線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)詳解演示文稿

線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)詳解演示文稿當(dāng)前第1頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)（優(yōu)選）線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)當(dāng)前第2頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)運(yùn)算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij)AB=C其中A與B同型的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必須是方陣.伴隨矩陣

n階行列式的|A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣AT:AT當(dāng)前第3頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆，B是A的逆矩陣.用定義用伴隨矩陣分塊對(duì)角矩陣|A|

≠0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A與B互逆.反證法.當(dāng)前第4頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)二、重要定理1、設(shè)A、B是n階矩陣，則|AB|=|A||B|。2、若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣惟一。3、n階矩陣A可逆?|A|≠0?R(A)=n

?A為滿秩矩陣。4、若AB

=E(或BA

=E

),則B=A-1

。5、若A為對(duì)稱矩陣，則AT＝A

。6、若A為反對(duì)稱矩陣，則AT＝－A

。當(dāng)前第5頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)三、重要公式、法則。1、矩陣的加法與數(shù)乘

A+B=B+A;(A+B)+

C

=A

+(B+C);

A

+O

=O+A=A;

A

+(－A)=O;

k(lA)=(kl)A

;(k+l)A

=kA+lA

;

k(A+B)=kA

+kB

;1A

=A,OA

=O

。2、矩陣的乘法(AB)C

=A

(BC

);(2)A

(B

+C

)=AB+AC;(A

+B

)C

=AC

+BC;(3)(kA)(lB)=(kl)AB;(4)AO=OA=O.當(dāng)前第6頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)3、矩陣的轉(zhuǎn)置(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT.4、矩陣的逆(A-1)-1=A

;(2)(kA)-1=k-1A-1;(3)(AB)-1=B-1A-1;(4)(AT)-1=(A-1)T.5、伴隨矩陣

AA*=A*A

=|A|E;(2)(kA)*=kn-1A*;(3)(A*)-1=(A-1)*=|A|-1A;(4)(AT)*=(A*)T.6、n階方陣的行列式|AT|=|A|;(2)|kA|=kn|A|;(3)|AB|=|A||B|;(4)|A-1|=|A|-1;(5)|A*|=|A|n-1.當(dāng)前第7頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)四、典型例題1、方陣的冪運(yùn)算2、求逆矩陣3、解矩陣方程4、A*題當(dāng)前第8頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)方陣的行列式

行列式是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，在代數(shù)學(xué)中有較多的應(yīng)用。

應(yīng)當(dāng)在正確理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練地計(jì)算3階、4階行列式，也要會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式。還要會(huì)運(yùn)用行列式求解n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的n元一次線性方程組。

計(jì)算行列式的基本方法是用按行（列）展開定理，通過降階來實(shí)現(xiàn)，但在展開之前往往先運(yùn)用行列式的性質(zhì)，對(duì)行列式作恒等變形，以期有較多零或公因式，這樣可簡(jiǎn)化計(jì)算。要熟練運(yùn)用計(jì)算行列式的典型的計(jì)算方法和計(jì)算技巧。當(dāng)前第9頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)一、行列式主要知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般項(xiàng)是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和.●D=DT●互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)。●某行有公因子可以提到行列式的外面。●若行列式中某一行(列)的所有元素均為兩元素之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。行列式知識(shí)點(diǎn)性質(zhì)當(dāng)前第10頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)展開計(jì)算●行展開●列展開●定義法●遞推法●加邊法●數(shù)學(xué)歸納法●公式法●拆項(xiàng)法●乘積法●齊次線性方程組有非零解的充要條件●克拉默法則應(yīng)用當(dāng)前第11頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)二、主要定理1、行列式的展開定理。=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)=

a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj2、行列式展開定理的推論。ai1

Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0(j≠k)當(dāng)前第12頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)3、非齊次線性方程組克拉默法則。其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中的第j列的元素用方程組的常數(shù)項(xiàng)替換后得到的n階行列式。的系數(shù)行列式D≠0，原方程組有惟一解當(dāng)前第13頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)4、齊次線性方程組的克拉默法則。

若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。當(dāng)前第14頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)三、重要公式當(dāng)前第15頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第16頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第17頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)四、典型例題1、3～4階的行列式2、簡(jiǎn)單的n階行列式3、用公式當(dāng)前第18頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)可逆矩陣與初等變換

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，他在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸计鸬搅耸种匾淖饔谩?/p>

