二維圖形變換與裁剪

二維圖形變換與裁剪第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六第5章二維圖形變換與裁剪5.1二維圖形變換5.2二維圖形裁剪

5.3二維圖形求交

5.4地圖中的變換第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六5.1二維圖形變換5.1.1二維圖形變換基本原理5.1.2基本幾何變換的解析表示5.1.3幾何變換的齊次坐標表示5.1.4組合變換第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六在計算機繪圖應用中，經(jīng)常要實現(xiàn)從一個幾何圖形到另一個幾何圖形的變換。例如，將圖沿某一方向平移一段距離；將圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度；或?qū)D形放大；反之把圖形縮小等等。這些圖形變換的效果雖然各不相同，本質(zhì)上卻都是依照一定的規(guī)則，將一個幾何圖形的點都變?yōu)榱硪粋€幾何圖形的確定的點，這種變換過程稱為幾何變換。二維平面圖形的幾何變換是指在不改變圖形連線次序的情況下，對一個平面點集進行的線性變換。5.1.1二維圖形變換基本原理二維平面圖形變換的結(jié)果有兩種，一是使圖形產(chǎn)生位置的改變；另一種是使圖形產(chǎn)生變形，例如把圖形放大。

對二維圖形進行幾何變形有五種基本變換形式，它們是：平移、旋轉(zhuǎn)、比例、對稱和錯切。第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二維圖形變換

二維圖形頂點的變換 平面上有一直線段AB，將它分別沿X方向，Y方向平行移l個單位后，得到直線段A’B’，假設AB兩端點坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），如下圖所示，我們來驗證，只要對AB的兩端點進行同樣的平移變換，就可得到變換后的直線A'B'。

5.1.1二維圖形變換基本原理第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六對AB的兩端點（x1，y1）（x2，y2）進行平移，得：由（x1’，y1’）,(x2’，y2’）組成一條新的直線段A’

B’其方程為：

即

（4－22）5.1.1二維圖形變換基本原理第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六在原直線段AB上任取一點（x*，y*）,顯然滿足直線段AB的方程：對（x*，y*）作同樣的平移變換：將（x*'，y*'）代入新的直線A'B'的方程（4-22）中，(4－23)5.1.1二維圖形變換基本原理(4－22)第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六結(jié)論：對直線段進行平移變換只要其端點進行同樣的變換。用同樣的方法，可進一步證明：對直線段進行比例旋轉(zhuǎn)、反射、錯切等其它幾何變換也只要對該直線段的端點進行同樣的變換。

當對組成圖形的所有直線段作同一幾何變換后，對這一幅圖形便作了相同的幾何變換，所以，對圖形進行幾何變換只要對其所有直線段進行同樣的幾何變換，而對直線段的幾何變換又歸結(jié)為對端點的幾何變換，因此，我們說，對圖形作幾何變換，其實質(zhì)是對點的幾何變換。5.1.1二維圖形變換基本原理第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六l）平移變換平面上一點P（x，y），如果在X軸方向的平移增量為tx，在Y軸方向平移增量為ty時，則平移后所得新點P'(x'，y')坐標表達式為：

x'=x+tx，y'=y+ty

我們把這一變換稱為平移變換。5.1.2基本幾何變換的解析表示平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀P（x，y）P'(x'，y')xytxty

第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六2）比例變換一個圖形中的坐標點（x，y），若在X軸方向有一個比例系數(shù)Sx，在Y軸方向有一個比例系數(shù)Sy，則該圖形的新坐標點（x'，y'）的表達式為

x'=xSx

y'=ySy；

這一變換稱為比例變換。比例變換不僅改變圖形的位置，而且改變圖形的大小5.1.2基本幾何變換的解析表示第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(1)當

時，為恒等比例變換，即圖不變；(2)當 時，圖形沿兩坐標軸方向等比例縮?。?3)當

時，圖形沿兩個坐標軸方向等比例放大；(4)當

時，圖形沿兩個坐標軸方向作非均勻的比例變化。x'=xSx

y'=ySy；5.1.2基本幾何變換的解析表示第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六3）旋轉(zhuǎn)變換若圖形中的坐標點（x，y）繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ,則可得到圖中所示的(x’,y’),該變換被稱為旋轉(zhuǎn)變換。(x,y)(x’,y’)xy

