期盼數(shù)學教學氣象萬千

期盼數(shù)學教學氣象萬千第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日近年來，我國數(shù)學教學發(fā)生了巨大變化，有了長足的發(fā)展，同時我國數(shù)學教學還應在改革與反思中前行。為使數(shù)學教學“一路走好”，我覺得還應在文化、智慧、活力、美感、互動、方法、趣味、藝術(shù)、創(chuàng)新、研究等方面深化優(yōu)化，期盼數(shù)學教學“氣”象萬千。第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1．“大氣”一些——有文化

數(shù)學教學，總的說來“大氣不足”。這固然與現(xiàn)行的考試制度有關(guān)，但也和數(shù)學教師的教學觀念、知識積累、能力水平、文化素養(yǎng)有關(guān)。即便是為了升學，我們的數(shù)學課也完全可以上得大氣一些。

第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

“小氣”的表現(xiàn)是多方面的。如，數(shù)學概念教學的“掐頭去尾燒（魚）中段”的干焦面孔，而忽略了對數(shù)學知識的火熱的思考；鉆數(shù)學解題教學的“特技特法”，而忽略了數(shù)學解題教學的“通性通法”；以高考中考不考為由，扼殺學生對數(shù)學知識和數(shù)學問題適當延伸的渴望；不重視“選學內(nèi)容”，甚至視“選學內(nèi)容”為“不學內(nèi)容”等等。第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日案例1：第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日有學生問:第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日案例2：某數(shù)學教師上“復數(shù)”最后一課，書上有“小體字”的選讀內(nèi)容，講復數(shù)的指數(shù)形式等。我聽課時，以為老師會有“最美等式”的生動故事，沒想到老師卻說：“大家功課緊，選讀內(nèi)容就不讀了吧，可預習‘小體字’之后的解析幾何內(nèi)容?！钡谄唔?，共六十九頁，編輯于2023年，星期日我當時的反應是：“老師啊，你不能這么‘小氣’，沒文化??！”

“”是傳播“數(shù)學文化”的很好案例，也是激發(fā)學生喜愛數(shù)學的極好案例，如此“失之交臂”實在可惜！第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日我還讓學生欣賞我為此寫的數(shù)學小品文《數(shù)苑中的“五朵金花”》，學生在“意料之外”與“令人震驚”中，又一次體驗到了數(shù)學之美、數(shù)學之奇、數(shù)學之趣。我期盼數(shù)學教學大氣一些，數(shù)學的橫向聯(lián)系與縱向深入，都需要我們大氣。愿數(shù)學教師，能氣度不凡、不落俗套，自覺成為有“文化”的數(shù)學教師，自覺成為“數(shù)學文化”的傳播者，自覺成為有“文化”的教育者。第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日數(shù)苑中的“五朵金花”任勇在萬紫千紅的數(shù)的大花園中，有五朵瑰麗的花朵----0，1，i,π，e。欣賞這五朵花，你將得到美的享受；透過這五朵花，你可以窺視五彩繽紛、雄偉神奇的數(shù)學世界。0，1，i,π，e是無窮無盡的“數(shù)花”中的“花魁”，是數(shù)學史上劃時代的符號，它們?nèi)缤钪胬餆o數(shù)行星中最明亮的五顆巨星。第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1是人類認識的第一個數(shù)，它標志著數(shù)學的誕生。有了1，就有了其他的數(shù)，也就有了數(shù)學法則和數(shù)學結(jié)構(gòu)。在數(shù)學概念中，1是高樓的基石，沒有1的基礎(chǔ)，就沒有2以上的累進數(shù)。1是有效數(shù)字的起頭，又是無限數(shù)字的歸宿。數(shù)學如此，世界萬物亦然。第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日0誕生在印度，成長在阿拉伯，足跡遍布全世界。它是正負數(shù)的分水嶺，是水和冰的界碑；它是實數(shù)中唯一的中性數(shù)。它是無中的有，又是有中的無；它是內(nèi)在的有，又是特定的無。0和1朝夕相伴，一歌一舞，配合默契。在二進位制和邏輯代數(shù)中，它們雙雙在一起，創(chuàng)造了電子時代的智能世界。第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日神奇的（用字母i表示）并非是虛無縹緲。局外人看它,玄而又玄，是蓬萊仙境中的海市蜃樓；局內(nèi)人看它，實在真確，是雄偉壯麗的復數(shù)大廈的支柱。在實際生活中，我們找不到它的對應物；在自然科學和工程技術(shù)中，到處出現(xiàn)它的身影。數(shù)學科學有了它，就脫掉了幼稚之氣而生長成熟；科學技術(shù)有了它，就蓬勃興旺，使人類文明社會不斷發(fā)展。第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日π有尖尖的腦袋，它無聲無息地鉆進了每一扇窗戶，每一個煙囪，每一間廚房，每一家工廠，它真是無孔不入。它是圓周率的記號，卻與曲線、角度等有密切關(guān)系。祖沖之對它的研究，給中華民族帶來光榮；歐拉建立弧度制，使它的內(nèi)容更加豐富。它有巨大的魔力，數(shù)千年來吸引著無數(shù)的科學家為它貢獻畢生的精力；它又有極高的威望，以它的精確度來衡量人類各個時代的數(shù)學水平。第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日e具有高雅莊重的風度。如果僅僅認為它只是自然對數(shù)的底數(shù)，那么未免顯得淺浮；在自然科學中，它的內(nèi)容極為豐富。從定義看，它是無窮級數(shù)的和；就實質(zhì)說，它是宏偉壯觀、嚴整精密的大自然結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物。以普通人看來，它是一個簡單的常數(shù)；在科學家眼里，它是數(shù)中的精靈。人類探索它的奧秘越多，人類就越聰明。第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日π和e是一對孿生兄弟。它們有個性，π與曲線相好，e與萬千氣象結(jié)下友誼；它們又有共性，是無理數(shù)，又是超越數(shù)。我們無法計算出它們的真確值，只能用無窮形式來表示。如果你用尺規(guī)能作出它們的長度，那么你在世界上是就創(chuàng)造了奇跡——其實是不可能的。第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日奇妙而有趣的是，歐拉以其驚人的天賦和敏捷的分析，給出了整個數(shù)學中最卓越的公式：

