數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散

（優(yōu)選）數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第1頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)基本概念

第十一章無窮級數(shù)constantterminfiniteseries第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散收斂級數(shù)的基本性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)當(dāng)前第2頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)為什么要研究無窮級數(shù)是進(jìn)行數(shù)值計算的有效工具(如計算函數(shù)值、出它的威力.

在自然科學(xué)和工程技術(shù)中,也常用無窮無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式.因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù),故它在積分運(yùn)算和微分方程求解時,也呈現(xiàn)如諧波分析等.造函數(shù)值表）.級數(shù)來分析問題,數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第3頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)1.級數(shù)的定義(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項如

以上均為(常)數(shù)項級數(shù).(1)一、基本概念數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第4頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)這樣,級數(shù)(1)對應(yīng)一個部分和數(shù)列:稱無窮級數(shù)(1)的按通常的加法運(yùn)算一項一項的加下去,為級數(shù)(1)的無窮級數(shù)定義式(1)的含義是什么?也算不完,永遠(yuǎn)那么如何計算?前n項和部分和.2.部分和數(shù)列數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第5頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)例認(rèn)為數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第6頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)例2認(rèn)為例3無極限認(rèn)為沒有和。數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第7頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限.定義則稱無窮級數(shù)并寫成3.級數(shù)收斂與發(fā)散的定義數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第8頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)特別,若則稱級數(shù)發(fā)散到記作總之,常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散).(不存在)存在數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第9頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)對收斂級數(shù)(1),為級數(shù)(1)的余項或余和.顯然有當(dāng)n充分大時,級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有極限是等價的.(1)稱差誤差為數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第10頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)注意：（1）任何一個級數(shù)都可以確定一個部分和數(shù)列（2）對任意數(shù)列都可作出一個級數(shù)因此研究級數(shù)的斂散性問題即為研究其部分和數(shù)列是否有極限的問題數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第11頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)例1討論級數(shù)的斂散性。解：前n項之和因為所以級數(shù)收斂，和為1數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第12頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)例2而所以,的部分和

級數(shù)級數(shù)發(fā)散.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第13頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)解(重要)例3討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的收斂性.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第14頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上級數(shù)變?yōu)閿?shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第15頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)討論級數(shù)的斂散性.解例4因為為公比的等比級數(shù),是以故級數(shù)收斂.發(fā)散.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第16頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)例5判定級數(shù)的斂散性.例6求級數(shù)的和.提示:利用數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第17頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)定理1(柯西準(zhǔn)則)級數(shù)收斂數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第18頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)例7證明:(1)級數(shù)收斂.(2)級數(shù)發(fā)散(3)級數(shù)發(fā)散(3)提示:數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第19頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1若級數(shù)都收斂,且其和分別為則對任意的常數(shù)級數(shù)也收斂,且和為數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第20頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)都發(fā)散.但收斂.例數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第21頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)收斂級數(shù)的必要條件反之不然！性質(zhì)2證因為則所以推論數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第22頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)注①級數(shù)收斂的必要條件,③必要條件不充分.常用判別級數(shù)發(fā)散;如調(diào)和級數(shù)②也可用它求或驗證極限為“0”的極限;級數(shù)收斂的必要條件:但級數(shù)是否收斂數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第23頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)例判別下列級數(shù)的斂散性級數(shù)收斂的必要條件常用判別級數(shù)發(fā)散.解題思路數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第24頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)解由于發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第25頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)

解而級數(shù)所以這個等比級數(shù)發(fā)散.由性質(zhì)2知,由性質(zhì)1知,發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,為公比的等比級數(shù),是以收斂.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第26頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)練習(xí)為收斂級數(shù),a為非零常數(shù),試判別級數(shù)的斂散性.解因為收斂,故從而故級數(shù)發(fā)散.級數(shù)收斂的必要條件:數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第27頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)問否！數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第28頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)性質(zhì)3

添加或去掉有限項不影響一個級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4設(shè)級數(shù)收斂,則對其各項任意加括號所得新級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.①一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散,則注原級數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,加括后的級數(shù)就應(yīng)該收斂了.設(shè)原來的級數(shù)收斂,則根據(jù)性質(zhì)4,

收斂

發(fā)散②一個級數(shù)加括號后收斂,原級數(shù)斂散性不確定.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)前第29頁\共有31頁\編于星期五\0點(diǎn)常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法3.按基本性質(zhì)則級數(shù)收斂由定義,2.則級數(shù)發(fā)散一般項、部分