變換后的新坐標（x‘，y’）與變換前的坐標(x，y)的關系為：x'=xcosθ-ysinθy'=xsinθ+ycosθ

旋轉(zhuǎn)變換只能改變圖形的方位，而圖形的大小和形狀不變，5.1.2基本幾何變換的解析表示第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六4）對稱變換如果經(jīng)過變換后所得到的圖形與變換前的圖形關于X坐標軸是對稱的，則稱此變換為關于X軸的對稱變換。經(jīng)過這一變換后的坐標點（x'，y'）與變換前的對應坐標點（x，y）的關系為： x'=x，y'=-yY軸的對稱變換：

x'=-x，y'=y中心對稱變換： x'=-x，y'=-y對稱變換只改變圖形方位，不改變其形狀和大小。5.1.2基本幾何變換的解析表示第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六5）錯切變換如果變換前坐標點（x，y）與變換后對應的新坐標點（x'，y'）的關系為： x'=x+cy，y'=y我們稱這一變換為沿X軸的錯切變換，式中c為錯切系數(shù)。若變換前后對應點的坐標關系為： x'=x，y'=y+bx

則稱此變換為沿Y軸的錯切變換，其中b為錯切系數(shù)。錯切變換不僅改變圖形的形狀，而且改變圖形的方位，但圖形中的平行關系不變。5.1.2基本幾何變換的解析表示第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六平移、比例、旋轉(zhuǎn)、對稱和錯切變換統(tǒng)稱為基本的圖形變換，絕大部分復雜的圖形變換都可以通過這些基本交換的適當組合來實現(xiàn)。5.1.2基本幾何變換的解析表示第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六任何一個復雜圖形都是由任意多個有序點集連線而成。在解析幾何學中。在二維空間內(nèi)，平面上的點可以用一行兩列矩陣［xy］或兩行一列矩陣來表示。由此，一個由n個點的坐標組成的復雜圖形可以用n×2階矩陣表示：這種圖形的表示法稱為二維圖形的矩陣表示法。5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六由此可知，圖形的變換可用矩陣運算來實現(xiàn)。具體說就是由構成圖形的點集的矩陣與T=矩陣乘法運算，即我們稱T=為二維圖形變換矩陣，其中點集中任意一點（x，y）變換后坐標為：5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六1）比例變換

若令變換矩陣則寫成矩陣形式為：

①若取a=3d=1對點（2，3）做變換,則可以看出，a>1，d=1，變換后圖形沿X方向放大，顯然，當0<a<1，d=1時，使圖形沿X方向縮小當a=1，d>1時，則使圖形沿Y方向放大5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六a>1，d=1，變換后圖形沿X方向放大

當a=1，d>1時，則使圖形沿Y方向放大

5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六②若取a=1，d=0，圖形沿Y方向壓縮成線段，如下圖所示當a=1，d=1變換后圖形沒有變化，稱這種變換矩陣為恒等矩陣。5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六③若取a=d=1.5對下圖中（a）矩陣1234做變換，則各點在X，Y兩個方向產(chǎn)生相等的比例變換，即變換后圖形和變換前圖形相似，相似中心為坐標原點。若a≠d時，使圖形在X和Y兩個方向產(chǎn)生不相等比例變換。下圖(b)是a=2,d=1.5時對(a)中矩陣1234變換結(jié)果。圖(c)是取a=2,d=0.5對矩陣1234變換結(jié)果，變換后圖形在X方向放大，在Y方向縮小。5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六2）對稱變換

令變換矩陣T中a=-1,d=1,即就可圖形對Y軸對稱例如：如下圖所示

5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六當a=1，d=–1時，圖形對X軸對稱即當

時，圖形對+45度線對稱當

時，圖形–45度線對稱圖形對+45度線對稱圖形對-45度線對稱5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

3）錯切變換當變換矩陣中的a=d=1，b與c中一個為零，另一個為正數(shù)或負數(shù)時，即 ，它對圖形的作用是使圖形產(chǎn)生沿一個坐標方向錯切。5.1.3幾何變換的矩陣表示第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六例如：由下圖可見，圖形沿+Y方向錯切，這是對在第一象限內(nèi)的點而言。當時，它使第一象限內(nèi)圖形沿+X方向錯切

5.1.3幾何變換的矩陣表示第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六4）旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換是指坐標軸不動，點或圖形繞坐標原點旋轉(zhuǎn)θ角，以逆時針方向取正值。如下圖所示，其變換矩陣則5.1.3幾何變換的矩陣表示第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六逆時鐘旋轉(zhuǎn)=90度時，變換矩陣順時針旋轉(zhuǎn)=-90度時，順時針旋轉(zhuǎn)=180度時，下圖是矩陣旋轉(zhuǎn)30度的情況，其坐標變換如下：

