函數(shù)圖象與性質(zhì)及函數(shù)與方程

第1講函數(shù)圖象與性質(zhì)及函數(shù)與方程高考定位

1.以分段函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域、最值與值域、奇偶性、單調(diào)性；2.利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)、方程及不等式的解，綜合性強(qiáng)；3.以基本初等函數(shù)為依托，考查函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.數(shù)形結(jié)合思想是高考考查函數(shù)零點(diǎn)或方程的根的基本方式.真

題

感

悟解析當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝ax的圖象過(guò)定點(diǎn)(0，1)，在R上單調(diào)遞減，因此，選項(xiàng)D中的兩個(gè)圖象符合.當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝ax的圖象過(guò)定點(diǎn)(0，1)，在R上單調(diào)遞增，

顯然A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)都不符合.故選D.答案

D2.(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(

) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b答案

A答案

C4.(2019·全國(guó)Ⅱ卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，則a＝________.

解析當(dāng)x>0，－x<0，f(－x)＝－e－ax.

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，

所以f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a＝8.

解得a＝－3.

答案－31.函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性①用來(lái)比較大小，求函數(shù)最值，解不等式和證明方程根的唯一性.②常見(jiàn)判定方法：(ⅰ)定義法：取值、作差、變形、定號(hào)，其中變形是關(guān)鍵，常用的方法有：通分、配方、因式分解；(ⅱ)圖象法；(ⅲ)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則；(ⅳ)導(dǎo)數(shù)法.考

點(diǎn)

整

合2.函數(shù)的圖象 (1)對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱(chēng)變換. (2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、值域、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究.3.求函數(shù)值域有以下幾種常用方法： (1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)單調(diào)性法；(5)求導(dǎo)法；(6)分離變量法.除了以上方法外，還有數(shù)形結(jié)合法、判別式法等.4.函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題(1)函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：①直接解方程法；②利用零點(diǎn)存在性定理；③數(shù)形結(jié)合，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.熱點(diǎn)一函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例1】(1)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(

) A.－50 B.0 C.2 D.50 (2)(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(

) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a解析

(1)法一∵f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故選C.(2)由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a＝log20.2<log21＝0，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.故選B.答案

(1)C

(2)B探究提高(1)可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為給出解析式的范圍內(nèi)的函數(shù)值.(2)利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性關(guān)鍵是確定出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸).解析

(1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.(2)因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

答案

(1)6

(2)C答案(1)B

(2)B探究提高

(1)作圖：常用描點(diǎn)法和圖象變換法.圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱(chēng)變換.尤其注意y＝f(x)與y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互關(guān)系.(2)識(shí)圖：從圖象與x軸的交點(diǎn)及值域、單調(diào)性、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性、特殊值等方面找準(zhǔn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系.解析(1)函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖.y＝ax為過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，當(dāng)a>0時(shí)，與y＝|f(x)|在y軸右側(cè)總有交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a＝0時(shí)成立；當(dāng)a<0時(shí)，找與y＝|－x2＋2x|(x≤0)相切的情況，即y′＝2x－2，切點(diǎn)為(0，0)，此時(shí)a＝2×0－2＝－2，即有－2≤a<0，綜上，a∈[－2，0].(2)函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝－x－a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)y＝－x－a有2個(gè)交點(diǎn).作出直線(xiàn)y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，－a≤1，解得a≥－1，故選C.答案(1)D

(2)C探究提高(1)涉及到由圖象求參數(shù)問(wèn)題時(shí)，常需構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，借助兩函數(shù)圖象求參數(shù)范圍.(2)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究.由此作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.答案

B解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù).觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).答案(1)C

(2)2探究提高函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問(wèn)題，常見(jiàn)的有①函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定；②零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；③兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定.解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是求解含有絕對(duì)值、分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)式等較復(fù)雜的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為熟悉的兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題求解.解析

(1)f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù).∵f(x)有唯一零點(diǎn)，∴g(t)也有唯一零點(diǎn).又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)＝0，故選D.答案(1)C

(2)D探究提高利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.答案(1)A

(2)D3.三招破解指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)值的大小比較. (1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較； (2)底數(shù)相同，真數(shù)不同的對(duì)數(shù)值用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較； (3)底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)