shù)與自變量微分的乘積．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用二、微分的運算我們給出了根據(jù)定義求函數(shù)的微分的方法,我們也可以根據(jù)導數(shù)的基本公式和運算法則推導出微分的基本公式和運算法則,為方便使用,現(xiàn)歸納如下:（一）微分的基本公式函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用（二）微分的運算法則函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用第二節(jié)邊際分析

例４．８秋收季節(jié),一農(nóng)婦到田間拾麥穗,第一天能拾回１０斤麥穗,以后每天拾到的麥穗會越來越少．假設(shè)每天都少拾回１斤麥穗,而農(nóng)婦每天需要多消耗的麥穗為２斤,那么什么時候農(nóng)婦就不應(yīng)該再去拾麥穗了?

分析:到第９天的時候,農(nóng)婦拾回的麥穗數(shù)量為２斤．預(yù)計第１０天時她拾回的麥穗數(shù)量為１斤,少于她多消耗的麥穗數(shù)量,所以第１０天農(nóng)婦就不應(yīng)該去了．經(jīng)濟學中,將１斤稱為農(nóng)婦第１０天時拾麥穗的邊際收入．

例４．９產(chǎn)品投放市場所產(chǎn)生的利潤L是產(chǎn)量x的函數(shù),已知L(x)＝－３x２＋２４０x－１５００,試分析當產(chǎn)量為x＝３０單位時,是否應(yīng)該增加產(chǎn)量?

分析:假設(shè)產(chǎn)量增加１個單位,根據(jù)利潤是否增加就可以判斷是否應(yīng)該增加產(chǎn)量．當Δx＝１時,

ΔL＝L(３０＋Δx)－L(３０)≈L′(３０)Δx＝L′(３０)

L′(x)＝(－３x２＋２４０x－１５００)′＝－６x＋２４０

ΔL≈L′(３０)＝６０經(jīng)濟學中,將６０稱為產(chǎn)量為３０單位時的邊際利潤．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用例４．１０從寧波開往杭州的大巴票價為５６元,開車前一位乘客匆匆趕來,見甲公司的車上還有空位,要求以４０元的價格上車,被拒絕．他又找到乙公司的車,乙公司同意以４０元的價格讓他上車．分析哪家公司更精明,為什么?

分析:乙公司更精明,因為增加一位乘客,公司的收入增加４０元,而成本的增加不會超過４０元．即公司的邊際收入為４０元,而邊際成本不會超過４０元,此時的邊際利潤大于０．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用一、邊際與邊際函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝?(x),當自變量x在x０處增加一個單位(Δx＝１)時,函數(shù)相應(yīng)的改變量Δy＝?(x０＋Δx)－?(x０

)在經(jīng)濟學中稱為邊際．

由于Δy≈dy＝?′(x０

)Δx＝?′(x０

),因此也把?′(x０)稱為函數(shù)在x０處的邊際,而將導函數(shù)?′(x)稱為邊際函數(shù)．

定義４．２設(shè)可導函數(shù)y＝?(x),我們將?′(x０

)稱為函數(shù)在x０處的邊際,而將導函數(shù)?′(x)稱為邊際函數(shù)．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用二、邊際成本、邊際收入與邊際利潤（一）邊際成本設(shè)成本函數(shù)C＝C(Q),其中Q為產(chǎn)量,將導函數(shù)C′(Q)稱為邊際成本函數(shù),記作MC．將C′(Q)稱為產(chǎn)量為Q０時的邊際成本．

邊際成本的經(jīng)濟意義是:當產(chǎn)量達到Q時,再生產(chǎn)１個單位產(chǎn)品需要增加的成本．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用（二）邊際收入設(shè)總收入函數(shù)為R(Q),其中Q為產(chǎn)品的銷售量,則導函數(shù)R′(Q)稱為邊際收入函數(shù),記作MR．將R′(Q０)稱為銷售量為Q０時的邊際收入．邊際收入的經(jīng)濟意義是:當銷售量達到Q時,再銷售１個單位產(chǎn)品所增加的收入．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用（三）邊際利潤在所有產(chǎn)品均能售出的情況下,總利潤函數(shù)為L(Q)＝R(Q)－C(Q),其中Q既是產(chǎn)量也是銷售量,則導數(shù)L′(Q)＝R′(Q)－C′(Q)稱為邊際利潤函數(shù),將L′(Q０)稱為產(chǎn)量或銷售量為Q０時的邊際利潤．邊際利潤的經(jīng)濟意義是:當銷售量達到Q時,再生產(chǎn)銷售１個單位產(chǎn)品所獲得的利潤．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用第三節(jié)彈性分析

