常微分第四章

常微分第四章第一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日第四章

高階微分方程授課教師：胡鵬彥授課對象：10本科第二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日本章主要討論高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)和常系數(shù)線性微分方程的求解問題,同時結(jié)合質(zhì)點振動來體會數(shù)學(xué)與物理的深刻聯(lián)系.第三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1線性微分方程的

一般理論一、引言二、齊次線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)三、非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法第四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論一、引言

1.線性微分方程的相關(guān)定義

形如的方程為n階線性微分方程,其中ai(t)(i

1,2,,n)及f

(t)都是區(qū)間a

t

b上的連續(xù)函數(shù).第五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日

若

f

(t)0,則(4.1)變?yōu)榉Q之為n階齊次線性微分方程,簡稱為齊次線性微分方程,而(4.1)稱為n階非齊次線性微分方程,簡稱為非齊次線性微分方程,且通常將(4.2)稱為對應(yīng)于(4.1)的齊次線性微分方程.§4.1

線性方程的一般理論第六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日

2.線性微分方程解的存在唯一性定理定理1如果ai(t)(i

1,2,,n)及

f

(t)都是區(qū)間a

t

b上的連續(xù)函數(shù),則對于任一t0[a,b]及任意的方程(4.1)存在唯一定義在區(qū)間a

t

b上的解x

(t),滿足初值條件§4.1

線性方程的一般理論第七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論二、齊次線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

1.齊次線性微分方程解的疊加原理定理2(疊加原理)如果x1(t),x2(t),,xk(t)是方程(4.2)的k個解,則它們的線性組合c1x1(t)

c2x2(t)

ckxk(t)也是(4.2)的解,這里c1,c2,,ck是任意常數(shù).該定理可直接利用導(dǎo)數(shù)的運算法則證明.第八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

在定理2中,如果k

n,則(4.2)有解x

c1x1(t)

c2x2(t)

cnxn(t),(4.4)它含有n個任意常數(shù).試問何時(4.4)能夠成為(4.2)的通解?第九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論要使(4.4)成為(4.2)的通解,(4.4)中的c1,c2,,cn須相互獨立.第十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

2.函數(shù)組的線性相關(guān)定義

設(shè)x1(t),x2(t),,xk(t)在[a,b]上有定義.若存在不全為零的常數(shù)c1,c2,,ck,使得恒等式c1x1(t)

c2x2(t)

ckxk(t)

0在[a,b]上成立,則稱x1(t),x2(t),,xk(t)是線性相關(guān)的,否則就稱它們在[a,b]上線性無關(guān).

如何判斷函數(shù)組線性相關(guān)?第十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

設(shè)x1(t),x2(t),,xk(t)為[a,b]上的k

1次可微函數(shù),稱行列式為函數(shù)組x1(t),x2(t),,xk(t)的朗斯基行列式.WronskianWronsky第十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論定理3設(shè)函數(shù)x1(t),x2(t),,xk(t)在[a,b]上k

1次可微.若它們在[a,b]上線性相關(guān),則在[a,b]上有W(t)

0.

注定理3的逆一般不成立,例如第十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論定理4若方程(4.2)的解x1(t),x2(t),,xn(t)在[a,b]上線性無關(guān),則對任意t[a,b],W(t)

0.

證明思路利用反證法構(gòu)造一個微分方程的滿足一定初值條件的解,然后由解的唯一性推得矛盾.第十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論定理5n階齊次線性微分方程(4.2)一定存在n個線性無關(guān)的解.

證明思路利用解的存在唯一性和定理3.

構(gòu)造n組初值得到n個解,而這n個解的朗斯基行列式有非零點,由定理3知這n個解線性無關(guān).第十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

3.齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理6(通解結(jié)構(gòu)定理)如果x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(4.2)的n個線性無關(guān)的解,則方程(4.2)的通解可表為x(t)

c1x1(t)

c2x2(t)

cnxn(t),(4.11)其中c1,c2,,cn是任意常數(shù),且(4.11)包括了(4.2)的所有解.第十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論推論1方程(4.2)的線性無關(guān)解的最大個數(shù)等于n.推論2方程(4.2)的解構(gòu)成一個n維線性空間.定義

方程(4.2)的一組n個線性無關(guān)解稱為其一個基本解組.滿足W(t0)

1的基本解組稱為標(biāo)準基本解組.

