《數(shù)學(xué)建模活動(dòng)：決定蘋(píng)果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)》第1課時(shí)示范教學(xué)方案

第三章函數(shù)《數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：決定蘋(píng)果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)》第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)能夠?qū)?jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.理解函數(shù)是描述客觀(guān)世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類(lèi)型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律.2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問(wèn)題，利用計(jì)算工具，比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)、反比例函數(shù)等學(xué)過(guò)函數(shù)的差異，理解題中的現(xiàn)實(shí)含義.3.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.教學(xué)難點(diǎn)：讀懂題目，構(gòu)建正確的函數(shù)模型.課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、整體概覽問(wèn)題1：閱讀課本第125~126，回答下列問(wèn)題：（1）本節(jié)將要研究哪類(lèi)問(wèn)題？（2）本節(jié)研究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問(wèn)題閱讀課本，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中回答問(wèn)題預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)將要研究數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：決定蘋(píng)果的最佳出售時(shí)間點(diǎn).（2）起點(diǎn)是函數(shù)的應(yīng)用(一).目標(biāo)是能理解函數(shù)是描述客觀(guān)世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具；在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類(lèi)型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律；能結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問(wèn)題，利用計(jì)算工具，比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)、反比例函數(shù)等學(xué)過(guò)函數(shù)的差異，理解題中的現(xiàn)實(shí)含義；能收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.重點(diǎn)是提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)閱讀課本，讓學(xué)生明晰本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架.二、探索新知1．實(shí)例引入：某市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國(guó)際市場(chǎng)上頗具競(jìng)爭(zhēng)力,其中香菇遠(yuǎn)銷(xiāo)日本和韓國(guó)等地.上市時(shí),外商李經(jīng)理按市場(chǎng)價(jià)格10元/千克在本市收購(gòu)了2000千克香菇存放入冷庫(kù)中.據(jù)預(yù)測(cè),香菇的市場(chǎng)價(jià)格每天每千克將上漲0.5元,但冷庫(kù)存放這批香菇時(shí)每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)340元,而且香菇在冷庫(kù)中最多保存110天,同時(shí),平均每天有6千克的香菇損壞不能出售.(1)若存放x天后,將這批香菇一次性出售,設(shè)這批香菇的銷(xiāo)售總金額為y元,試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)李經(jīng)理如果想獲得利潤(rùn)22500元,需將這批香菇存放多少天后出售?(3)李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?師生活動(dòng)：與學(xué)生一起分析題意：(1)銷(xiāo)售金額=售價(jià)×銷(xiāo)售量；(2)利潤(rùn)=銷(xiāo)售總金額-收購(gòu)成本-各種費(fèi)用；(3)求出存放時(shí)間，寫(xiě)出利潤(rùn)的表達(dá)式，對(duì)利潤(rùn)的表達(dá)式求最值.預(yù)設(shè)的答案：解：(1)由題意y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(10+0.5x)(2000-6x)=-3x2+940x+20000(1≤x≤110,且x為整數(shù)).(2)由題意,令-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500,解方程得:x1=50,x2=150(不合題意,舍去),故需將這批香菇存放50天后出售.