5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六1)齊次坐標與平移變換前面四種變換都可以通過變換矩陣來實現(xiàn)，那么它是否適合于平移變換呢？變換前后的坐標必須滿足下面的關系：這里tx，ty是平移量，應為常數(shù)，但是應用上述的變換矩陣對點進行變換：

這里，cy，bx均非常，因此用原來的2×2的變換矩陣是無法實現(xiàn)平移變換的。5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六我們把2×2矩陣擴充為3×2矩陣，即令：但這樣又帶來新的問題，二維圖形的點集矩陣是n×2階的，而變換矩陣是3×2階的，根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，它們是無法相乘的。為此，我們把點向量也作擴充，將擴展為,即把點集矩陣擴充為n×3階矩陣。這樣，點集矩陣與變換矩陣即可以進行乘法運算：5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六對點進行平移變換：對點進行平移變換：這里L，m分別為x，y方向的平移量。為使二維變換矩陣具有更多的功能，可將3×2變換矩陣進一步擴充成3×3階矩陣，即：則平移變換矩陣為：5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六對點進行平移變換：例：設l=20，m=20，對下圖中的字母T做平移變換得：5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六5.1.3幾何變換的齊次坐標表示如上討論，在平移變換中，我們將擴充為，

實際上是由二維向量變?yōu)槿S向量，但可以看作是z=1平面上的點，也就是說，經(jīng)此擴充后，圖形落在了z=1的平面上，它對圖形的形狀沒有影響。這種用三維向量表示二維向量的方法叫做齊次坐標法。進一步推廣，用n+1維向量表示n維向量的方法稱之為齊次坐標法。

齊次坐標表示中，一個點可以有多個坐標。

無窮遠處點的表示，常數(shù)為0第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六2）二維圖形齊次坐標矩陣變換對于前面介紹基本變換可用二維圖形齊次坐標變換矩陣一般表達式這3×3矩陣中各元素功能一共可分成四塊，即這個2×2子矩陣可以實現(xiàn)圖形的比例、對稱、錯切、旋轉(zhuǎn)等基本變換；

可以實現(xiàn)圖形平移變換；

可以實現(xiàn)圖形透視變換；

可以實現(xiàn)圖形全比例變換。5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六例如，用矩陣對圖形進行變換：當s<1時，圖形產(chǎn)生整體比例放大。當s>1時，圖形產(chǎn)生整體比例縮小。當s=1時，圖形大小不變。由此表明，齊次坐標的應用，擴大了變換矩陣功能，只要對矩陣中有關元素賦以不同的值，即可達到預期變換目的。->5.1.3幾何變換的齊次坐標表示第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六對稱變換第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六上述的五種二維圖形幾何變換是二維圖形幾何變換中的最基本的幾何變換，在進行這些基本的幾何變換時，我們給定了一些特定的約束條件，如:旋轉(zhuǎn)變換是指繞坐標原點的旋轉(zhuǎn)，比例變換是關于坐標原點的放大或縮小等等，因而是幾何變換中的一些簡單情形。

實際中的二維圖形作幾何變換時要復雜得多，往往是多種基本的幾何變換復合而成的，因此我們把由若干個基本的幾何變換復合而成為一個幾何變換的過程稱為組合變換，也稱為幾何變換的級聯(lián)。5.1.4組合變換第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六1）繞任意點旋轉(zhuǎn)變換

平面圖形繞任意點p（xp，yp）旋轉(zhuǎn)角，需要通過以下幾個步驟來實現(xiàn)：（1）將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點，變換矩陣為：YXp（xp，yp）5.1.4組合變換第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六（2）將圖形繞坐標系原點旋轉(zhuǎn)角α，變換矩陣為：YXα（3）將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來位置，變換矩陣為：αYXα5.1.4組合變換第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六因此，繞任意點p的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：顯然，當xp=0，yp=0時，即為對原點的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。5.1.4組合變換問題：T1,T2,T3的順序能不能換？第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六2）對任意點做比例變換設任意一點p（xp，

yp）

，作比例變換需通過以下步驟來完成：（1）將P點移到坐標原點，變換矩陣為：YX5.1.4組合變換第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六（2）作關于原點的比例變換，變換矩陣為：（3）對原點作反平移變換，移到原來的位置：YXYX5.1.4組合變換第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六對任意點P作比例變換，其變換矩陣為5.1.4組合變換第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六5.1.4組合變換3）對任意直線對稱變換如下圖所示，設任意直線的方程為：Ax+By+C=