2023年春經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分部分

08春經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分部分

第一部微分學(xué)

第1章函數(shù)

1.理解函數(shù)概念。

理解函數(shù)概念時(shí)，要掌握函數(shù)的兩要素——定義域和相應(yīng)關(guān)系,這要解決下面四個(gè)方面

的問(wèn)題：

(1)掌握求函數(shù)定義域的方法,會(huì)求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值。要掌握常見(jiàn)函數(shù)的自變量

的變化范圍,如分式的分母不為0,對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,偶次根式下表達(dá)式大于0。

例1求函數(shù)丁=華』的定義域。

解：ln(x-l)的定義域是x>l,萬(wàn)三的定義域是xW2,但由于萬(wàn)三在分母上，因此

x#2。故函數(shù)y籍2的定義域就是上述函數(shù)定義域的公共部分，即1。<2。

(2)理解函數(shù)的相應(yīng)關(guān)系/的含義：/表達(dá)當(dāng)自變量取值為了時(shí)-，因變量y的取值為

/(%)?例如，對(duì)于函數(shù)^=/。)=/+M》+2\/表達(dá)運(yùn)算：

()2+ln()+21)

例2設(shè)/(x)=x+l,求f(/(x)+1)。

解：由于/(x)=x+l,說(shuō)明/表達(dá)運(yùn)算：()+1,因此

/(/(x)+1)=(/(x)+1)+1=/(%)+2

再將/(x)=x+l代入，得/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

2.掌握函數(shù)奇偶性的判別,知道它的幾何特點(diǎn)；

判斷函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù),可以用定義去判斷，即

(1)若A—x)=/(x),則/(X)偶函數(shù)；(2)若/(—x)=—,〃x),則/(x)奇函數(shù)。

也可以根據(jù)一些已知的函數(shù)的奇偶性，再運(yùn)用“奇函數(shù)土奇函數(shù)、奇函數(shù)X偶函數(shù)仍為奇

函數(shù);偶函數(shù)士偶函數(shù)、偶函數(shù)X偶函數(shù)、奇函數(shù)X奇函數(shù)仍為偶函數(shù)”的性質(zhì)來(lái)判斷。

例3下列函數(shù)中，()是偶函數(shù)。

A./(x)=x3sinxB,f(x)=x3+1

C.f(x)=ax-a~x'>D.f(x)=x2sinx

解：根據(jù)偶函數(shù)的定義以及奇函數(shù)x奇函數(shù)是偶函數(shù)的原則，可以驗(yàn)證A中Y和sMx

都是奇函數(shù),故它們的乘積/(x)=YsinX是偶函數(shù)，因此A對(duì)的。既然是單選題，A已經(jīng)

對(duì)的，那么其它的選項(xiàng)一定是錯(cuò)誤的。故對(duì)的選項(xiàng)是A。

第2章極限，導(dǎo)數(shù)與微分

1.掌握求簡(jiǎn)樸極限的常用方法。

求極限的常用方法有：(1)運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則；(2)運(yùn)用兩個(gè)重要極限；(3)運(yùn)用無(wú)

窮小量的性質(zhì)(有界變量乘以無(wú)窮小量還是無(wú)窮小量)：

2.知道一些與極限有關(guān)的概念

(1)知道函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充足必要條件是該點(diǎn)左右極限都存在且相等；

(2)了解無(wú)窮小量的概念，知道無(wú)窮小量的性質(zhì)；

(3)會(huì)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。

例1下列變量中，是無(wú)窮小量的為()

1—八

A.xsin—(x0)B.lnx(xf+oo)C.eA(x—>0)D.

x

x—2

(xf2)

x2-4

解：A中：由于xf0時(shí)，是無(wú)窮小量，sin，是有界變量，由定理，xsin'afO)是無(wú)

XX

窮小量;

B中：由于xf+oo時(shí)，Inxf+8,故Inx(x-+oo)不是無(wú)窮小量;