(3)設(shè)利潤(rùn)為w,由題意得w=-3x2+940x+20000-10×2000-340x=-3(x-100)2+30000,因?yàn)閍=-3<0,所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口方向向下,所以x=100時(shí),w最大=30000,所以李經(jīng)理將這批香菇存放100天后出售可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是30000元.教師總結(jié)：二次函數(shù)模型應(yīng)用方法及注意點(diǎn)(1)方法:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)模型后,求出函數(shù)的解析式,可利用配方法、判別式法、換元法以及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值.(2)注意點(diǎn):利用二次函數(shù)求最值時(shí),應(yīng)特別注意取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)已知數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解決，引導(dǎo)學(xué)生去思考現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，如何建立數(shù)學(xué)模型去解決.2．?dāng)?shù)學(xué)建模馬克思說(shuō)過(guò)，一門(mén)科學(xué)只有成功運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步.展望21世紀(jì)，數(shù)學(xué)必將大踏步地進(jìn)入所有學(xué)科，數(shù)學(xué)建模將迎來(lái)蓬勃發(fā)展的新時(shí)期.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題的一類(lèi)綜合實(shí)踐活動(dòng)，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的橋梁.下面我們用實(shí)例來(lái)介紹，怎樣從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，如何通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)求解特定的問(wèn)題，并探討怎樣整理數(shù)學(xué)建模的結(jié)果.3．建模過(guò)程描述與介紹俗話(huà)說(shuō)，“物以稀為貴”一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)市面上某種商品的出售量比較多時(shí)，這種商品的價(jià)格就會(huì)比較低；而出售量比較少時(shí)，價(jià)格就會(huì)比較高.例如，當(dāng)市面上的蘋(píng)果比較多時(shí)，蘋(píng)果的價(jià)格就會(huì)降低.這時(shí)，如果將蘋(píng)果利用一定的技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲(chǔ)，等到市面上的蘋(píng)果變少、價(jià)格上升之后再出售，則同樣多的蘋(píng)果就可以獲得比較高的銷(xiāo)售收入.不過(guò)，需要注意的是，保鮮存儲(chǔ)是有成本的，而且成本會(huì)隨著時(shí)間的延長(zhǎng)而增大.針對(duì)上述這種日常生活中的現(xiàn)象，我們可以提出一些什么問(wèn)題呢？當(dāng)然，我們可以探討的問(wèn)題很多.例如，為什么會(huì)發(fā)生這些現(xiàn)象？什么情況下不會(huì)發(fā)生這樣的現(xiàn)象？能夠利用哪些技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲(chǔ)？哪種保鮮存儲(chǔ)的成本最低？等等.類(lèi)似的這些問(wèn)題，因?yàn)椴粌H僅涉及量的關(guān)系，所以如果只用數(shù)學(xué)手段研究，將是十分困難的.不過(guò)，上述現(xiàn)象中，涉及了量的增大與減少的問(wèn)題，這可以用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言進(jìn)行描述.仍以蘋(píng)果為例，設(shè)市面上蘋(píng)果的量為x萬(wàn)噸，蘋(píng)果的單價(jià)為y元，上述現(xiàn)象說(shuō)明，y會(huì)隨著x的增大而減少，且y也會(huì)隨著x的減少而增大也就是說(shuō)，如果y是x的函數(shù)并記作y=f（x）的話(huà)，f（x）是減函數(shù).同樣地，如果設(shè)保鮮存儲(chǔ)的時(shí)間為t天，單位數(shù)量的保鮮存儲(chǔ)成本為C元，且C是t的函數(shù)并記作C=g（t）的話(huà)，g（t）是一個(gè)增函數(shù).由于市面上蘋(píng)果的量x會(huì)隨著時(shí)間t的變化而變化，因此可以認(rèn)為x是t的函數(shù)，并記作x=h（t）.從上面這些描述不難看出，在第t天出售蘋(píng)果時(shí)，單位數(shù)量的蘋(píng)果所獲得的收益z元可以用t表示出來(lái)，即z=y-C=f（x）-g（t）=f（h（t））-g（t）.此時(shí)，如果f（x），g（t），h（t）都是已知的，則能得到z與t的具體關(guān)系式.有了關(guān)系式之后，就能解決如下問(wèn)題：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t為多少時(shí)z取最大值？問(wèn)題：怎樣才能確定上述f（x），g（t），h（t）呢？預(yù)設(shè)的答案：這可以通過(guò)合理假設(shè)以及收集數(shù)據(jù)、確定參數(shù)來(lái)完成.三、初步應(yīng)用例如，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們可以假設(shè)f（x）和g（t）都是一次函數(shù)，且f（x）=k1x+L1，g（t）=k2t+L2；并假設(shè)h（t）是一個(gè)二次函數(shù)，且h（t）=at2+bt+c.則有z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b一k2）t+k1c+L1-L2，其中k1<0，k2>0，a≠0.上述各參數(shù)可以通過(guò)收集實(shí)際數(shù)據(jù)來(lái)確定.