等差數(shù)列前n項(xiàng)和

2.3等差數(shù)列前n項(xiàng)和(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義問題1：

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？導(dǎo)入看看高斯的（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050??高斯的思路有什么特點(diǎn)？適合哪種類型？特點(diǎn)：首尾配對(duì)（變不同數(shù)求和為相同數(shù)求和，變加法為乘法）類型：偶數(shù)個(gè)數(shù)相加高斯的辦法行嗎？如何改進(jìn)？S21=1+2+3+…+212S21=(1+21)+(2+20)+(3+19)+…+(21+1)S21=21+20+19+…+1

21個(gè)22

探索與發(fā)現(xiàn)1：第1層到21層一共有多少顆圓寶石？探索與發(fā)現(xiàn)2：第5層到12層一共有多少顆圓寶石？

總結(jié)一下這種方法特點(diǎn)？可以叫什么法呢？倒序相加法S8=5+6+7+8+9+10+11+12S8=12+11+10+9+8+7+6+5問題2:等差數(shù)列1,2,3,…,n,…的前n項(xiàng)和怎么求？sn=1+2+…+n-1+n

2sn=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)sn=n+n-1+…

+2+1

n可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，怎么避免討論？利用倒序相加法問題3:對(duì)于一般等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)為a1公差為d,如何推導(dǎo)它的前n項(xiàng)和公式Sn呢？上式相加得：由等差數(shù)列性質(zhì)可知：探索與發(fā)現(xiàn)3：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與梯形面積公式有什么聯(lián)系呢？公式一:如何類比梯形面積公式來記憶？分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形公式二:如何類比梯形面積公式來記憶？共5個(gè)量，由三個(gè)公式聯(lián)系，知三可求二。通項(xiàng)公式2.剖析公式方程思想

根據(jù)下列條件,求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

(1)a1=5,an=95,n=10（2)a1=100,d=-2,n=50

解：(1)sn

==500

（2）sn=50×100+=2550熱身練習(xí)

例1、計(jì)算：

（1）1+2+3+…+n=________.（2）1+3+5+…+(2n-1)=________.（3）2+4+6+…+2n=__________.5.例題分析例2

等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…

前多少項(xiàng)的和為54？解：設(shè)題中的等差數(shù)列是｛an｝，前n項(xiàng)和為Sn則a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4令＝54，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得：解得n1＝9，n2＝－3（舍去）

因此,等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是54方程思想知三求二(1)解:由已知得：整體思想認(rèn)識(shí)公式(2)解:結(jié)論:論:

例4:如圖超市一個(gè)堆放鉛筆的V形架，最下面第一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面多放一支，就這樣一層一層地往上放。最上面一層放120支。求這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？解：依題知，各層鉛筆數(shù)自下而上成等差數(shù)列，設(shè)為{an}則a1=1,an=120,n=120,d=1代入公式得

Sn=

=7260

答：這個(gè)V形架上共放了7260支鉛筆公式2可化為:若令，當(dāng)，即時(shí),上式是關(guān)于的二次函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為零.它的圖象是拋物線上的離散點(diǎn)。4.認(rèn)識(shí)公式函數(shù)思想nSnO6an=f(n)、Sn=f(n)的深入認(rèn)識(shí)nanOan=4n-14Sn=2n2-12n

利用sn,判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列

例5：根據(jù)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式,判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列

(1)sn=2n2

–n(2)sn=2n2

–n+1解：(1)當(dāng)n>1時(shí)，an=sn-sn-1

=2n2

–n-[2(n-1)2

–(n-)]=4n-3當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=2×12-1=1也滿足上式。則:an-an-1=4n-3-[4(n-1)-3]=4(常數(shù))∴{an}是等差數(shù)列(2)當(dāng)n>1時(shí)，an=sn-sn-1

=2n2

–n+1-[2(n-1)2

–(n-)+1]

=4n-3當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=2×12-1+1=2不滿足上式。則:當(dāng)n>2時(shí)，an-an-1=4n-3-[4(n-1)-3]=4而當(dāng)n=2時(shí)an-an-1=a2-a1=5-2=3≠4∴{an}不是等差數(shù)列

命題方向4

?an與Sn關(guān)系式的應(yīng)用

(1)一種求和方法--倒序相加法.(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式.