第一章 第二節(jié) 子集、全集、補集 人教版

子集、全集、補集.觀察以下每組中的兩個集合A、B，看看這兩個集合中的元素有什么關系：（1）A={1，2}，B={1，2，3}（2）A=N，B=R（3）A={x︱x為北京人}B={x︱x為中國人}

.以上幾組集合中，集合A中的元素都在集合B中。對于集合A中的任何一個元素都是集合B的元素(若a∈A，則a∈B)，則稱集合A是集合B的子集（subset)。記作AB，或BA。讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。用數(shù)學語言來表示就是：若x∈A，則x∈B，我們就說A是B的子集。記作AB，或BA。.AB可以用Venn圖來表示：

BA當集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，記作AB，或BA。如A={1，2，3}，B={2，3，4}，則AB，當然，BA。規(guī)定：空集是任何集合的子集，即對于任何一個集合A，都有Φ

A。.思考：AB與BA能否同時成立？.一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B。用數(shù)學語言來表述上面的話就是：若AB，且BA，則A=B。對于兩個集合A與B，如果AB，且A≠B，我們就說A是B的真子集（properset)，記作AB（或BA），讀作A真包含于B（或B真包含A）。我們也可以這樣說：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個元素不是集合A的元素，那么A是B的真子集。.集合A=B和AB可以用下面的圖形來表示：ABA=BBAAB.根據(jù)子集的定義，易知子集具有以下性質(zhì)：（1）Φ

A（空集是任何集合的子集）。（2）AA（任何一個集合是它本身的子集。（3）若A

B，BC，則AC（包含關系具有傳遞性）。.類似地，真子集具有以下性質(zhì)：（1）若A≠Φ，則ΦA（空集是任何非空集合的真子集）。（2）若AB，BC，則AC（真包含關系也具有傳遞性）。.例1、寫出集合{a,b}的所有子集。解：集合{a,b}的所有子集為Φ，{a}，，{a，b}。一般地，若集合A中有n個元素，則集合A有個子集，-1個非空子集，-1個真子集，-2個非空真子集。寫出集合{a,b,c,d}的所有真子集。.例2、已知{a，b}A{a，b，c，d}，求所有滿足條件的集合A。分析：本題考察的是子集與真子集的概念。首先要弄清楚A里面必須含有a和b，然后考慮A里面含有其他哪些元素，按規(guī)律去找。解：∵{a，b}A，∴A中必有元素a，b。又∵A{a，b，c，d}，∴A中的元素有2個或3個。因此滿足條件的集合A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}。.全集與補集的概念：設S是一個集合，A是S的一個子集（AS），由S中不屬于A的所有元素組成的集合，叫做S的子集A的補集（complementaryset），記作，即A={X|XS，且XA}AS如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，用U表示。A.如果S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}那么

A={2，4，6}A1，3,52，4，6SAA.例3、已知A={x︱x＜3}，B={x︱x＜a}（1）若BA，求a的取值范圍。（2）若AB，求a的取值范圍。分析：本題是將不等式的知識與集合的內(nèi)容聯(lián)系起來，通過不等式在數(shù)軸上的表示即可獲解。解：（1）∵BA，如右圖，

∴a≤3。（2）∵A

B，如右圖，∴a＞3。.例4、已知A={1，x，y}，B={x，x，xy}，且A=B，求實數(shù)x，y。分析：此題從集合A中的已知數(shù)1入手，因為A=B，則B中必有1，根據(jù)元素的互異性知，x≠1，故x=1，或xy=1，從而分別求出x，y的值。注意所求值是否使集合元素滿足互異性是這類題容易忽略而引起錯解的地方。解：由A={1，x，y}可知，x≠1，y≠1?！逜=B，∴①或②由①得或（舍）由②得（舍）。故綜上所述，x=-1，y=0。再分析：由于本題給出的兩個相等的集合是有限集，故可根據(jù)相等的有限集的性質(zhì)：（1）兩個集合的所有元素之和相等；（2）兩個集合的所有元素之積相等。列出關于x，y的方程組，求解即可。解法二、∵A=B，∴依題義有即由集合中元素的互異性可知：x≠1，x≠0，∴解方程組得x=-1，y=0。.例5、設A={x︱x–8x+15=0}，B={x︱ax–1=0}，若BA，求實數(shù)a組成的集合。分析：易知A={3，5}，而集合B為一個一次方程的解集，因此集合B中最多有一個元素，有因為BA，所以B=Φ或{3}或{5}，由此便可解出a的值。.簡答題1.U=R={實數(shù)}，Q={有理數(shù)}，求Q2.U={梯行}，A={等腰梯形}，求A3.U=Z，求N+4.U=N，求N+5.U=R，求Q6..U={四邊形}，A={至少有一組對邊平行的四邊形}，求A.7.U={小于10的正整數(shù)}，A={2，3，4}，求A8..={2，4，-a+1},A={a+1,2},A={7}求a=?.練習題：例1：如果S={X|X是小于9的正整數(shù)}，A={1，2，3}，B=3，4，5，6}那么A=————，B=—————例2：設U=Z，A={X|X=2k,kZ},B={X|X=2K+1,kZ},求AB.練習題：1.設集合A={-1，1}，B={x|-2ax+b=0},若B，且BA，求a,b的值。2.設全集是{2，3，a2+2a–3},A={|a+1|,2}A的補集為{5}，寫出M={X|X=|a|}的全部子集。.例6、已知集合A=Z，B=試判斷A，B的關系。解：當n取一些特殊值，如……，-2，-1，0，1，2，……時，集合B中的元素為……，，……，通過觀察發(fā)現(xiàn)集合B中的元素除了所有的整數(shù)外，還含有其他的元素，如等，因此AB。分析：對于集合B，先考慮n取一些特殊值的情形，再通過觀察弄清楚集合B中的元素的構成情況，從而得出集合A，B的關系。再分析：因為整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，因此我們對n分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進行討論。解：∵n∈Z，∴n=2k或n=2k+1，k∈Z。當n=2k時，x=k+，當n=2k+1時，x=k+1，為整數(shù)?！郃B。注：此題說成AB也沒錯，但沒有AB準確。