2023年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)及解析

2023年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）及解析

一、選擇題共8小題。每題5分.共40分.在每題列出的四個選項中，選出符合勝目要求的

一項.

1.集合A={xGRI3x+2>0},B={xGRI（x+l）（x-3）>0}那么ACB=（）

22

A.1-8,-1）B.{-1,一一}C.（一一,3）D.[3,+°=）

33

2.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取

0<y<2

一個點(diǎn)，那么此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是〔）

k=k*1

3設(shè).a]eR."a=0"是，復(fù)數(shù)a+初是純虛數(shù)”的0

S=S.2h

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的S值為（）

A.2B.4

C.8D.16

0

5.如圖.ZACB=9O,CD_LAB于點(diǎn)D,以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)MX

E.那么0

A.CE?CB=AD?DBB.CE?CB=AD?AB

C.AD.AB=CD2D.CE.EB=CD2

6.從0,2中選一個數(shù)字.從中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位

數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為（）

A.24B.18C.12D.6

7.某三梭錐的三視圖如下圖，該三梭錐的外表積

是（）

A.28+6^/5B.30+6^5

C.56+1275D.60+1275

8.某棵果樹前n前的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系如下圖.從目前記錄的

結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高。m值為0

A.5

B.7

C.9

D.ll

二.填空題共6小題。每題5分。共30分.

v-24~/x—3coscc

9,直線《“(/為參數(shù))與曲線(’(。為參數(shù))的交點(diǎn)個數(shù)為

y=-\-t[y=3sina

10.{4}等差數(shù)列S”為其前n項和，假設(shè)4=(,52=/，那么4=，S“=

11.在△ABC中，假設(shè)a=2,b+c=7,cosB=--,那么b=

4

12.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/過拋物線>2=4x的焦點(diǎn)F,且與該拋物線相交于A、B

兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方，假設(shè)直線/的傾斜角為60°.那么。4F的面積為

13.己知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn).那么。bC8的值為

14./(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2*—2,假設(shè)同時滿足條件：①FxeR,

有/(x)<0或g(x)<0；(2)3XG(-OO,-4),使得/(x)?g(x)<0那么〃？的取值范圍是

三、解答題公6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15.(本小題共13分)函數(shù)/(幻=皿二也必必。(1)求f(x)的定義域及最

sinx

小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

16.(本小題共14分)

如圖1,在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E

分別是AC,AB上的點(diǎn)，且DE〃BC,DE=2,將Z\ADE沿DE

折起到^AIDE的位置，使A1CJ_CD,如圖2.

(1)求證：A1CJ_平面BCDE；

(2)假設(shè)M是AID的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的

大??；

(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE

垂直？圖102

說明理由

17.(本小題共13分)

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其它垃圾”箱

近年來，某市為促廚余垃圾400100100

進(jìn)生活垃圾的分類可回收物3024030

處理，將生活垃圾其它垃圾202060

分為廚余垃圾、可

回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情

況，先隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位：噸)；

(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率；

(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率；

(3)假設(shè)廚余垃圾在"廚余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾〃箱的投放量分別為

a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差/最大時，寫出a,b,c的值(結(jié)

論不要求證明)，并求此時52的值。

(注：d=J_[(玉-x)2+(/一%)2++(x._x)2]：,其中％為數(shù)據(jù)%],%2，xn

n

的平均數(shù))

18.〔本小題共13分)

函數(shù)/(%)=。/+1(a>0),g(x)=x3+bx

(1)假設(shè)曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線，求a、b的值;

(2)當(dāng)〃=4b時，求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(一8,—1]上的最大值，

19.(本小題共14分)曲線C(5-m)x2+(m-2)y2=8(mdR)

(1)假設(shè)曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；

(2)設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線y=kx+4與曲線c交

于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=l與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A,G,N三點(diǎn)共線。

20.(本小題共13分)

設(shè)A是由mXn個實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1,且所有數(shù)

的和為零，記s(m,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。

對于A《S(m,n),記ri(A)為A的第i行各數(shù)之和(1WiWm),Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(1

WjWn)：

記K(A)為Irl(A)|,|R2(A)||Rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|，…，|Cn(A)|中的最小

值。

對如下數(shù)表A,求K(A)的值；

11-0.8

0.1-0.3-1

(2)設(shè)數(shù)表AGS(2,3)形如

11c

ab-1

求K(A)的最大值；

(3)給定正整數(shù)t,對于所有的AGS(2,21+1),求K(A)的最大值。

一、選擇題

1、D2、D3、B4、C5、A6、B7、B8、C

二、填空題

2

9、210、1；U^ll、412、V313、114、(-4,-2)

4

三、解答題

,,”、(sinx-cosx)sin2x(sinx-cosx)2sinxcosx?.、

ID.J(X)=-----------；---------=----------；-----------=2(sinx-cosx)cosx

(1)原函數(shù)的定義域?yàn)閆eZ},最小正周期為兀.