熟練掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和等價(jià)矩陣的概念，理解矩陣秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解齊次線性方程組有非零解充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。深刻理解線性方程組通解的概念，掌握用初等變換求解線性方程組的方法。當(dāng)前第19頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)一、主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖

矩陣的初等變換與線性方程組

矩陣的初等變換初等方陣矩陣的秩線性方程組當(dāng)前第20頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)

矩陣的初等變換概念1.對(duì)換矩陣的i,j兩行（列）.2.用k≠0乘矩陣的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去.性質(zhì)1.初等變換不改變矩陣的秩.2.對(duì)A經(jīng)過有限次初等變換得到B，則A等價(jià)B.用途求逆，

求矩陣A的秩、最簡(jiǎn)型、標(biāo)準(zhǔn)形.求線性方程組的解.當(dāng)前第21頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)

初等方陣性質(zhì)初等方陣都是可逆矩陣，其逆仍然是同種的初等矩陣.對(duì)Am×n矩陣實(shí)施一次行初等變換，相當(dāng)于對(duì)A左乘一個(gè)相應(yīng)的m階初等方陣；對(duì)A實(shí)施一次列初等變換，相當(dāng)于對(duì)A右乘一個(gè)相應(yīng)的n階初等方陣.任何可逆矩陣都可以表為若干個(gè)初等方陣的乘積.概念對(duì)單位矩陣實(shí)施一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等方陣.當(dāng)前第22頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)矩陣的秩

概念k階子式.秩：矩陣非零子式的最高階數(shù).

性質(zhì)零矩陣的秩為零.R(A)=R(AT)若B可逆，則R(AB)=R(A).R(A+B)≤R(A)+R(B)R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)≥R(A)+R(B)－n若AB=0,則R(A)+R(B)≤n當(dāng)前第23頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)線性方程組

有非零解R(A)<n.求解1.化系數(shù)矩陣為最簡(jiǎn)形.2.找等價(jià)的方程組.3.寫通解.

有解R(A)=R(B).求解1.把增廣矩陣B化為最簡(jiǎn)形.2.找等價(jià)的方程組.3.寫通解.當(dāng)前第24頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)二、重要定理1、若A

與B等價(jià)，則R(A)=R(B).2、初等矩陣左（右）乘矩陣A，其結(jié)果就相當(dāng)于對(duì)A作相應(yīng)的初等行（列）變換。3、初等方陣均可逆，且其逆仍是同種的初等方陣。4、若A

與B等價(jià)，則存在可逆矩陣P和Q,使PAQ

=B.5、若A可逆，則存在有限個(gè)初等方陣P1,P2,…,Pl,使

A

＝P1P2…Pl。6、n元齊次線性方程組Am×nx=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<n。7、n元非齊次線性方程組Am×nx=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)等于增廣矩陣R(A，b)的秩。當(dāng)前第25頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)三、重要公式1、矩陣的秩

R(A)=R(AT);

R(A+B)≤R(A)+R(B)

R(AB)≤min{R(A)R(B)}

若P、

Q可逆，則R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)

R(A),k≠0,(5)R(kA)=0,k=0;

A0(6)R=R(A)+R(B)。

0B當(dāng)前第26頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)2、用初等變換求逆3、用初等行變換求A-1B當(dāng)前第27頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)四、典型例題1、用初等變換求逆和求秩。2、用初等變換求解線性方程組。3、用初等變換求A-1B。當(dāng)前第28頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)向量組的線性相關(guān)性

向量組的線性相關(guān)性是代數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的概念，對(duì)討論線性方程組解的存在性和解的結(jié)構(gòu)起到了至關(guān)重要的作用。

本章要求理解向量的線性組合和線性表示的概念，深刻理解向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，會(huì)用向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。了解向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大無關(guān)組和秩。了解向量組等價(jià)的概念，以及向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。了解n維向量空間、子空間、基、維數(shù)、坐標(biāo)等概念。掌握線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，正確理解非齊次線性方程組和它所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解之間的關(guān)系，深刻理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解、解空間的概念，熟練求解線性方程組的通解。當(dāng)前第29頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)一、向量組的線性相關(guān)性主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖向量組的線性相關(guān)性n維向量運(yùn)算線性表示概念判定線性相關(guān)概念判定線性無關(guān)概念判定充要條件充分條件充要條件充分條件極大無關(guān)組概念求法向量空間概念向量空間的基當(dāng)前第30頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)線性方程組Ax=0初等行變換階梯形有解判定總有解R(A)≠R(B)無解R(A)=R(B)有解R(A)=n僅有零解R(A)<n有非零解解的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)解系A(chǔ)x=b當(dāng)前第31頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)二、重要定理1、線性無關(guān)