注基本解組不唯一.第十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論三、非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法

1.非齊次線性微分方程解的性質(zhì)第十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論性質(zhì)1如果是方程(4.1)的解,x(t)是方程(4.2)的解,則是是方程(4.1)的解.性質(zhì)2方程(4.1)的任意兩個解之差必為(4.2)的解.第十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論定理7設(shè)x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(4.2)的基本解組,而是方程(4.1)的解,則方程(4.1)的其中c1,c2,,cn為任意常數(shù).而且這個通解包括了方程(4.1)的所有解.

注定理7給出了一種求非齊次線性方程通解的方法:求其一個特解和對應(yīng)的齊次線性方程的基本解組.通解可表為第二十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

2.非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法

設(shè)x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(4.2)的基本解組,x

c1x1(t)

c2x2(t)

cnxn(t)(4.15)是(4.2)的通解.把(4.15)中的ci看成t的函數(shù),則有x

c1(t)x1(t)

c2(t)x2(t)

cn(t)xn(t),(4.16)通過確定(4.16)中的ci(t)就可以得到(4.1)的通解.這種求非齊次線性微分方程通解的方法稱為常數(shù)變易法.第二十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

要確定(4.16)中的ci(t)除將其代入方程(4.1)之外還要附加另外的限制條件,其法無窮,為簡便起見,可如下進行.(4.16)兩端對t求導(dǎo):令得第二十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

對(4.18)1重復(fù)上述過程得

繼續(xù)上述過程可得第二十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

將(4.16),(4.18)1,(4.18)2,,(4.18)n代入(4.1)可得

積分得

由(4.17)1,(4.17)2,,(4.17)n可求得第二十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

將其代入(4.16)即得(4.1)的通解

在上式中令i

0(i

1,2,,n)可得(4.1)的解

由此可知,在已知對應(yīng)齊次線性微分方程的基本解組時,非齊次線性微分方程的解可由求積分得到.第二十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論例1求方程應(yīng)的齊次線性微分方程的基本解組為cos

t,sin

t.的通解.已知其對第二十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論例2求方程于域t

0上的所有解.第二十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論作業(yè)P1313(2,5),4,6第二十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2常系數(shù)線性微分方程的解法一、復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解二、常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程三、非齊次線性微分方程比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法四、質(zhì)點振動第二十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法一、復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解

1.復(fù)值函數(shù)概念復(fù)值函數(shù)設(shè)

(t)與

(t)是區(qū)間[a,b]的實函數(shù),稱z(t)

(t)

i

(t)為[a,b]上的復(fù)值函數(shù),其中i為虛數(shù)單位,即i2

1.

復(fù)值函數(shù)的極限如果實函數(shù)

(t)與

(t)都在t0[a,b]存在極限,則稱復(fù)值函數(shù)

z(t)

(t)

i

(t)在t0存在極限,且有第三十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

復(fù)值函數(shù)的連續(xù)對于t0[a,b],如果則稱復(fù)值函數(shù)

z(t)

(t)

i

(t)在t0[a,b]連續(xù).如果z(t)在區(qū)間[a,b]上每一點都連續(xù),則稱z(t)為區(qū)間[a,b]上的連續(xù),也稱z(t)為區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù).第三十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

如果極限存在,就稱z(t)在t0[a,b]有導(dǎo)數(shù)(可微),且記此極限如果z(t)在區(qū)間[a,b]上每一點都有導(dǎo)數(shù),則稱z(t)在區(qū)間[a,b]上有導(dǎo)數(shù).為或者第三十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

容易驗證,復(fù)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)成立下列等式:第三十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

2.復(fù)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

設(shè)

K

i是任一復(fù)數(shù),這里

,是實數(shù),而t是實變量,我們定義

由上述定義易知第三十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

復(fù)指數(shù)函數(shù)有如下性質(zhì):第三十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

