平穩(wěn)過(guò)程重修班

平穩(wěn)過(guò)程重修班第一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.1平穩(wěn)過(guò)程的概念

11.1.1嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其數(shù)字特征

11.1.2寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程第二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.1平穩(wěn)過(guò)程的概念

在實(shí)際中,有相當(dāng)多的隨機(jī)過(guò)程,不僅它現(xiàn)在的狀態(tài),而且它過(guò)去的狀態(tài),都對(duì)未來(lái)狀態(tài)的發(fā)生有著很強(qiáng)的影響.如果過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化,則稱之為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述即為：11.1.1嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程及其數(shù)字特征第三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.1.1嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的概念及數(shù)字特征第四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日嚴(yán)平穩(wěn)的含義：過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，整個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間的推移而變化。平穩(wěn)過(guò)程的參數(shù)集T,一般為:第五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日下面來(lái)考慮嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征即均值函數(shù)，均方值函數(shù)和方差函數(shù)為常數(shù)。

第六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是下面考慮平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)第七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)及協(xié)方差函數(shù)只依賴于參數(shù)間距

而與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。協(xié)方差函數(shù)可以表示為第八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

平穩(wěn)過(guò)程數(shù)字特征的特點(diǎn):(即不隨時(shí)間的推移而變化)。(3)協(xié)方差函數(shù)可以表示為第九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日僅依賴，而與t無(wú)關(guān)；11.1.2寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程第十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例11.1設(shè){Xn,n=0,±1,±2,…}是實(shí)的互不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，且E(Xn)=0,D(Xn)=2.討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。解由于E(Xn)=0,D(Xn)=2，而相關(guān)函數(shù)其中為整數(shù)，隨機(jī)序列的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，因此它是平穩(wěn)過(guò)程。第十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明

由于其密度函數(shù)為：（常數(shù)）第十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例11.3解X(t)的均值函數(shù)為第十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日而自相關(guān)函數(shù)第十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日因?yàn)镽X()僅與有關(guān)，所以隨機(jī)相位周期過(guò)程是平穩(wěn)的。特別,隨機(jī)相位正弦波是平穩(wěn)的。第十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日假設(shè)X(t)和Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)過(guò)程,RX(),RY()和RXY()分別是它們的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。

即平穩(wěn)過(guò)程的均方值可以由自相關(guān)函數(shù)，令0得到，后面我們將指出RX(0)代表了平穩(wěn)過(guò)程的“平均功率”。自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)11.2平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)第十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日這是因?yàn)橄嚓P(guān)函數(shù)具有對(duì)稱性。

依據(jù)這個(gè)性質(zhì)，在實(shí)際問(wèn)題中只需計(jì)算或測(cè)量RX(),RY()，RXY()和RYX()在

0的值。。注意互相關(guān)函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),但滿足第十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日性質(zhì)3關(guān)于自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)有不等式

對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程X(t)，有代入上述不等式得：第十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日類似的,可推得以下有關(guān)互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)的不等式或?qū)f(xié)方差函數(shù)，不難得到相同的結(jié)論：第二十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日性質(zhì)4

設(shè)平穩(wěn)過(guò)程X(t)，若當(dāng)||時(shí)，過(guò)程的狀態(tài)X(t)與X(t)相互獨(dú)立，則有：

這是因?yàn)椋簭奈锢硪饬x上說(shuō)，當(dāng)增大時(shí)X(t)與X(t+)之間相關(guān)性會(huì)減弱，在||的極限情況下，兩者相互獨(dú)立。第二十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

這一性質(zhì)很有趣，對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)RX()

，只要知道在

0處連續(xù)，就可以得出對(duì)任意處都連續(xù)，這對(duì)于一般連續(xù)函數(shù)是不具備這樣的性質(zhì)的。第二十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解

由性質(zhì)6得：例11.4

已知平穩(wěn)過(guò)程X(t)，當(dāng)

的絕對(duì)值充分大時(shí)，過(guò)程的狀態(tài)X(t)與X(t+)相互獨(dú)立，其相關(guān)函數(shù)為：求X(t)的均值。第二十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明利用契比雪夫不等式有例11.5對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程X(t)，有第二十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.3各態(tài)歷經(jīng)性

11.3.1時(shí)間平均的概念11.3.2平穩(wěn)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)的定義11.3.3平穩(wěn)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)性的條件第二十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.3.1時(shí)間平均的概念1、積分

說(shuō)明對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)來(lái)說(shuō),[a,b]上的積分未必全都存在。第二十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日在某些情形下，對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)來(lái)說(shuō)，在[a,b]上的積分未必全都存在，此時(shí)可引入所謂均方意義下的積分，即考慮[a,b]內(nèi)的一組分點(diǎn)：我們就稱