第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日它是自然界的神奇巧立和人類的聰明智慧的綜合產(chǎn)物，是數(shù)學中的一大杰作。數(shù)苑中的“五朵金花”竟能開在同一樹枝上，不可謂不絕！難怪數(shù)學家說：“數(shù)學實質(zhì)上是藝術(shù)的一種”。第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日知識的海洋是無窮無盡的，愿你像“π”那樣富有鉆勁，像“i”那樣富于幻想，像“e”那樣聯(lián)系實際，一切從“0”開始，從眼前邁開第“1”步，沿著崎嶇的道路，在知識海洋里，勇敢地探索和追求吧。第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2．“才氣”一些——有智慧數(shù)學教學的才氣，表現(xiàn)在科學和藝術(shù)兩個方面。數(shù)學是科學，這就要求數(shù)學教師應當具有精深的專業(yè)知識，能“透視”數(shù)學問題，解釋數(shù)學規(guī)律；教學是藝術(shù)，這就要求數(shù)學教師具有嫻熟的教學技能，能深入淺出、富于啟發(fā)、生動活潑地傳授知識，能激發(fā)學生興趣、培養(yǎng)學生能力。數(shù)學教師的才氣，是數(shù)學教師“有智慧”的體現(xiàn)。第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日案例3：已知：

證明：第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

你若能用分析法、綜合法、求差比較法、求商比較法、反證法進行證明，大概可得30分；你若還能用放縮法、構(gòu)造函數(shù)法、增量法進行證明，你就可以得50分了；你若能進一步研究，得到定比分點法、斜率法、三角法、幾何模型法進行證明，你就可以得到70分啦；你還能再努力一下，苦尋證法，得到90分嗎？有人在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究，得到用正弦定理法、相似三角形法、換元法、雙換元法、綜合法及放縮法、定義域及值域法進行證明，這時他得到90分！有誰還能再開動腦筋、挖掘潛能，探尋到用橢圓離心率法、雙曲線離心率法、函數(shù)圖象法、兩直線位置關(guān)系法、矩形面積法、定積分法進行證明，那他就得100分啦！第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

我并不是說，每位數(shù)學教師都一定要掌握所有的證法，事實上也是“所有”不完的，還會有新的證法。我是想說，作為數(shù)學教師要盡可能地“透視”問題，這樣在教學中才能左右逢源、得心應手。數(shù)學教師并不是要把所有的證明都教給學生，但要給學生“一杯水”，你沒有“一桶水”“一條河”能行嗎？第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日案例4：