（1）一個(gè)向量線性無關(guān)的充分必要條件是它不是零向量。

（2）兩個(gè)向量線性無關(guān)的充分必要條件是它們對(duì)應(yīng)的分量不成比例。

（3）n個(gè)n維向量線性無關(guān)的充分必要條件是它們所構(gòu)成n階行列式不為零。

（4）若整組向量線性無關(guān)，則它的任何部分組都線性無關(guān)。

（5）若r維的向量組線性無關(guān)，則在每個(gè)向量的后邊都添上一個(gè)分量而得的向量組仍線性無關(guān)。當(dāng)前第32頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)2、線性相關(guān)

（1）一個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是它是零向量。

（2）兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們對(duì)應(yīng)的分量成比例。

（3）n個(gè)n維向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們構(gòu)成的行列式等于零。

（4）向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量能由其余的m－1個(gè)向量線性表示。

（5）若向量組α1，α2，…，αr線性相關(guān)，則向量組α1，α2，…，αr，αr+1，…，αm

仍線性相關(guān)。當(dāng)前第33頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)3、線性相關(guān)性與線性表示

（1）向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A

=(α1，α2，…，αm)的秩小于向量的個(gè)數(shù)m,向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m。

（2）若向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān)，而向量組β，α1，α2，…，αm線性相關(guān)，則β能由α1，α2，…，αm線性表示，且表示法是惟一的。

（3）向量β能由向量組α1，α2，…，αm線性表示的充分必要條件是矩陣A

=(α1，α2，…，αm)的秩等于矩陣B=(α1，α2，…，αm,β)的秩。當(dāng)前第34頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)4、向量組的秩

（1）矩陣的秩等于它的列向量組的秩（列秩），也等于它的行向量組的秩（行秩）。

（2）若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。

（3）等價(jià)的向量組的秩相同。5、解空間

（1）n元齊次線性方程組Am×nx=0的全體解所構(gòu)成的集合S是一個(gè)向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R(Am×n)=r時(shí)，解空間S的維數(shù)為n－r。當(dāng)前第35頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)三、重要公式1、向量組線性相關(guān)性證明（1）公式

λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0,（2）方法

①

定義法；②反證法；③用等價(jià)說法。2、求向量組的秩及其極大無關(guān)組

（1）若求向量組的秩和向量組的極大無關(guān)組，將其向量組寫成矩陣的形式，行向量組作初等列變換；列向量組作初等行變換，使之變成階梯形矩陣，非零的列（行）的數(shù)即是向量組的秩，而非零的列（行）的非零首元所在的行（列）向量組即是該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。當(dāng)前第36頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)3、方程組的通解（1）齊次線性方程組Ax=O的通解：x=k1α1+k2α2+…+kn-rαn-r

k1,k2,…kn-r為任意常數(shù)。（2）非齊次線性方程組Ax=b的通解：x=k1α1+k2α2+…+kn-rαn-r+η*

k1,k2,…kn-r為任意常數(shù)。其中

α1，α2，…，

αn-r為Ax=O的基礎(chǔ)解系；

η*是Ax=b的一個(gè)特解。當(dāng)前第37頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)四、典型例題2、求解線性方程組、特別是帶有參數(shù)的方程組。3、驗(yàn)證一組向量是某向量空間的基，把空間中的某個(gè)向量用該組基線性表示。1、求向量組的秩和其極大無關(guān)組,把不是無關(guān)組的向量用極大無關(guān)組線性表示。當(dāng)前第38頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)相似矩陣及二次型

特征值的問題在代數(shù)學(xué)中占有十分重要的位置。用它可以討論方陣相似對(duì)角化。進(jìn)而將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形。