3.微分方程的復(fù)值解

定義于區(qū)間[a,b]上的實變量復(fù)值函數(shù)

x

z(t)稱為方程(4.1)的復(fù)值解,倘若在[a,b]上恒成立.第三十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法定理8

如果方程(4.2)中所有系數(shù)ai(t)(i

1,2,,n)都是實值函數(shù),而

x

z(t)

(t)

i

(t)是方程的復(fù)值解,則z(t)的實部

(t)

、虛部

(t)和共軛復(fù)值函數(shù)都是方程(4.2)的解.第三十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法定理9

若方程有復(fù)值解

x

U(t)

iV

(t),這里ai(t)(i

1,2,,n)及u(t),v(t)都是實函數(shù),那么U(t)和V(t)分別是方程的解.第三十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法二、常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程

1.特征方程與特征根

n階常系數(shù)齊次線性微分方程形如其中a1,a2,,an為常數(shù).

可以驗證(4.19)具有形如的解.第三十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

稱方程為(4.19)的特征方程,其根稱為特征根.第四十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

2.基本解組的確定

根據(jù)常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程的特征根的情形來確定其基本解組.

(1)特征根為單根的情形設(shè)1,2,,n為特征方程(4.21)的n個互異根,則相應(yīng)地,方程(4.19)有如下n個線性無關(guān)的解從而構(gòu)成方程(4.19)的基本解組.第四十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法當(dāng)1,2,,n均為實數(shù)時,(4.22)是方程(4.19)的n個線性無關(guān)的實值解,其通解為其中c1,c2,,cn為任意常數(shù).當(dāng)特征方程有復(fù)根

i

時,由于特征方程為實系數(shù)代數(shù)方程,其復(fù)根成對出現(xiàn),因此

i

也是一特征根,這對共軛復(fù)根可對應(yīng)方程(4.19)的兩個實值解第四十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法這樣得到的實值解連同實特征根對應(yīng)的實值解共同構(gòu)成方程(4.19)的基本解組,由此可給出方程(4.19)的通解.第四十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

(2)特征根有重根的情形設(shè)為特征方程(4.21)的k重根,則方程(4.19)有如下k個線性無關(guān)的解設(shè)1,2,,m為特征方程(4.21)的根,其重數(shù)分別為k1,k2,,km,k1

k2

km

n,則方程(4.19)n個線性無關(guān)解第四十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法若1,2,,m均為實數(shù),則(4.26)就是(4.19)的基本解組.若

i

為k重復(fù)特征根,則

i

也是k重復(fù)特征根,這對共軛復(fù)重根可對應(yīng)方程(4.19)的2k個線性無關(guān)解這樣得到的對應(yīng)于復(fù)根的實值解與實根對應(yīng)的解共同構(gòu)成(4.19)的基本解組.第四十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例1求方程的通解.第四十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例2求解方程第四十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例3求方程的通解.第四十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例4求解方程第四十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

3.歐拉方程

形如的方程稱為歐拉方程.這里a1,a2,,an為常數(shù).第五十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

做變量變換則直接計算可得第五十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法一般地,其中1,2,,k1都是常數(shù),于是因此,將其代入方程(4.29)可得其中b1,b2,,bn是常數(shù).第五十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法這樣,就將歐拉方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)齊次線性微分方程,對其求解之后再代回原變量即得歐拉方程的通解.另外,由上述討論易知,歐拉方程具有形如

y

x的解,因此,也可直接求該形式的解.將其代入方程(4.29)易得代數(shù)方程可以證明(4.31)正是(4.30)的特征方程,由此可以根據(jù)特征根給出歐拉方程的基本解組.第五十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

m重實根0對應(yīng)m個實值解,而m重復(fù)根

i

對應(yīng)2m個實值解,第五十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例5求解方程第五十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例6求解方程第五十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法三、非齊次線性微分方程比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法

本段討論常系數(shù)非齊次線性微分方程其中a1,a2,,an為常數(shù).第五十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

1.比較系數(shù)法

類型I

設(shè)其中及b0,b1,,bm為實常數(shù),則方程(4.32)有形如的特解,其中k為特征根的重數(shù)(單根相當(dāng)于k

1;當(dāng)不是特征根時取k

0),而B0,B1,,Bm為待定的常數(shù),可以通過比較系數(shù)確定.第五十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例7求方程的通解.第五十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例8求方程的通解.第六十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例9求方程的通解.第六十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

