補(bǔ)上一課與均值方差有關(guān)的比較大小增減分析及最值問(wèn)題

與均值、方差有關(guān)的比較大小、增減分析及最值(范圍)問(wèn)題關(guān)于隨機(jī)變量的均值與方差，近幾年均以選擇題的形式考查，除考查均值、方差的直接計(jì)算，還經(jīng)常從下列幾個(gè)角度進(jìn)行考查：(1)均值、方差及概率的大小比較；(2)均值、方差的增減性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范圍.知識(shí)拓展題型一隨機(jī)變量的均值、方差比較大小【例1】(1)(2020·溫州適應(yīng)性測(cè)試)盒中有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取i(i＝1，2)個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后再放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)為Xi(i＝1，2).則(

) A.P(X1＝3)＞P(X2＝3)，E(X1)＞E(X2) B.P(X1＝3)＜P(X2＝3)，E(X1)＞E(X2) C.P(X1＝3)＞P(X2＝3)，E(X1)＜E(X2) D.P(X1＝3)＜P(X2＝3)，E(X1)＜E(X2)題型突破(2)由題設(shè)可知E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，從而E(ξ1)＜E(ξ2)，而D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，所以D(ξ1)－D(ξ2)＝(p1－p2)(1－p1－p2)＜0，即D(ξ1)＜D(ξ2).答案

(1)C

(2)A規(guī)律方法

(1)求值比較；(2)用比差法.【訓(xùn)練1】(1)(2020·紹興適應(yīng)性考試)一個(gè)袋中有m個(gè)紅球，n個(gè)白球，p個(gè)黑球(1≤m＜n≤5，p≥4)，從中任取1個(gè)球(每球取到的機(jī)會(huì)均等)，設(shè)ξ1表示取出的紅球個(gè)數(shù)，ξ2表示取出的白球個(gè)數(shù)，則(

) A.E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)

B.E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) C.E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)

D.E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) (2)(2020·嵊州適考)已知隨機(jī)變量ξi的分布列如下：ξi012P(1－pi)22pi(1－pi)p解析

(1)由題意得ξ1，ξ2的分布列分別為答案(1)D

(2)A題型二隨機(jī)變量均值、方差的增減分析【例2】(1)(2019·浙江卷)設(shè)0<a<1，隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在(0，1)內(nèi)增大時(shí)(

)A.D(X)增大

B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小

D.D(X)先減小后增大故當(dāng)a在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，D(X)先減小后增大.故選D.答案(1)D

(2)C規(guī)律方法常利用二次函數(shù)進(jìn)行增減分析.【訓(xùn)練2】(1)(2018·浙江卷)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列是則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，(

)A.D(ξ)減小

B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大

D.D(ξ)先增大后減小答案(1)D

(2)B題型三隨機(jī)變量均值、方差的最值【例3】(1)(2020·七彩陽(yáng)光聯(lián)盟三聯(lián))隨