函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用例４．１７某商店對某商品的價格進行了調(diào)整,由銷售記錄可以得到調(diào)價前后一周單價P和需求量Q的有關(guān)數(shù)據(jù)(表４-１)．試分析該商品需求量對價格的靈敏度．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用

結(jié)果說明,需求量的變化幅度是單價變化幅度的４倍,當商品的單價變化１％時,商品的需求量會變化４％(負號表示單價上漲時需求量下降,單價下跌時需求量上升)．此時,可以認為商品的需求量對價格變化的反應(yīng)是靈敏的．在實際生活中,我們會發(fā)現(xiàn)不同商品的需求量對價格的靈敏度是不同的．大部分商品價格下跌時需求量會上升,價格上漲時需求量會下降,而有的商品即使價格上漲,需求量也不會發(fā)生大的變化．一般地,在函數(shù)y＝f(x)中,相對改變量表達了變量的變化幅度,而y對x的相對變化率則表達了y對x變化的靈敏度．在經(jīng)濟學中,這種相對變化率稱為彈性．函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用一、彈性與彈性函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝?(x),在相對變化率的計算中,我們用函數(shù)的微分dy代替函數(shù)的改變量Δy,則可以得到彈性的定義．

定義４．３設(shè)函數(shù)y＝?(x)在x附近有定義,在x０處可導,自變量在x０處的改變量(微分)為dx,函數(shù)在x０處的微分為dy,則函數(shù)y＝?(x)在x０處的彈性記作函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用二、需求彈性

函數(shù)及其在經(jīng)濟中的應(yīng)用106Thankyou!經(jīng)濟數(shù)學EconomicMathematics經(jīng)濟總量問題分析第一節(jié)原函數(shù)總量是經(jīng)濟量在某個持續(xù)過程中的積累,是經(jīng)濟系統(tǒng)中效果評價的重要指標．數(shù)學中以微元法為主要思想的積分學提供了非均勻連續(xù)積累的經(jīng)典模型和完美運算體系．本章主要介紹不定積分的概念、基本積分法、定積分及計算方法．在此基礎(chǔ)上運用微元法建立經(jīng)濟總量的計算模型和方法,并嘗試分析解決一些經(jīng)濟問題．

【曲線方程】

已知曲線在任一點的切線斜率為２x,且曲線經(jīng)過點(１,２),求此曲線方程．分析:利用切線斜率和函數(shù)的導數(shù)關(guān)系解決問題．設(shè)曲線方程為y＝F(x),由題意可知F′(x)＝２x,且x＝１,y＝２,可以求得

F(x)＝x2＋C將x＝１,y＝２代入解得C＝１,所以曲線方程為y＝x2＋１．經(jīng)濟總量問題分析

【總收入問題】

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品,日總收入的變化率(邊際收入)是日產(chǎn)量x的函數(shù):R′(x)＝３０－0.2x(單位:元/件)．該工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的能力是每小時３０件．試分析怎樣安排生產(chǎn)才能使這種產(chǎn)品的日總收入最大,并求此最大收入．

分析:可以利用函數(shù)最值的求法確定總收入最大時的日產(chǎn)量,根據(jù)生產(chǎn)能力合理安排生產(chǎn),但要求出最大總收入必須先求出總收入函數(shù)．令R′(x)＝３０－０．２x＝０,解得x＝１５０,因為R″(x)＝－０．２＜０,所以日產(chǎn)量為１５０件時總收入最大．由于該廠的生產(chǎn)能力是每小時３０件,故每天可以安排１５０÷３０＝５小時的時間生產(chǎn)該種產(chǎn)品．經(jīng)濟總量問題分析

經(jīng)濟總量問題分析一、原函數(shù)定義５．１設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,如果存在函數(shù)F(x),使得對任意的x∈(a,b),都有

