第2章 2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)人教B版(2021)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊講義

PAGEPAGE10學(xué)習(xí)目標(biāo)

橢圓的幾何性質(zhì)

核心素養(yǎng)根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形．2．根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利點、難點)

通過橢圓幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．焦點的位置x焦點的位置x軸上y軸上標(biāo)準方程a2 b2x2＋y2＝1(a＞b＞0)a2 b2y2＋x2＝1(a＞b＞0)圖形對稱性xy軸，對稱中心(0,0)范圍y∈[－b，b]y∈[－a，a]頂點B2(0，b)軸長B1(－b,0)，B2(b,0)短軸|B1B2|＝2b，長軸|A1A2|＝2a焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距焦距|F1F2|＝2c離心率e＝c(0＜e＜1)a[提示] 最大距離：a＋c；最小距離：a－c．[提示] 在方程x2＋y2＝1(a＞b＞0)中的幾何意義如圖所示即a，a2 b2b，c正好構(gòu)成了一個以對稱中心，一個焦點、一個短軸頂點構(gòu)成的直角三角形．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)橢圓x2＋y2＝1(a＞b＞0)的長軸長等于a． ( )a2 b2橢圓上的點到焦點的距離的最小值a－c． ( )橢圓上的離心率e越小，橢圓越圓． ( [答案] (1)×(2)√ (3)√[提示] (1)×橢圓x2＋y2＝1(a＞b＞0)的長軸長等于2a．a(chǎn)2 b2√ a＋ca－c．a(chǎn)√ e＝c越小，cba，橢圓就越圓．a(chǎn)橢圓6x2＋y2＝6的長軸端點坐標(biāo)為( )A．(－1,0)，(1,0) C．(－6，0)，( 6，0) D．(0，－6)，(0，6)6D[x2＋y2＝1焦點在y軸上，長軸端點坐標(biāo)為(0，－6)，(0，6)．]3．橢圓x2＋4y2＝4的離心率為( )6A．3

B．3

C．2 D 22 4 2 ．34A[化橢圓方程為標(biāo)準形式得4a

32．]4 x2 y2．橢圓9＋16＝1的焦點坐標(biāo)是 ，頂點坐標(biāo)是 ．(0，± 7) (±3,0)，(0，±4) [由方程x2y2＝1ya2＝

9 16因此焦點坐標(biāo)為(0，± 7)，頂點坐標(biāo)為(±3,0)，(0，±4)．]橢圓的幾何性質(zhì)【例1】 求橢圓16x2＋25y2＝400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和點的坐標(biāo)．橢圓的幾何性質(zhì)[思路探究] 化為標(biāo)準方程，確定焦點位置及a，b，c的值，再研究相應(yīng)的幾何性質(zhì)．[解] 把已知方程化成標(biāo)準方程可知所以因52 42此，橢圓的長軸和短軸的長分別是2a＝10和2b＝8，離心率e＝c＝3，兩個焦點a 51 2 1 2 分別是F(－3,0)和F(3,0)，橢圓的四個頂點是A(－5,0)，A(5,0)，B(0，－1 2 1 2 2和B(0,4)．2定焦點的位置，進而確定橢圓的類型．a(chǎn)ba2＝b2＋c2求出焦點坐標(biāo)，再寫出頂點坐標(biāo)．提醒：長軸長、短軸長、焦距不是a，b，c，而應(yīng)是a，b，c的兩倍．[跟進訓(xùn)練]求橢圓4x2＋9y2＝36的長軸長和焦距、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率[解] 將橢圓方程變形x2＋y2＝1，[跟進訓(xùn)練]9 4∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝5．∴橢圓的長軸長和焦距分別為2a＝6,2c＝2 5，焦點坐標(biāo)為F1(－5，0)，a3F2( 5，0)，a3頂點坐標(biāo)為A1

(0，－2)，B2

(0,2)，離心率e＝c＝5利用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準方程【例2】 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準方程：利用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準方程54x2＋9y2＝365；2倍，且過點(2，－4)．[解] (1)將方程4x2＋9y2＝36化為x2＋y2＝1，9 4可得橢圓焦距為2c＝2 5．又因為離心率e＝5，5即5＝5

5，所以a＝5，從而b2＝a2－c2＝25－5＝20．a(chǎn)若橢圓焦點在x軸上，則其標(biāo)準方程為x2＋y2＝1；25 20若橢圓焦點在y軸上，則其標(biāo)準方程為y2＋x2＝1．25 20(2)依題意2a＝2×2b，即a＝2b．若橢圓焦點在x軸上，設(shè)其方程為x2＋y2＝1(a＞b＞0)，a2 b2a＝2b，則有4 16