我多次聽過一道經(jīng)典的“蛋碰杯底”問題的教學，絕大多數(shù)數(shù)學教師是在黑板上先畫一個拋物線，然后在拋物線內(nèi)畫一個圓，問在什么情況下圓的“底部”能碰到拋物線的“底部”？教師引導學生建立直角坐標系，聯(lián)立方程，研究圓與拋物線只有一個公共點為拋物線的頂點時，須有。老師講完此題，便急匆匆地往下講另一道題。第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日我當時在想：老師為什么不帶些實物來呢？比如，一個透明酒杯、一個乒乓球、一個玻璃球、一個小鋼珠，有了這些實物，一場生動的演示呈現(xiàn)了，生活中的數(shù)學呈現(xiàn)了，有用的數(shù)學呈現(xiàn)了。即使沒帶實物，也至少可以畫出上面的那個立體圖，多少直觀一些！可是在我聽過的所有講這個問題的數(shù)學教師的課堂上，我沒看到帶實物的，沒看到畫立體圖的，甚至有幾個老師連“球碰杯底”或“蛋碰杯底”這樣的話都沒說，師生都在研究“純數(shù)學”。第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日離“生活”這么近的數(shù)學，就這樣“遠離”了。我當時還有另一個想法：老師啊，你為什么要急匆匆地往下講那些“無關(guān)聯(lián)”的題呢？精彩就在眼前！你可以這樣說，這酒杯是“魔幻酒杯”，現(xiàn)在變成雙曲線型啦，會有怎樣的結(jié)論呢？變成橢圓型呢？進一步引導學生想象酒杯的變化：球形的，圓柱形的，圓臺形，圓錐形（也可以說Y字形）……第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日我曾經(jīng)上過這節(jié)課，請看一段教學實錄：此時大家的思維已經(jīng)收不住了，有人說：“魔幻酒杯變?yōu)閅型酒杯啦！”大家回答：“永遠碰不到?！蔽夜室鈫枺骸癥的開口再大些，行嗎？”大家回答：“再大也碰不到！”“什么時候才能碰到呢？”我佯裝不知，繼續(xù)追問。現(xiàn)場頓時安靜下來。一位之前沒什么發(fā)言的女生站了起來靦腆地說：“Y型酒杯變?yōu)門型酒杯，那就永遠能碰到！”現(xiàn)場又活躍起來了，大家都在想象那只T型酒杯。第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3．“朝氣”一些——有活力

比較中外數(shù)學課堂教學，多數(shù)人有這樣一種感覺，中國數(shù)學課堂教學相對比較沉悶。數(shù)學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性，數(shù)學的抽象性和嚴密性，不能成為數(shù)學課堂教學沉悶的理由。抽象的東西，就不能把它講得生動些嗎？嚴密的東西，就不能讓它妙趣些嗎？第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日其實，數(shù)學是迷人的樂園，曾使多少探索者流連忘返，如癡著魔；數(shù)學是神奇的世界，曾使無數(shù)開拓者腦汁絞盡，駐足興嘆。只要數(shù)學教師真情投入，激情教學，就能讓數(shù)學課堂不再沉悶，就能讓數(shù)學課堂充滿朝氣。第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日案例5：

“無窮遞縮等比數(shù)列”夠抽象了吧？如果我們問學生：“聚沙”一定“成塔”嗎？這樣一問，就能讓抽象的數(shù)學課鮮活起來。第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日不信？請看教學片段：“聚沙成塔”是一句大家熟知的成語，說的是把細沙聚集成寶塔，比喻積少可以成多，勉勵人們凡事要持之以恒，終成大觀。如果用數(shù)學眼光讀此成語，就別有一番情趣了。情境之一：如果我們把塔看成由無數(shù)細沙聚成的，那么，甲每天聚沙1千克，成年累月無休止，并傳之子子孫孫，的確可以成塔，因為1+1+1+…這個加法算式中加數(shù)的個數(shù)無限增加，所得的和可以比任何指定的大數(shù)還要大。事實上，只要每天聚同樣多的沙，就一定能成塔。如果有人說，“只要每天聚沙不止，就一定能成塔”，你贊同嗎？第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日情境之二：

乙第1天聚沙1噸（不少），第2天聚沙噸（也不算少），第3天聚沙噸，第4天聚沙噸，第5天聚沙噸……每天聚沙都是前一天的一半，長年累月聚沙不止，并傳之子子孫孫，能聚成塔嗎？在式子中，雖然加數(shù)的個數(shù)無休止地增加，和也無休止地增加，但實際上這個和永遠不會超過2。因為第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日