(2)原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為|"-2+E,EheZ,ffat,—+^KeZ

L8JI8」

16.解：(1)CDYDE,A^EYDE

二平面AS,又ACu平面A。，

又AC_LC￡),

AtC±平面BCDE

(2)如圖建系C-pz,那么0(-2,0,0),4(0,0,2石)，B(0,3,0),E(-2,2,0)

/.”=(0,3,-2V5)，AE=(-2,-1,0)

設(shè)平面A8E法向量為〃=(x,y,z)

rr[_71,

那么卜B.〃=0..j3y-2任=0...，2)

E-H=0[-2x-y=0_

X~~2

：.Z7=(-1,2,?又；0,%:.CM=(-1,0,哈

CMW1+3472

\CM\-\n\71+4+3-VF+32-2夜-2

，CM與平面A8E所成角的大小45。

(3)設(shè)線段8c上存在點(diǎn)尸，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a,0),那么ae[0,3]

那么42=(0,a,-2⑹，DP=(2,a,0)

設(shè)平面尸法向量為％=(占，%，zj

百

那么[孫一2島=0馬二丁孫

o(-3a,6,

2x,+@=01

菁―初

假設(shè)平面AOP與平面A3E垂直那么4?〃=0,

?13a+12+3a=0,6。=—12,a=—2

???0vav3???不存在線段R?上存在點(diǎn)P,使平面AOP與平面4BE垂直

._,.KInr.—rA-ri4002_x4HK*-r啟r200+60+403

17.(1)由題意可知：——=-((2)由11題意可知：----------=—

6003100010

(3)由題意可知：?=1(a2120000),因此有當(dāng)a=600,6=0,c=0時,

有/=80000.

18.(1)由(1,c)為公共切點(diǎn)可得：

2

f(x)=ax+l(a>0),那么r(x)=2ar,k,x=2a,

3

^(x)=x+bx,那么，'(尤)=3/+8,k2=3+h,

：.2a=3+b?y.f(l)=a+l,g⑴=l+b,

(a=3

674-1=1+b?即々=人，代入①式可得：<.

[b=3

222

(2)a=4b9.,.設(shè)h(x)=/(x)+g(x)=丁+ax+—ax+1

4

那么〃'(x)=3/+2av+」a2,令〃'(x)=0,解得：x,=-—,x2=；

.?.原函數(shù)在1-00,單調(diào)遞增，在［微，單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增,

且/?(__|)=/?(0)=1

①假設(shè)TW-0,即aW2時，最大值為〃(—1)=?！?；

24

②假設(shè)一0<_1<一4,即2<”6時，最大值為“-勺=1

26I2)

③假設(shè)—1、一0時，即時，最大值為=

綜上所述：當(dāng)”e(0,2］時，最大值為〃⑴=。-?。划?dāng)ae(2,+oo)時，最大值為

19.(1)原曲線方程可化簡得：-^+^^=1

OO

5-mm—2

5—mm-2

由題意可得：U—>0，解得：-<m<5

(2)由直線代入橢圓方程化簡得：(2左2+1)12+16"+24=0,

2,2316k

△=32(2公一3),解得：由韋達(dá)定理得：知+/=、小【①，

乙N/CI1

設(shè),kxN+4),M(XM，依“+4),G(XG,1)

、

_%+6.3%

MB方程為：y=----------x-2那么G1

XM("w+67

-AG=，3%,-i

AN=(羯，xNk+2)

\xMk+6

欲證A,G,N三點(diǎn)共線，只需證AG,AN共線

即一產(chǎn)7(/左+2)=-xN成立,化簡得：(3%+k)xMxN=一6(%M+XN)

為4+6

將①②代入易知等式成立，那么A,G,N三點(diǎn)共線得證。

20.(1)由題意可知弓(A)=1.2,&(A)=-1.2,q(4)=l.l,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8

：.k(A)=0J(2)先用反證法證明A(A)W1：

假設(shè)A(A)>1那么lG(A)|=|a+l|=a+l>l，tz>0

同理可知力>0,?,?a+b>0由題目所有數(shù)和為0

即a+Z?+c=—1??c——1—a—b<—1

與題目條件矛盾

易知當(dāng)々=/?=0時，攵(4)=1存在.)攵(A)的最大值為1

另解：因?yàn)閿?shù)表中所有數(shù)和為0,「.Q+Z?+C=—1,〃+/?=—c—l<0,c=—\—ci—b

\r[(A)\=l-a-b,\r1(A)\=l-a-b,|q(A)|=l+a,|c2(A)|=1+Z?,

\c3(A)\=2+a+b

Z(A)=1+?；?二Z(A)=l+〃，當(dāng)a=b=O,c=—1時，A(A)取到最大值1。

(3)&(A)的最大值為土也.首先構(gòu)造滿足-A)=竺小的

''t+2t+2

A={qj}(i=l,2,j=l,2,...,2r+l)：

a\A~4,2=…=a\j=1，Q[J+1=%j+2=…=々12+1

f+2

t1+t+\.

aa

%=?2,2=-=2,t=痛+2)，%=%.r+2=-