解得a2＝68，＋ ＝1. b2＝17，a2 b2所以標(biāo)準方程為x2＋y2＝1．68 17若橢圓焦點在y軸上，設(shè)其方程為y2＋x2＝1(a＞b＞0)，a＝2b，則有16 4

a2 b2解得a2＝32， ＋ ＝1， b2＝8.a2 b2所以標(biāo)準方程為x2＋y2＝1．8 32利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準方程的基本步驟及注意事項1用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準方程通常采用的方法是待定系數(shù)法.2根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準方程的思路是“選標(biāo)準，定參數(shù)”，即先明確焦點的位置或分類討論.一般步驟是：①求出a2，b2的值；②確定焦點所在的坐標(biāo)軸；③寫出標(biāo)準方程.3a2b2組a2＝b2＋c2，＝e c等構(gòu)造方程組加以求解a＝提醒：解答本例時容易忽視焦點的位置而漏解.[跟進訓(xùn)練][跟進訓(xùn)練]求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準方程：

4，離心率是5；在x軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為[解] (1)設(shè)橢圓的方程為x2＋y2＝1(a＞b＞0)或y2＋x2＝1(a＞b＞0)．a(chǎn)2 b2 a2 b2由已知得2a＝10，a＝5，e＝c＝4，∴c＝4．a(chǎn) 5∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．∴橢圓方程為x2＋y2＝1或x2＋y2＝1．25 9 9 25(2)依題意可設(shè)橢圓方程為x2＋y2＝1(a＞b＞0)．a(chǎn)2 b21 2 1 如圖所示，△A為一等腰直角三角形，OFAA的中線高)，1 2 1 1 且OF＝，AA＝2b,2＝61 ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的方程為x2＋y2＝1．18 9求橢圓的離心率[探究問題]求橢圓的離心率a[提示] 根據(jù)e＝c，a2－b2＝c2，可知要求e，關(guān)鍵是找出的等量關(guān)a系．[提示]【例3】 已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直交橢圓于A，B兩點，若△ABF2是正三角形，求該橢圓的離心率．[思路探究] 由題設(shè)求得A、B點坐標(biāo)，根據(jù)△ABF2是正三角形得出a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率．[解] 焦點坐標(biāo)為

(c,0)．a(chǎn)2 b2 1 2A點坐標(biāo)為－，b， aB點坐標(biāo)為－，－b，a．∴|AB|＝2b2a．

a由△ABF2

3 2b2，2×a，即3b2＝2ac，又∵b2＝a2－c2，∴3a2－3c2－2ac＝0，a2得3c＋2c－3＝0，．解得e＝c＝3．a(chǎn) 3

a a[解] 焦點坐標(biāo)為

(c,0)，a2 b2 1 2設(shè)A點坐標(biāo)為(0，y0)(y0＞0)，B點坐標(biāo)為－c，， 2 2∵B點在橢圓上，c2 y2∴ ＋0＝1，4a2 4b2解得y2＝4b2－b2c2，0 a2b2c2由△AF1F2為正三角形得4b2－a2＝3c2，c4－8a2c2＋4a4＝0，a4e＝3－1．2．(變換條件)“若△ABF2是正三角形”換成“橢圓的焦點在x軸上，且A2點的縱坐標(biāo)等于短半軸長的3”，求橢圓的離心率．[解]

(c,0)，a2 b2 1 2－，2在橢圓上，．∴c2＋4＝1，解得e＝5．a(chǎn)2 9 3求橢圓離心率的方法aace＝ce＝a

1－b2求解．a(chǎn)2acac的齊次等式關(guān)系，然后整理成c的形式，并將其視為整體，就變成了關(guān)于離心率e的方程，進而求a解．a(chǎn)、b．利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準方程通常采用待定系數(shù)法．e時，注意方程思想的運用．1 x2 y2．橢圓9＋16＝1的離心率( )A．A．41641 14C．3 D．4A [a2＝16，b2＝9，c2＝7e＝c＝a

74．]若中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的長軸長為18，且兩個焦點恰好長軸三等分，則此橢圓的方程是( )A x2 y2

x2 y2．81＋72＝1x2 y2C．81＋45＝1

B．81＋9＝1D． 1x2 D． 181＋36＝A [由已知得a＝9,2c＝1 2a，∴c＝1a＝3，b2＝a2－c2＝72．3× 3又焦點在x軸上，∴橢圓方程為x2＋y2＝1．]81 72橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值( )A 1．21C．4

B．2D．41C [x2＋my2＝1的標(biāo)準形式為：x2＋y2＝1．1my2倍，所以1＝4m＝1m 4．]5若一個橢圓長軸的長度，短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的心率是 ．53 [2a＋2c＝2(2b)a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝3或e＝－1(舍去)．]55 x2 y2．已知橢圓的標(biāo)準方程為49＝1．(1)求橢圓的長軸長和短軸長；