理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量。理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件。掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法。了解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變換和合同矩陣的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及慣性定理。掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)的方法，會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。了解正定二次型和所對(duì)應(yīng)的正定矩陣的性質(zhì)及判別法。當(dāng)前第39頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)相似矩陣及二次型向量的內(nèi)積特征值與特征向量二次型一、主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖當(dāng)前第40頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)向量的內(nèi)積定義：(x,y)=∑xiyi性質(zhì)范數(shù):||x||=正交:(x,y)=01.(x,y)=(y,x)2.(x,y)=(x,y)3.(x+y,z)=(x,z)+(y,z)向量的內(nèi)積當(dāng)前第41頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)特征值與特征向量特征值與特征向量定義：Ax=x,x≠0求法：特征值特征向量相似實(shí)對(duì)稱矩陣隱含的信息性質(zhì)1.定義法；2.特征多項(xiàng)式法|

E-A|.1.定義法；2.(

E-A)x=0的基礎(chǔ)解系法.當(dāng)前第42頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)性質(zhì)性質(zhì)不同特征值的特征向量線性無關(guān)k重特征值至多有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量當(dāng)前第43頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)相似相似定義：P-1AP=B可對(duì)角化1.A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；2.R(A-kE)=n-k,k是A的k重特征值.1.A有n個(gè)不同的特征值；2.A是實(shí)對(duì)稱矩陣.應(yīng)用當(dāng)前第44頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)實(shí)對(duì)稱矩陣隱含的信息實(shí)對(duì)稱矩陣隱含的信息必可以對(duì)角化，且可用正交變換不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交特征值全為實(shí)數(shù)k重特征值必有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量與對(duì)角矩陣合同當(dāng)前第45頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)二次型二次型矩陣表示f=xTAx標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型化標(biāo)準(zhǔn)形正定矩陣當(dāng)前第46頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)正定二次型及正定陣正定二次型及正定陣慣性定律定義充要條件必要條件當(dāng)前第47頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)二、重要方法1、求特征值與特征向量

（1）由特征方程|A－λE|＝0，求出A的特征值λi（共n個(gè)），再解齊次線性方程組（A－λiE）x＝O,其基礎(chǔ)解系就是λi所對(duì)應(yīng)的特征向量。（2）用定義法Ax=λx（適用于抽象的矩陣）。2、判斷A能否對(duì)角化

若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A必能對(duì)角化，這是充分條件。對(duì)于一般的n階方陣A，判斷步驟如下：

（1）由特征方程|A－λE|＝0，求出A的特征值λ（共n個(gè)），若A的n個(gè)特征值各不相同，則A必能對(duì)角化。當(dāng)前第48頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)

（2）對(duì)于A的k重特征值λk,求秩R(A－λkE)，若其秩等于n－k，則A可對(duì)角化。若秩R(A－λkE)≠n－k，則A不可對(duì)角化。

3、求相似標(biāo)準(zhǔn)形的方法（可對(duì)角化的矩陣）

（1）求A的全部特征值λ1，λ2，…，λn;

（2）對(duì)每個(gè)特征值λi

求（A－λiE）x＝0的基礎(chǔ)解系，得出特征值λi

所對(duì)應(yīng)特征向量pi;

（3）將求得的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)造可逆矩陣p,令p=(p1,p2,

…,pn)則p-1Ap=Λ。當(dāng)前第49頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)4、用對(duì)角化求An

若A能對(duì)角化，則求出A的特征值與特征向量，由p-1Ap=Λ得A=PΛP-1,從而An=PΛnP-1。其中，對(duì)角矩陣Λ是由A的特征值所構(gòu)成，可逆矩陣P由相應(yīng)的特征向量所構(gòu)成。5、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

（1）寫出二次型的矩陣A；（2）求A的特征值、特征向量；（3）對(duì)于A的各不相同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量已經(jīng)正交，只需單位化；對(duì)于A的k重特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的，需用施密特正交化方法將這k個(gè)線性無關(guān)的特征向量化成兩兩正交的單位向量；（4）用所求得的n個(gè)兩兩正交的單位向量構(gòu)造正交矩陣

P=(P1,P2,…,Pn)

（5）令x=Py，則得標(biāo)準(zhǔn)形f=λ1y1+λ2y2+…+λnyn。當(dāng)前第50頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)6、二次型及矩陣正定的判別法（1）用定義，?x≠0,總有xTAx>0

（2）用順序主子式全大于零；

（3）用n個(gè)特征值全大于零；

（4）用正慣性指數(shù)p=n；

（5）存在可逆矩陣C，使A=CTC。當(dāng)前第51頁\共有56頁\編于星期二\12點(diǎn)三、典型例題1、求方陣的特征值、特