Y為[a,b]上的均方積分。2、均方積分第二十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日自相關(guān)函數(shù)的二重積分第二十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日3、時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)第二十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例11.6

解第三十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日結(jié)論對(duì)于隨機(jī)相位正弦波,用時(shí)間平均和集平均（均值函數(shù)）分別算得的均值和自相關(guān)函數(shù)是相等的。這一特性并不是隨機(jī)相位正弦波所獨(dú)有的。第三十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.3.2各態(tài)歷經(jīng)性的概念

第三十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例11.7設(shè)平穩(wěn)過(guò)程X(t)=Y，其中Y是隨機(jī)變量，D(Y)0研究它的各態(tài)歷經(jīng)性。解

E(X(t))=E(Y)=常數(shù)于是不是常數(shù)所以均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性。第三十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明（常數(shù)）第三十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.3.3各態(tài)歷經(jīng)性的條件定理11.3(均值各態(tài)歷經(jīng)定理)第三十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日推論第三十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理11.2(自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)定理)說(shuō)明第四十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理11.3以概率1成立的充要條件是定理11.4以概率1成立的充要條件是第四十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日各態(tài)歷經(jīng)定理的重要價(jià)值從理論上給出了如下保證:一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程X(t),只要它滿足定理11.3和定理11.4,便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義,從一次試驗(yàn)所得到的樣本函數(shù)x(t)來(lái)確定出該過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù),即和說(shuō)明1第四十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日說(shuō)明2如果試驗(yàn)記錄x(t)只在時(shí)間區(qū)間[0,T]給出,則有下以無(wú)偏估計(jì)式在實(shí)際中一般不可能給出x(t)表達(dá)式,因而通常通過(guò)模擬方法或數(shù)字方法來(lái)測(cè)量或計(jì)算估計(jì)式的值。第四十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度11.4.1平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度概念

11.4.2功率譜密度的性質(zhì)11.4.3白噪聲過(guò)程第四十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.4功率譜密度的概念11.4.1確定性信號(hào)函數(shù)的功率譜密度同時(shí)有傅立葉逆變換第四十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日一般是復(fù)數(shù)量,其共軛函數(shù)x(t)的傅立葉變換等式:稱為x(t)的能量譜密度帕塞伐等式又可理解為總能量的譜表示式。第四十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.4.2隨機(jī)信號(hào)過(guò)程的功率譜密度第四十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

11.4.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的平均功率與功率譜密度第四十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日它是從頻率這個(gè)角度描述X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最主要的數(shù)字特征。第四十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日交換積分與均值的運(yùn)算次序，注意到平穩(wěn)過(guò)程的均方值函數(shù)是常數(shù)，于是稱為平穩(wěn)過(guò)程X(t)的平均功率的譜表示式。第五十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日4、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)功率譜密度的性質(zhì)(2)SX()和自相關(guān)函數(shù)RX()是一傅立葉變換對(duì)。維納—辛欽公式第五十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日1234567自相關(guān)函數(shù)與譜密度對(duì)應(yīng)表第五十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解

00第五十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解

由前面例可知，此隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程，且相關(guān)函數(shù)為：于是得X(t)的平均功率為：第五十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例11.11解

由公式知自相關(guān)函數(shù)利用留數(shù)定理,可算得第五十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日均方值為第五十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日11.4.3白噪聲定義11.4均X(t)值為零,而譜密度SX()為正常數(shù),即的平穩(wěn)過(guò)程X(t)稱為白噪聲過(guò)程,簡(jiǎn)稱白噪聲。其名出于白光具有均勻光譜的緣故。下面討論

白噪聲的自相關(guān)函數(shù)，為此需要定義-函數(shù)第五十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日具有下列性質(zhì)的函數(shù)稱為

函數(shù)

函數(shù)有一個(gè)非常重要的運(yùn)算性質(zhì)，即對(duì)任何連續(xù)函數(shù)f(x),有：——篩選性所以函數(shù)的傅立葉變換為：第五十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

由傅立葉反變換，可得函數(shù)的傅立葉積分表達(dá)式為：或這說(shuō)明()函數(shù)與1構(gòu)成一傅立葉變換對(duì)。0110第五十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日說(shuō)明1與2()構(gòu)成一傅立葉變換對(duì)。即100同理可得：或相應(yīng)地有：第六十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解

由于1與2()構(gòu)成一傅立葉變換對(duì)。第六十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日00第六十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解

第六十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

這說(shuō)