工1」1

C中：由于x—>。+時(shí)，，----->—co，故e，一>0；但是x―>0時(shí)，------>4-00，故

XX

eKf+co,因此e*當(dāng)xf0時(shí)不是無(wú)窮小量。

1

D中：由于—故x-2時(shí)，?不是無(wú)窮小量。

X2-4x+2X2-44廠一4

因此對(duì)的的選項(xiàng)是B。

x+1x>0

例2當(dāng)左=()時(shí)，/(%)=在x=0處連續(xù)。

x2x<0

A.0。B.-1C.2。D.1

解：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足既是左連續(xù)又是右連續(xù)。由于/(0)=0+1=1,

而左連續(xù)f((T)=lim(f+%)=左=/(0)。故當(dāng)攵=1時(shí)，/(X)在x=0處連續(xù)。

XT。-

對(duì)的的選項(xiàng)是D。

3.理解導(dǎo)數(shù)定義。

理解導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，要解決下面幾個(gè)問(wèn)題：

(1)牢記導(dǎo)數(shù)定義的極限表達(dá)式：(2)會(huì)求曲線的切線方程；

(3)知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系(可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo))。

例3曲線y=/-尤在點(diǎn)(1,0)處的切線是()

A.y=2x-2eB.y=—2x+2C.y=2x+2D.y=-2x-2

解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，y(i)=(x3-xy|=(3^2-I)|=2

是曲線y=在點(diǎn)(I,。)處的切線斜率，故切線方程是

y-0=2(x-l),即y=2x-2；故對(duì)的的選項(xiàng)是A。

例4求曲線f(x)=G+1在點(diǎn)(1,2)處的切線方程。

解：由于廣甕)=(五+1)'=；⑴=：=1

2、x2Vx*=]2

113

所以，在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y—2=](x—l),即y=+

4.純熟掌握求導(dǎo)數(shù)或微分的方法。

具體方法有：(1)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)(或微分)的基本公式(2)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)(或微分)的四則運(yùn)算

法則(3)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)微分法

例5求下列導(dǎo)數(shù)或微分：

(1)設(shè)求y';(2)設(shè)丁=cos?-e一"，求

v3x-5

(3)設(shè)y=x6+---，求dy。

2x-l

解：(1)這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)y-u5,”=3x-5

i_27--3--

運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)y'=——〃2(3尤—5)'=一一〃2=一一(3九一5)2

222

(2)V=(cosVx)r-(e-v)'二一sinVx(Vx)r-e-'r(-x2)'

2

(3)y，=(xVx+---)，=—x^-----------dy=y(ir=-x2dr

2x-l2(2x-l)2(21)2

5.知道高階導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

例6已知y=尤sinX,則》"(耳)=()

7171

A.1B.—1C.—D.---

22

解：y'=sinx+xcosx,=2cosx—xsinx

y"(5)=2cosx-xsinXx=：=-W。故對(duì)的的選項(xiàng)是D。

第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，掌握極值點(diǎn)的判別方法,會(huì)求函數(shù)的極值。

通常的方法是運(yùn)用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，也可以運(yùn)用已知的基本初等函數(shù)的單

調(diào)性判斷。

例1在指定區(qū)間［—10,10］內(nèi)，函數(shù)y=()是單調(diào)增長(zhǎng)的。

A.sinx?B.e-r???C.x2。。D.ln(x+20)

解：這個(gè)題目重要考察同學(xué)們對(duì)基本初等函數(shù)圖形的掌握情況。因它們都是比較簡(jiǎn)樸的

函數(shù),從圖形上就比較容易看出它們的單調(diào)性。

A中sinx是正弦函數(shù)，它的圖形在指定區(qū)間［-10,10］內(nèi)是波浪形的，因此不是單

調(diào)增長(zhǎng)函數(shù)。

B中e：是指數(shù)函數(shù)，(e-x)'=-e—<0,故它是單調(diào)減少函數(shù)。

C中V是基函數(shù),它在指定區(qū)間［T0,10］內(nèi)的圖形是拋物線,因此不是單調(diào)增長(zhǎng)函數(shù)。

根據(jù)排除法可知對(duì)的答案應(yīng)是D。也可以用求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證：由于在指定區(qū)間［—1

