2021-2022學(xué)年浙江省杭州市蕙蘭中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年浙江省杭州市蕙蘭中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知ω>0，，直線和是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖像的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則φ=()參考答案：A2.設(shè)集合，若，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C3.函數(shù)f（x）＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B4.復(fù)數(shù)Z滿足（1-2i)z=(1+i)2，則z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為A.（-，）B.（-，）C.（，-）D.（，）

參考答案：A由得5.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，

，則的值等于A

B

C

D參考答案：C6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，a+b=12，則△ABC面積的最大值為（）A．8 B．9 C．16 D．21參考答案：B【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算．【分析】根據(jù)基本不等式求得ab的范圍，進(jìn)而利用三角形面積公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)，等號(hào)成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故選：B．7.已知條件；條件,若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則（

）

A.有最大值，最小值

B.有最大值，最小值-

C.有最大值0，最小值

D.有最大值0，最小值-

參考答案：C曲線等價(jià)為，，當(dāng)直線與圓相切時(shí)有圓心到直線距離，解得，又題意可知，所以有最大值0，最小值，選C.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出的結(jié)果為0，那么輸入的為（

）（A）

（B）或

（C）

（D）參考答案：D程序框圖表示，所以，解得：，，解集為空，所以，故選D.10.已知集合，，則（

）A．(－∞,1)

B．[0,1]

C．(0,1]

D．[0,2)參考答案：C集合，，則.故答案為：C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若二次函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：且12.正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，MN是正方體內(nèi)切球的直徑，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則?的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】M6：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【分析】連接PO，可得?==﹣，當(dāng)取得最大值時(shí)，即可得出?取得最大值．【解答】解：連接PO，可得?==++=﹣，當(dāng)取得最大值時(shí)，?取得最大值為=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、正方體及其內(nèi)切球的性質(zhì)，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.已知x、y滿足，則的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式為0求得目標(biāo)函數(shù)最小值；數(shù)形結(jié)合得到使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值．【解答】解：由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為y=，聯(lián)立，得2x2﹣x﹣2z=0．由△=1+16z=0，得z=．由圖可知，當(dāng)直線y=過(guò)A（1，1）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．∴的取值范圍是：．故答案為：．14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，若?x、y使得2x﹣y＜m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．參考答案：m＞﹣

15.將圓錐的側(cè)面展開(kāi)恰為一個(gè)半徑為2的半圓，則圓錐的體積是．參考答案：【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】計(jì)算題．【分析】通過(guò)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求出圓錐的底面周長(zhǎng)，然后求出底面半徑，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【解答】解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)恰為一個(gè)半徑為2的半圓，所以圓錐的底面周長(zhǎng)為：2π，底面半徑為：1，圓錐的高為：；圓錐的體積為：=【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，利用扇形求出底面周長(zhǎng)，然后求出體積，考查計(jì)算能力，常規(guī)題型．16.（6分）（2015?麗水一模）設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99．則d=；an=；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)，n=．參考答案：﹣2；an=41﹣2n；20．【考點(diǎn)】：等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：先確定數(shù)列的通項(xiàng)，再確定數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)，即可求得Sn取得最大值．解：∵a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，∴3a3=105，3a4=99，∴a3=35，a4=33∴公差d=﹣2∴an=35+（n﹣3）×（﹣2）=41﹣2n∴0＜n≤20時(shí)，an＞0；n≥21時(shí)，an＜0∴Sn取得最大值時(shí)的n=20故答案為：﹣2，﹣2n+41，20．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．17.已知在中，，，動(dòng)點(diǎn)位于線段上，則當(dāng)取最小值時(shí)，向量與的夾角的余弦值為

．參考答案：因?yàn)?，，所?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此,所以向量與的夾角的余弦值為

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知cosC=．（1）若?=，求△ABC的面積；（2）設(shè)向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求sin（B﹣A）的值．參考答案：解：（1）由?=，得abcosC=．又因?yàn)閏osC=，所以ab==．

…（2分）又C為△ABC的內(nèi)角，所以sinC=．

…（4分）所以△ABC的面積S=absinC=3．

…（6分）（2）因?yàn)椤?，所?sincos=cosB，即sinB=cosB．

…（8分）因?yàn)閏osB≠0，所以tanB=．因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以B=．

…（10分）所以A+C=，所以A=﹣C．所以sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣）=sinC﹣cosC=×﹣×=．

…（14分）考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用．分析：（1）利用?=，求出ab的值，然后求解△ABC的面積．（2）通過(guò)∥，求出tanB的值，推出B，轉(zhuǎn)化sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣），利用兩角和與差的三角函數(shù)求解即可．解答：解：（1）由?=，得abcosC=．又因?yàn)閏osC=，所以ab==．

…（2分）又C為△ABC的內(nèi)角，所以sinC=．

…（4分）所以△ABC的面積S=absinC=3．

…（6分）（2）因?yàn)椤?，所?sincos=cosB，即sinB=cosB．

…（8分）因?yàn)閏osB≠0，所以tanB=．因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以B=．

…（10分）所以A+C=，所以A=﹣C．所以sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣）=sinC﹣cosC=×﹣×=．

…（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，向量共線的充要條件的應(yīng)用，考查三角形的解法19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)，總有成立．（1）求的取值范圍；（2）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立．參考答案：（Ⅰ），定義域?yàn)?，?/p>

……1分（1）當(dāng)時(shí)，令，，，令，；（2）當(dāng)時(shí)，令，則或，令，；

……3分（3）當(dāng)時(shí)，恒成立；（4）當(dāng)時(shí)，令，則或，令，；

……4分綜上：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為．……5分（Ⅱ）（1）由題意，對(duì)任意，恒成立，即恒成立，

只需．

……6分由第（Ⅰ）知：，顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對(duì)任意，不能恒成立；（或者分逐個(gè)討論）

……8分當(dāng)時(shí)，，；綜上：的取值范圍為．

……9分（2）證明：由（1）知：當(dāng)時(shí)，，……10分即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，可以變換為，

……12分在上面的不等式中，令，則有不等式恒成立．

……14分20.（本小題滿分14分）已知數(shù)列{}中，

n（1）

求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）

設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)的和為，求證：

（n）（3）

令，若數(shù)列{}的前n項(xiàng)的和為，求證：

（n）參考答案：解：（1）

（2）

（3）21.極坐標(biāo)中，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求直線的極坐標(biāo)方程.參考答案：【分析】將極坐標(biāo)方程化為普通方程，可驗(yàn)證出點(diǎn)在圓上，從而可得過(guò)點(diǎn)切線的直角坐標(biāo)方程，將直角坐標(biāo)方程再化回極坐標(biāo)方程即可.【詳解】曲線的直角坐標(biāo)方程為：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

點(diǎn)在圓上，又因?yàn)閳A心故過(guò)點(diǎn)的切線為所求的切線的極坐標(biāo)方程為：【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，涉及到過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線的求解，屬于常規(guī)題型.22.(本小題滿分14分)如圖，三棱柱中，D、E分別是棱BC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，已知.(1)求證:∥平面ADF;(2)若點(diǎn)M在棱上，當(dāng)為何值時(shí)，平面⊥平面ADF?參考答案：解：（1）連接交于，連接．

因?yàn)镃E，AD為△ABC中線，所以O(shè)為△ABC的重心，．從而OF//C1E．………………3分OF面ADF，平面，所以平面．……………………6分（2）當(dāng)BM=1時(shí)，平面平面．

在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面AB