常微分方程 數(shù)值解法

常微分方程數(shù)值解法第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日對于一個常微分方程：通常會有無窮個解。如：因此，我們要加入一個限定條件。通常會在端點出給出，如下面的初值問題：為了使解存在唯一，一般，要加限制條件在f上，要求f對y滿足Lipschitz條件：第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日常微分方程的解是一個函數(shù)，但是，計算機沒有辦法對函數(shù)進行運算。因此，常微分方程的數(shù)值解并不是求函數(shù)的近似，而是求解函數(shù)在某些節(jié)點的近似值。例：我們對區(qū)間做等距分割：設解函數(shù)在節(jié)點的近似為由數(shù)值微分公式，我們有，則：向前差商公式可以看到，給出初值，就可以用上式求出所有的第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日基本步驟如下：③解差分方程，求出格點函數(shù)①對區(qū)間作分割：求在上的近似值。稱為分割上的格點函數(shù)②由微分方程出發(fā)，建立求格點函數(shù)的差分方程。這個方程應該滿足：A、解存在唯一；B、穩(wěn)定，收斂；C、相容數(shù)值方法，主要研究步驟②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性質。這種方法，稱為數(shù)值離散方法。求的是在一系列離散點列上，求未知函數(shù)y在這些點上的值的近似。我們的目的，就是求這個格點函數(shù)第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實用價值，需要知道如下幾個結論：①步長充分小時，所得到的數(shù)值解能否逼近問題得真解；即收斂性問題②誤差估計③產生得舍入誤差，在以后得各步計算中，是否會無限制擴大；穩(wěn)定性問題第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日8.1Euler公式做等距分割，利用數(shù)值微分代替導數(shù)項，建立差分方程。1、向前差商公式所以，可以構造差分方程稱為局部截斷誤差。顯然，這個誤差在逐步計算過程中會傳播，積累。因此還要估計這種積累第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日定義在假設yi=y(xi)，即第i步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。記為2、收斂性考察局部誤差的傳播和積累第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日稱為整體截斷誤差是1階方法第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日3、穩(wěn)定性－誤差在以后各步的計算中不會無限制擴大。是格式對舍入誤差的抑止作用我們考慮一種簡單情況，即僅初值有誤差，而其他計算步驟無誤差。設是初值有誤差后的計算值，則所以，我們有：可以看出，向前差商公式關于初值是穩(wěn)定的。當初始誤差充分小，以后各步的誤差也充分小第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日4、向后差商公式是隱格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日5、中心差商公式是多步，2階格式，該格式不穩(wěn)定6、梯形法－基于數(shù)值積分的公式對微分方程做積分，則：第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日類似，可以算出其誤差估計式：2階的方法所以，有格式為：是個隱式的方法，要用迭代法求解局部截斷誤差第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日8.2Runge－Kutta法由Taylor展開記為所以，可以構造格式這種格式使用到了各階偏導數(shù)，使用不便。第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日從另一個角度看，取(x,y)及其附近的點做線性組合，表示F，問題就好辦了。當然，要求此時的展開精度相同。這種方法稱為Runge－Kutta法第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日在(x,y)處展開，比較以2階為例，設第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日有：1、改進的Euler公式2、Heun公式第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日一般的Runge－Kutta法構造常見的為3階，4階公式第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日8.3線性多步法用若干節(jié)點處的y及y’值的線性組合來近似y(xn+1)。)...(...110111101knknnnknknnnffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可寫為：當10時，為隱式公式;1=0則為顯式公式。第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日

基于數(shù)值積分的構造法將在上積分，得到只要近似地算出右邊的積分，則可通過近似y(xn+1)。而選用不同近似式Ik，可得到不同的計算公式。第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日若積分用節(jié)點作為積分點，則有積分系數(shù)這是顯格式，q+1階r+1步格式。r=max{p,q}為積分節(jié)點，可以構造r+1步q+1階隱格式局部截斷誤差同樣，若以第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例：建立p=1,q=2的顯格式p=1，q=2，顯格式，積分區(qū)間為積分節(jié)點為所以第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例：建立p=2,q=2的隱格式p=2，q=2，隱格式，積分區(qū)間為積分節(jié)點為所以第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日它的截斷誤差較顯格式小，通常也具有更好的穩(wěn)定性。Adams公式－－p=0時候的多步法參見書第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日§8.4方程組和高階方程的數(shù)值解法寫成向量的形式：第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日各種方法都可以直接運用過來。Euler公式以兩個方程的方程組為例第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日Runge-Kutta公式第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日1、2、確定方法，然后求解（0.202760.0881157）（0.2130070.0934037）（0.2237630.0988499）（0.2350520.104437）（0.2469020.110146）4階Runge-Kutta法，h=1第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日高階方程第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日則有：令第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例：考察初值問題在區(qū)間[0,0.5]上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進的歐拉格式計算數(shù)值解。0.00.10.20.30.40.5精確解改進歐拉法

歐拉隱式歐拉顯式

節(jié)點xi

1.00002.00004.00008.00001.6000101

3.2000101

1.00002.5000101

6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107Whatiswrong??!第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日§8.5差分方程的絕對穩(wěn)定性對于一般的差分方程由初始誤差產生了差分解的誤差，實際上是同一差分方程，取不同初值所得到的2組差分解之間的差。這個差不僅于差分方程本身有關，而且與微分方程本身有關。如果微分方程本身是不穩(wěn)定，那就沒理由要求這2組解充分接近。因此，差分方程的穩(wěn)定性概念是建立在微分方程穩(wěn)定的基礎上的。把這個典型微分方程規(guī)定為：仍然考慮最簡單的模型，即只有初值產生誤差，看看這個誤差的傳播。第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日差分方程運用到如上的微分方程后，可以得到對于給定的初始誤差，誤差方程具有一樣的形式第三十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日定義：差分方程稱為絕對穩(wěn)定的，若差分方程作用到微分方程時，對任意的初值，總存在左半復平面上的一個區(qū)域，當在這個區(qū)域時，差分方程的解趨于0。這個區(qū)域稱為穩(wěn)定區(qū)域例：向后Euler公式的穩(wěn)定性誤差方程：210ReImg第三十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，