0,10］內(nèi)，有(11!。+20))'=—5—>0

x+20

故y=ln(x+20)是單調(diào)增長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)的的選項(xiàng)是D。

例2函數(shù)/(x)=x—Inx的單調(diào)增長(zhǎng)區(qū)間是o

解：用求導(dǎo)數(shù)的方法，由于/'(x)=(x—lnx)'=l—L

X

令f'(x)=1—工>0,則X>1,則函數(shù)的單調(diào)增長(zhǎng)區(qū)間應(yīng)當(dāng)填寫(xiě)(1,+OO)o

X

2.了解一些基本概念。

(1)了解函數(shù)極值的概念，知道函數(shù)極值存在的必要條件,知道函數(shù)的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別

與聯(lián)系；

例3函數(shù)y=3(x-I)2的駐點(diǎn)是.

解：根據(jù)駐點(diǎn)定義，令9=6(》-1)=0,得％=1。應(yīng)當(dāng)填寫(xiě)為=1

(2)了解邊際概念和需求價(jià)格彈性概念；

例4已知需求函數(shù)為q=3-27萬(wàn)，則需求彈性E(p)=.

解：由于q'——■，且E(p)="?q'=?(—=---

Jpq3-1p

所以應(yīng)當(dāng)填寫(xiě)

3-277

例5已知需求函數(shù)45)=100*24",當(dāng)〃=10時(shí)濡求彈性為().

A.4x2^In2B.41n2C.-41n2D.-4x2^pln2

解：由于0(p)=(lOOx244，y=i00x(-0.4)ln2x2?4。=_401n2x2-4。，且

E(P)=?/=?(TOIn2x2-°")=-0.4In2P

Ci一1\,A7X"乙

E(10)=-0.41n2xl0=—41n2；故對(duì)的選項(xiàng)是C

3.純熟掌握求經(jīng)濟(jì)分析中的問(wèn)題(如平均成本最低、收入最大和利潤(rùn)最大等)。掌握求邊

際函數(shù)的方法，會(huì)計(jì)算需求彈性。

例6設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q臺(tái)時(shí)的成本C(q)=100+0.25/+6g(萬(wàn)元)，試求(1)當(dāng)

9=10時(shí)的總成本，平均成本和邊際成本;(2)當(dāng)產(chǎn)量q為多少時(shí),平均成本最小。

解:(1)當(dāng)q=10時(shí)的總成本。(10)=100+0.25x(10)2+6x10=185(萬(wàn)元)

當(dāng)q=10時(shí)的平均成本e(10)=型8()=18.5(萬(wàn)元/臺(tái))

10

當(dāng)q=10時(shí)的邊際成本C'(q)=0.5q+6;(7(10)=0.5x10+6=11

(2)C(^)=-^=—+0.25^+6,e(<?)=-粵+0.25

qqq-

t

令不(q)=0,求得q=20。由于故意義的駐點(diǎn)唯一，且平均成本存在著最小大值，所以當(dāng)

產(chǎn)量為20臺(tái)時(shí),可使平均成本達(dá)成最小大。

例7設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=0.01/+4.+20(元)，

其中〃是產(chǎn)量，單位：件。單位銷(xiāo)售價(jià)格為p=14-0.00(元/件)問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)可使利

潤(rùn)達(dá)成最大。最大利潤(rùn)是多少？

解：由于L=R-C,且A=pg=(14—0.01q)g=14g—0.01/

2

所以L=R—C=14q-0.01q2,0.01^-49-20=10^-0.02^-20

Lf=10-0.04^,令L'=0,解得q=250(件)

因唯一駐點(diǎn)唯一，故片250件是所求的最大值點(diǎn)。當(dāng)產(chǎn)量為250件時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利

潤(rùn)為L(zhǎng)(250)=10x250-0.02x(250)2-20=1230(元)

例8生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定費(fèi)用是1000萬(wàn)元，每多生產(chǎn)1臺(tái)該種產(chǎn)品，其成本增長(zhǎng)10萬(wàn)

元，又知對(duì)該產(chǎn)品的需求為9=120-2〃(其中夕是產(chǎn)銷(xiāo)量，單位:臺(tái)；p是價(jià)格，單位:萬(wàn)

元).求(1)使該產(chǎn)品利潤(rùn)最大的產(chǎn)量；(2)該產(chǎn)品的邊際收入.