F′(x)＝?(x)或dF(x)＝?(x)dx則稱F(x)為?(x)的一個原函數(shù)．經(jīng)濟總量問題分析

例５．２求函數(shù)?(x)＝sinx的原函數(shù)．

解

因為(－cosx′)＝sinx,所以－cosx是sinx的一個原函數(shù),而?(x)＝sinx的全體原函數(shù)可以表示為－cosx＋C,其中C為任意常數(shù)．經(jīng)濟總量問題分析二、不定積分

定義５．２設(shè)函數(shù)y＝?(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,F(x)是?(x)的一個原函數(shù),稱?(x)的全體原函數(shù)為函數(shù)?(x)的不定積分,記作∫?(x)dx,即

∫?(x)dx＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ經(jīng)濟總量問題分析經(jīng)濟總量問題分析例５．３求∫２xdx．解因為(

x2

)′＝２x,所以∫２xdx＝x2

＋C

經(jīng)濟總量問題分析三、不定積分的基本公式因為求不定積分是求導數(shù)的逆運算,所以由導數(shù)的基本公式可以得到對應(yīng)的積分的基本公式．為方便使用,將不定積分的基本公式列述如下．經(jīng)濟總量問題分析從不定積分的定義中,我們可以得到或驗證以下性質(zhì):性質(zhì)１不定積分的導數(shù)(微分)等于被積函數(shù)(被積表達式),即∫[?(x)dx]′＝?(x)或∫d?(x)dx＝?(x)dx

性質(zhì)２一個函數(shù)的導數(shù)(微分)的不定積分等于這個函數(shù)與一個任意常數(shù)的和,即

∫F′(x)dx＝F(x)＋C或∫dF(x)＝F(x)＋C四、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)１和性質(zhì)２表示導數(shù)(微分)運算和積分運算互為逆運算,可以相互抵消．但如果先導數(shù)(微分)運算后積分運算,那么抵消后要加上積分常數(shù)．經(jīng)濟總量問題分析

性質(zhì)３兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于這兩個函數(shù)不定積分的代數(shù)和,即∫[?(x)±g(x)]dx＝∫?(x)dx±∫g(x)dx

推論

有限個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于這些函數(shù)不定積分的代數(shù)和,即

∫[?１(x)±?２(x)±…±?n(x)]dx＝∫?１(x)dx±∫?２(x)dx±…±∫?n(x)dx

經(jīng)濟總量問題分析經(jīng)濟總量問題分析第二節(jié)基本積分法

經(jīng)濟總量問題分析一、湊微分法經(jīng)濟總量問題分析上面計算不定積分的過程中,我們引入了中間變量u,通過變量代換(換元)使積分簡化,從而求出積分．在不定積分的計算過程中,如果不定積分∫g(x)dx可以寫成∫?[φ(x)]dφ(x)的形式,那么我們可以通過換元的方法將積分轉(zhuǎn)化為∫?(u)du．如果積分∫?(u)du容易求出,那么就可以順利得到結(jié)果,這個方法叫作第一類換元積分法,也叫作湊微分法．具體過程如下:經(jīng)濟總量問題分析經(jīng)濟總量問題分析經(jīng)濟總量問題分析經(jīng)濟總量問題分析二、分部積分法如果u＝u(x)和v＝v(x)具有連續(xù)的導數(shù),則由函數(shù)乘積的微分公式d(uv)＝udv＋vdu移項可得udv＝d(uv)－vdu,兩邊積分得

∫udv＝uv－∫vdu這個公式叫作分部積分公式,當積分∫udv不易求出,而積分∫vdu容易求出時,就可以使用這個公式,運用分部積分公式求積分的方法叫作分部積分法．分部積分法常常用來求乘積函數(shù)的積分,而運用的關(guān)鍵是u和dv的選擇．一般地,u的選擇順序為:反三角函數(shù)(如arcsinx，arctanx)、對數(shù)函數(shù)(如lnx,ln２x)、冪函數(shù)(如x,x2)、三角函數(shù)(如sinx,cosx)和指數(shù)函數(shù)(如ex,e－x)經(jīng)濟總量問題分析

例５．１３求不定積分∫xexdx