類型II

設(shè)其中,為常數(shù),而A(t),B(t)為t的實系數(shù)多項式,一個次數(shù)為m,另一個的次數(shù)不超過m,則方程(4.32)有形如的特解,其中k為特征根

i

的重數(shù),而P(t),Q(t)均為待定的t的次數(shù)不超過m的實系數(shù)多項式,可以通過比較系數(shù)確定.第六十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

注當(dāng)時,可用所謂的復(fù)數(shù)法求解.或第六十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

例10求方程的通解.第六十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法第六十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

2.拉普拉斯變換法由積分定義的復(fù)平面(Re

s

)上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù)F(s)稱為函數(shù)

f

(t)的拉普拉斯變換,其中f

(t)對t

0有定義,且滿足不等式這里M,為兩個正常數(shù).我們稱

f

(t)為原函數(shù),而F(s)稱為像函數(shù).第六十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法由像函數(shù)求原函數(shù)稱為拉普拉斯反演.可由如下積分表示在已知像函數(shù)的情況下,一般采用查表的方法求原函數(shù).第六十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法給定微分方程及初始條件其中a1,a2,,an是常數(shù),而

f

(t)連續(xù)且滿足原函數(shù)的條件.由于常系數(shù)微分方程的任何解及其各階導(dǎo)數(shù)都滿足原函數(shù)的條件,設(shè)x(t)為(4.32)的解,記第六十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法由拉普拉斯變換的定義易知第六十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法對方程(4.32)兩端實施拉普拉斯變換可得第七十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法這就是滿足初值條件的解x(t)的像函數(shù),然后直接查拉普拉斯變換表或者有反變換公式計算得到方程(4.32)的滿足初值條件的解.第七十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法例12求方程滿足初值條件x(0)

0的解.第七十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法例13求解方程第七十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法例14求方程滿足初值條件的解.第七十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法例15求解方程其中a,b為非零常數(shù).第七十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法第七十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法四、質(zhì)點振動

1.無阻尼自由振動數(shù)學(xué)擺的無阻尼微小自由振動方程為若記其中

0為常數(shù),則(1.9)變?yōu)榈谄呤唔摚惨话偃?，編輯?023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法其通解為其中c1,c2為常數(shù).若令則有第七十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法從(4.41)可以看出,不論擺的初始狀態(tài)如何,擺的運動總是一個正弦函數(shù),它是t的周期函數(shù).這種運動稱為簡諧振動.振動往返一次所需的時注數(shù)學(xué)擺的周期只依賴于擺長l,而與初值無關(guān).振幅與初相位間稱為周期,記為T,這里動的次數(shù)稱為頻率,記作,這里單位時間內(nèi)振

稱為圓頻率.而第七十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

2.有阻尼自由振動數(shù)學(xué)擺的有阻尼的自由振動方程為記其中n,

為正常數(shù),則(1.10)變?yōu)榈诎耸摚惨话偃?，編輯?023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法其特征方程為

(1)小阻尼的情形:n

,通解為或特征根為這里A,

為任意常數(shù).第八十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

(2)大阻尼的情形:n

,通解為其中c1,c2為常數(shù).第八十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

(3)臨界阻尼的情形:n

,通解為其中c1,c2為常數(shù).第八十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

3.無阻尼強迫振動數(shù)學(xué)擺的微小強迫振動方程為無阻尼振動對應(yīng)

0.若記H為已知常數(shù),p為外力圓頻率,則(1.11)變?yōu)榈诎耸捻?，共一百三十頁，編輯?023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法可以求得(4.48)的通解為如果p

,則(4.48)有通解(4.51)表示,隨著時間的增大,擺的偏離將無限增加,這種現(xiàn)象稱為共振現(xiàn)象.第八十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法