師生活動(dòng)：如果我們收集到了如下實(shí)際數(shù)據(jù).利用待定系數(shù)法，根據(jù)前面的假設(shè)就可以確定出y=f（x）=-0.5x+5，C=g（t）=0.01t+0.1，x=h（t）=0.002t2-0.14t+9.6，因此z=-0.001t2+0.06t+0.1.注意到上式可以改寫(xiě)成z=-0.001（t-30）2+1，所以此時(shí)在t=30時(shí)，z取最大值1.也就是說(shuō)，在上述情況下，保鮮存儲(chǔ)30天時(shí)，單位商品所獲得的利潤(rùn)最大，為1元.這樣一來(lái)，我們就建立了一個(gè)決定蘋(píng)果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)的模型，并通過(guò)有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了說(shuō)明.教師總結(jié)：當(dāng)然，實(shí)際情況與上面的建模結(jié)果可能會(huì)出現(xiàn)偏差.因?yàn)槲覀兗僭O(shè)f（x）和g（t）都是一次函數(shù)等就已經(jīng)把問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化，如果條件容許的話(huà)，可以先不假設(shè)函數(shù)的具體形式，在收集盡量多的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析來(lái)最終得出函數(shù)的具體形式，這樣也就能優(yōu)化我們最終建立的模型.以上我們用敘述的方式，讓大家經(jīng)歷了一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模全過(guò)程.由此可以看出，對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題就是數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模過(guò)程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖：以具體事例說(shuō)明數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題.練習(xí)：教科書(shū)P129與其他同學(xué)一起討論如下問(wèn)題：(1)從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行建模時(shí)，所發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題要具有什么特征時(shí)才方便使用數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決？(2)對(duì)同一個(gè)現(xiàn)象甚至同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，能否使用不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行描述？參考答案：(1)從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，如果涉及數(shù)量關(guān)系或空間形式的有關(guān)內(nèi)容時(shí)，就可以嘗試使用學(xué)知識(shí)加以解決.(2)對(duì)同一現(xiàn)象甚至同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，可以嘗試使用不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行描述.四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)1．板書(shū)設(shè)計(jì)：3.4數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：決定蘋(píng)果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)1．實(shí)例引入2．?dāng)?shù)學(xué)建模例12．總結(jié)概括：回顧本節(jié)課，你有什么收獲？（1）什么是數(shù)學(xué)建模？（2）數(shù)學(xué)建模過(guò)程包括哪些？師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.作業(yè)：1．某游樂(lè)場(chǎng)每天的盈利額y元與售出的門(mén)票張數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，試由圖像解決下列問(wèn)題：(1)求y與x的函數(shù)解析式．(2)要使該游樂(lè)場(chǎng)每天的盈利額超過(guò)1000元，每天至少賣(mài)出多少?gòu)堥T(mén)票？2．教科書(shū)教科書(shū)P130題3參考答案：1．解：(1)由圖像知，可設(shè)y＝kx＋b，x∈[0,200]時(shí)，代入點(diǎn)(0，－1000)和(200,1000)，解得k＝10，b＝－1000，從而y＝10x－1000；x∈(200,300]時(shí)，代入點(diǎn)(200,500)和(300,2000)，解得k＝15，b＝－2500，從而y＝15x－2500，所以(2)每天的盈利額超過(guò)1000元，則x∈(200,300]，由15x－2500>1000，得x>eq\f(700,3)，故每天至少需要賣(mài)出234張門(mén)票．2．關(guān)于商品的需求量與供給量模型，以下內(nèi)容可供參考；（1)影響商品需求量的因素不止一個(gè)，但是根據(jù)題目的要求，可以假定其只與商品的價(jià)格有關(guān)，而且可以認(rèn)為商品需求量是商品價(jià)格的函數(shù)，稱(chēng)為需求函數(shù)；（2)類(lèi)似地，可以假定商品的供給量也只與商品的價(jià)格有關(guān)，而且商品的供給量也是商品價(jià)格的函數(shù)，稱(chēng)為供給函數(shù)；（3)根據(jù)已知，可以假定價(jià)格越低需求量越大，價(jià)