解：(1)設(shè)總成本函數(shù)為C(q),收入函數(shù)為R(g),利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q),于是

1,

C(q)=10^+1000(萬(wàn)兀)，R(q)=qp=60q―5丁(萬(wàn)兀)，

L(q)=R(g)?C(4)=50q-gq2-1000(萬(wàn)元),〃(q)=50-q=0得到q=50(臺(tái))，

由于駐點(diǎn)唯一，故，=50臺(tái)是所求最小值點(diǎn)。即生產(chǎn)50臺(tái)的該種產(chǎn)品能獲最大利潤(rùn)。

⑵因R(g)=60q—gq2,故邊際收入R，(q)=60-g(萬(wàn)元/臺(tái))。

第二部一元函數(shù)積分學(xué)

第1章不定積分

1.理解原函數(shù)與不定積分概念。

⑴什么是原函數(shù)?若函數(shù)尸(X)的導(dǎo)數(shù)等于/(X),即/(X)=/(X),則稱函數(shù)尸(X)是

/(X)的原函數(shù)。

(2)什么是不定積分？原函數(shù)的全體尸(x)+c(其中c是任意常數(shù))稱為/(x)的不定積

分，記為Jf(x)dx=E(x)+co

(3)知道不定積分與導(dǎo)數(shù)(微分)之間的關(guān)系。

不定積分與導(dǎo)數(shù)(微分)之間互為逆運(yùn)算，即先積分，再求導(dǎo)，等于它自身；先求導(dǎo)，再

積分，等于函數(shù)加上一個(gè)任意常數(shù)，即

(Jf(xW=f(x),d(J/(x)dx)=/(x)dx,

Jf'(x)dx=/(x)+c,Jdf(x)=/(x)+c

例1假如尸(x)是人萬(wàn))的一個(gè)原函數(shù)，c為任意常數(shù)，則下式成立的是()。

A.F\x)+c=/(x)8出.F(x)dx4-c=/(x)dx

sC.(F(x)4-c)z=/(x)D.Fr(x)=f(x)+c

解：假如尸(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則戶(x)+c都是r(x)的原函數(shù)，故有

(F(x)+cy=f(x),即對(duì)的的選項(xiàng)是c。

例2假如J/(x)dx=sin2x+c,則/(*)=()

A.2sin2xB.—2cos2x3c.—2sin2xD.2cos2x

解：次x)=(J/(x)dv)'=(sin2x+c)'=2cos2x.對(duì)的的選項(xiàng)是D。

例3設(shè)/(x)是函數(shù)/(x)的一個(gè)原函數(shù)，則,(1一%2.=(。)。

sA.尸(1—x~)+c。B.一/(1—1~)+c

191,

C.一一F(1-X2)+COD.-F(1-X2)+C

22

解：由于尸(x)是函數(shù)/(x)的一個(gè)原函數(shù)，即有J/(x)dx=E(x)+c,故

j#(l-x2)dx=j1/(-x2)dx2--1j/(l-x2)d(l-x2)=-1F(l-x2)+c

故對(duì)的的選項(xiàng)C。

例4設(shè)/(x)的一個(gè)原函數(shù)是e%,則/(x)=()。

A.e也-2eC-4e。4>4e

解：由于/(x)的一個(gè)原函數(shù)是e-2，，故/(x)=(e_2，y=_2e-2*

故對(duì)的的選項(xiàng)Bo

例5已知J山:=sinx+c,則式x)=()

D.xcosx

解：對(duì),Jn、(x)dx=sinx+c兩端求導(dǎo)，得4"(x)=cosx,故f(x)=,

對(duì)的的選項(xiàng)是C。

2.純熟掌握不定積分的計(jì)算方法。

常用的積分方法有

(1)運(yùn)用積分基本公式直接進(jìn)行積分；(2)第一換元積分法(湊微分法)；

(3)分部積分法，重要掌握被積函數(shù)是以下類(lèi)型的不定積分：

①基函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘;②幕函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)相乘；