4.有阻尼強迫振動此時擺的運動方程為在小阻尼情形下,即n

,方程(4.52)的通解為第八十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法當(dāng)時有最大振幅這時的圓頻率稱為共振頻率,所產(chǎn)生的現(xiàn)象也叫共振現(xiàn)象.第八十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法作業(yè)P1642(1,4,6,10,12,13,16,18,19),3(2),4(1)第八十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數(shù)線性方程的解法作業(yè)P1667第八十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3高階微分方程的降階

與冪級數(shù)解法一、可降階的一些方程類型二、二階線性微分方程的冪級數(shù)解法三、第二宇宙速度第九十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法一、可降階的一些方程類型

n階微分方程一般可寫為第九十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法

若令

x(k)

y,則可得如下

n

k

階方程

1.方程(不含未知函數(shù)或直到某階導(dǎo)數(shù))

若(4.58)的通解為即第九十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法經(jīng)過

k

次積分之后可得(4.57)的通解其中c1,c2,,cn為任意常數(shù).例1求方程的解.第九十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法

若令

x'

y,以它為新未知函數(shù),而視x為新自變量,則方程就可降低一階.

2.方程(不顯含自變量)第九十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法例2求解方程第九十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法例3求數(shù)學(xué)擺的運動方程的滿足初值條件:當(dāng)t

0時,

0

0,的解.第九十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法第九十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法

可以證明:已知(4.2)的k個線性無關(guān)解,則可通過一系列同類型的變換,將方程(4.2)降低k階.設(shè)

x1,x2,,xk為(4.2)的k個線性無關(guān)解,則

3.齊次線性微分方程第九十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法

令

x

xk

y,則將這些關(guān)系式代入(4.2)并注意到xk

是(4.2)的解,同時令

z

y',則有這樣就得到一個比(4.2)低一階的微分方程.第九十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法第一百頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法

方程(4.2)與(4.67)的解之間的關(guān)系:重復(fù)上述過程可得比(4.67)低一階的齊次線性方程,其與(4.67)的關(guān)系與(4.2)與(4.67)的關(guān)系相同.那么,通過這樣一系列的變換可得一比(4.2)低k階的齊次線性方程,通過對新的方程的求解,并利用相應(yīng)的變換就可得到(4.2)的解.

(1)是(4.67)的解;

(2)z1,z2,,zn1線性無關(guān).第一百零一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法若令

x

x1

0是其解,則通過變換

對于二階齊次線性方程方程(4.69)化為此為一階線性微分方程,其解為第一百零二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法從而可得(4.69)的通解為其中c,c1為任意常數(shù).第一百零三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法例4已知的解,試求方程的通解.是方程第一百零四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法二、二階線性微分方程的冪級數(shù)解法

1.兩個例子

例5求方程的通解.

解題思路先設(shè)某級數(shù)為方程的解,代入方程之后可以確定級數(shù)的系數(shù)(確定系數(shù)的方法是比較系數(shù)),若確定的級數(shù)收斂,則得到方程的解.第一百零五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法第一百零六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法第一百零七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法第一百零八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法

例6求方程的滿足初值條件

y(0)

0與

y'(0)

0的解.第一百零九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法第一百一十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法第一百一十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法第一百一十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法

2.二階齊次線性方程有級數(shù)解的條件

考慮二階齊次線性微分方程滿足初值條件

y(x0)

y0與

y'(x0)

y'0的情形.

不妨假設(shè)

x0

0.第一百一十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法定理10若方程(4.72)中的系數(shù)

p(x),q(x)都能展成

x的冪級數(shù),且收斂區(qū)間為|x|

R,則方程(4.72)有形如的特解,且也以|x|

R為收斂區(qū)間.第一百一十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法定理11若方程(4.72)中的系數(shù)

p(x),q(x)具有性質(zhì):x

p(x)和x2q(x)均能展成

x的冪級數(shù),且收斂區(qū)間為|x|

R,則方程(4.72)有形如即的特解,是一個待定的常數(shù).級數(shù)(4.75)也以|x|

R為收斂區(qū)間.第一百一十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數(shù)解法方程滿足定理11的條件,因此具有(4.75)形式的特解.方程(4.74)稱為n階貝塞爾方程.對于且

n時(4.74)的解Jn(x)稱為n階貝塞爾函數(shù),而