遼寧省大連市第一〇八高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

遼寧省大連市第一〇八高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.(

)A．

B.

C.

D.視的值而定

參考答案：A略2.已知上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（

）

A．

B．

C．（0，1）

D．參考答案：A3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，若為銳角三角形，則一定成立的是A． B．C． D．參考答案：A略4.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)在(－∞,0)上是減函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得，距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較小，可得選項.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，所以可知距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較?。?，且，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).5.已知函數(shù)，，若，則（

）A.1

B.2

C.3

D.-1參考答案：A所以選A。

6.小明每天上學(xué)都需要經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口．已知十字路口的交通信號燈綠燈亮的時間為40秒，黃燈5秒，紅燈45秒．如果小明每天到路口的時間是隨機(jī)的，則小明上學(xué)時到十字路口需要等待的時間不少于20秒的概率是A．

B．

C．

D．參考答案：D7.設(shè)復(fù)數(shù)z=（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】直接化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式，即可確定復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限．【解答】解：因?yàn)?=，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（），所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選D．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計算能力．8.定義域?yàn)榈乃膫€函數(shù),,,中,奇函數(shù)的個數(shù)是(

)A.

B．

C．

D．參考答案：C考查基本初等函數(shù)和奇函數(shù)的概念,是奇函數(shù)的為與,故選C．9.已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，是數(shù)列{}的前n項和，，則的值為A、－B、C、D、參考答案：D10.已知，則|z|=（）A．1 B．3 C．5 D．7參考答案：A【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的模的計算公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：|z|===1．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個總體中有100個個體，隨機(jī)編號0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同，若m=6，則在第7組中抽取的號碼是

.參考答案：答案：6312.當(dāng)時，4x＜logax，則a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法．【分析】若當(dāng)時，不等式4x＜logax恒成立，則在時，y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方，在同一坐標(biāo)系中，分析畫出指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，分析可得答案．【解答】解：當(dāng)時，函數(shù)y=4x的圖象如下圖所示若不等式4x＜logax恒成立，則y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方（如圖中虛線所示）∵y=logax的圖象與y=4x的圖象交于（，2）點(diǎn)時，a=故虛線所示的y=logax的圖象對應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足＜a＜1故答案為：（，1）13.已知為的外心，,若(,為實(shí)數(shù))，則的最小值為

．參考答案：214.當(dāng)時，不等式恒成立，則的最大值是

．參考答案：615.函數(shù)的最小正周期為__________．參考答案：略16.若數(shù)列中，，其前n項的和是，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線在y軸上的截距為

。參考答案：-917.若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，延長交拋物線于，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則=

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時刻x(時)的關(guān)系為f(x)＝＋2a＋，x∈[0,24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈，若用每天f(x)的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M(a)．(1)令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范圍；(2)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？參考答案：略19.（本小題滿分12分）交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)T.其范圍為[0，10],分別有五個級別：T暢通；基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時段，從貴陽市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(I)在這20個路段中，輕度擁堵、中度擁堵的路段各有多少個？(II)從這20個路段中隨機(jī)抽出3個路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望.參考答案：【知識點(diǎn)】直方圖；離散形隨機(jī)變量的分布列及期望.K6,K8【答案解析】解析：(I)由直方圖得：輕度擁堵的路段個數(shù)是個，中度擁堵的路段個數(shù)是(II)X的可能取值為0，1，2，3，所以X的分布列為【思路點(diǎn)撥】由直方圖可找出各種情況數(shù)據(jù)，再根據(jù)條件求出分布列與期望.20.(本題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、．設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱．（1）求橢圓E的離心率；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若圓的面積為，求圓的方程．參考答案：（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c>0），因?yàn)橹本€的傾斜角的正弦值為，所以，于是，即，所以橢圓E的離心率

（2）由可設(shè)，，則，于是的方程為：，故的中點(diǎn)到的距離，

又以為直徑的圓的半徑，即有，所以直線與圓相切．

（3）由圓的面積為知圓半徑為1，從而，

設(shè)的中點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，則

解得．所以，圓的方程為．21.某工廠為提高生產(chǎn)效益，決定對一條生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造，該生產(chǎn)線升級改造后的生產(chǎn)效益萬元與升級改造的投入萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系：（其中m為常數(shù)）若升級改造投入20萬元，可得到生產(chǎn)效益為35.7萬元.試求該生產(chǎn)線升級改造后獲得的最大利潤.（利潤=生產(chǎn)效益投入）（參考數(shù)據(jù)：）

參考答案：24.4萬元

由題意可得，35.7=mln20-4+×20+ln10，

解得，m=-1，則y=-lnx-x2+x+ln10，（x＞10）

設(shè)利潤為f（x）=y-x=-lnx-x2+x+ln10-x=-lnx-x2+x+ln10，（x＞10）

易得，f′（x）=--+=，又∵x＞10，∴當(dāng)10＜x＜50時，f′（x）＜0，

當(dāng)x＞50時，f′（x）＞0，則x=50時，函數(shù)f（x）有最大值，

即f（50）=-ln50-×（50）2+×50+ln10=24.4（萬元）

答：該生產(chǎn)線升級改造后獲得的最大利潤為24.4萬元．

略22.本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，，且（為正整數(shù)）（Ⅰ）求出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若對任意正整數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.參考答案：解：（1），①當(dāng)時，.

②

由①-②，得.

.