③基函數(shù)與正(余)弦函數(shù)相乘；

例6.J"凡：=(。，)。

A.ln2(2x)oB.；lrj2(2x)+c?C.21n?(2x)+cD.；ln?(2x)+c

解：兩種方法，其一是湊微分直接計(jì)算：

jI02"由；=jM2x(j(2x)=jin2Ad(ln2x)=—ln2(2x)+c

其二是求導(dǎo)計(jì)算:四個(gè)備選答案中都具有11?(2幻項(xiàng)，對(duì)它求導(dǎo)

(In之(2x))，=2ln(2x).2=2ln(2x)

2xx

與被積函數(shù)比較可知，Ln2(2x)+c是螞過(guò)的原函數(shù)。

2x

對(duì)的的選項(xiàng)是B。

例7計(jì)算下列積分

.1

sin—

⑴。J一(2)jxlnxdr(3)j(x+l)sinxdx

解：

(1)由于一」7(ix=d(')

XX

sinl

所以f-^-dx=-[sin—(——-)dr=-[sin—d(—)=cos—+c

JxJxx"Jxxx

(2)設(shè)〃=lnx,M=x#=」x2,運(yùn)用分部積分公式，

2

f?t121\CX.12i12

xlnxdx=—xInx——一dx=—xInx——x+c

J221x24

(3)設(shè)〃=x+1,/=sinx,u=-cosx，運(yùn)用分部積分公式，

J(x+l)sinxdx=-(%+l)cos%+Jcosxdx=-(%+l)cosx+sinx+c

第2章定積分

1.了解定積分的概念，知道奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分結(jié)果.

奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分有以下結(jié)果：

若丁(x)是奇函數(shù)，則有J：/(x)dx=0

若/(%)是偶函數(shù)，則有(x)dx=2j"(x)dx=2/J(x)dx

例1若F(x)是/(幻的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是().

A.ff(x)dx=F(x)B.[f(x)dx=F(x)—F(a)

JaJa

C.『尸(x)dr=/(b)-/(a)D.J7v)ir=m-F(a)

JaJa

解：(x)dx=E(x)|：=廠(份―尸⑷可知，對(duì)的的選項(xiàng)是B。

例2—Cln(z2+l)dr=()o

A.-1n(x2+l)B.1n(x2+1)C.ln(x2+l)2x。D.1n(x"

+1)2x

解：—rln(z2+l)dr=--f'ln(r2+l)dz=-ln(x2+l),,故對(duì)的的選項(xiàng)是

dxJxdxJa

Ao

/,I,

例3JJsin-xdx=。

解：由于/(x)=xsin2x是奇函數(shù)，故fjsiMxdrnO。應(yīng)當(dāng)填寫(xiě)：0

2.純熟掌握定積分的計(jì)算方法。

例4計(jì)算下列定積分

解：(1)運(yùn)用工必=<1(111幻=(1(1+111%),于是

X

[—/1dx=[/1d(l+Inx)=2jl+lnx|=2(4-Vl)=2

Jlxjl+lnxJiJl+Inx11

注意Ine?=31ne=3,lnl=0

2

=2e&

2(e'--e)?

(3)用分部積分法

jfe-25=_,屁寸；_je2dr]=-+geaJ；]=_((3曉—1)

(4)用分部積分法

n7t

居rr1?*1A-f1*1

|2xcos2Adx=—xsin2x|——2sin2Mr=—cos2x=——

Jo2Io2J。402

3.知道無(wú)窮限積分的收斂概念,會(huì)求簡(jiǎn)樸的無(wú)窮限積分。

例5廣義積分f(，e2vdx=___________________

J—00

解：由于*&=隨夕1)=配3j2b)g應(yīng)當(dāng)填寫(xiě)：I

例6下列無(wú)窮積分中收斂的是().

?+001

廣+00