乙雖然每天聚沙不止，但由于每天所聚的沙都比前一天少，所以總和不超過2噸，如此聚沙是不能成塔的。數(shù)學眼光如此深邃、神奇！那么，是不是說，“如果每天聚比前一天少的沙，就一定不能成塔?！钡谌捻?，共六十九頁，編輯于2023年，星期日情境之三：

丙第1天聚沙1千克（很少），第2天聚沙千克（更少），第3天聚沙千克（越來越少），第4天聚沙千克……長年累月不休止，并傳之子子孫孫，能成塔嗎？只靠感覺不行，要思考。思考1：為什么甲聚沙不止，能成塔。思考2：為什么乙聚沙不止，卻不能成塔?？瓷先?，丙與乙聚沙不止的差別并不大，因而丙也是不能聚沙成塔的。但是，錯了！第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日我們對作出如下的分析：第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日其中每個括號中的分數(shù)的和大于，并且括號的個數(shù)無限，這一串分數(shù)的和當然也就超過任何大的數(shù)了。這就是說，如果丙第1天聚沙1千克，第2天聚沙千克，第3、4兩天共聚沙超過千克，第5、6、7、8四天聚沙超過千克……如此聚沙不止，丙還是可以聚沙成塔的。如此看來，成語“聚少成多”和“聚沙成塔”還是不盡相同的。“聚少”一定“成多”，但“聚沙”不一定“成塔”。第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4．“秀氣”一些——有美感

數(shù)學之美，美不勝收。維納說：“數(shù)學實質(zhì)上是藝術(shù)的一種?！睌?shù)學中充滿著美的因素，運用審美法則在一定程度上可以幫助我們提高解題和研究問題的能力。數(shù)學美感，能喚起良好的情感，就會讓學生感到數(shù)學學習是十分有趣的，不覺得是一種負擔，一種苦役，而是一種需要，一種享受。問題是我們無論在數(shù)學美感的發(fā)掘上，還是在數(shù)學美感的運用上，都還做得很不夠。換句話說，研究“數(shù)學教學中數(shù)學美感”問題，并在數(shù)學教學中加以應用，有著寬廣的前景。第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日案例6：

許多老師都執(zhí)教過“正弦函數(shù)的圖像”這節(jié)課，教學生怎么畫正弦函數(shù)的圖像。許多學生都有數(shù)學學了不知有什么用的感覺，“為畫圖像而畫圖像”，其實我們完全可以用身邊的現(xiàn)象揭示數(shù)學之用和數(shù)學之美。就說跑步吧，運動員在跑道上奔跑，手臂隨步伐擺動起來。遠遠看去，上下擺動的手臂給人以動感美的視角效果。如果我們做些深入的研究，以數(shù)學眼光“透視”一下，就會驚奇地發(fā)現(xiàn)，手臂擺動“劃出”美麗的曲線。究竟是什么曲線呢？第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日我們以ON代表手臂的垂直位置，當手臂擺動至OP位置時，設∠PON=θ為擺動的幅角。PN表示P點離開直線ON的水平距離，設OP=r為后臂的長度。通常情況下，人的手臂擺動的最大幅角為，擺動中，則擺動到最大幅角時。第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日設，由于幅角θ隨時間t改變，因此，θ與t成正比。設T為擺動周期，即手臂完成一個擺動所需的時間。我們列出一個表：t0T/4T/23T/4TPN0a0-a0第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)上表，我們就可以畫出手臂擺動“劃出”的曲線。哇！一條我們熟知的正弦曲線！我們期盼更多的充滿美感的“秀氣”的數(shù)學課！第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日5．“和氣”一些——有互動學生是學習的主人，是學習的主體。數(shù)學教師“和氣”一些，實施真正意義上的師生互動，才能營造和諧融洽的課堂氛圍。在數(shù)學教學中，教師只有以“和氣”之態(tài)，才能充分調(diào)動學生認知的、心理的、生理的、情感的、行為的、價值的等各方面的因素，使其參與到數(shù)學學習活動中去，才能讓學生進入一種全新的學習境界。第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日6．“靈氣”一些——有方法

“讓數(shù)學課堂充滿智慧的靈性”，這是數(shù)學教學的基本要求。數(shù)學課堂的靈性，更多的是要靠數(shù)學教師“靈氣”的感染。這種感染可以是一題多解、一題多變、一題多用，可以是深入淺出的巧妙解答，可以是化難為易的新奇證明，可以是教師“大智若愚”的有意差錯，可以是“設置陷阱”的善意為難。第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日案例8：

英國著名的物理學家、科學家的奠基人貝爾納在《科學研究的藝術(shù)》中說過：“良好的方法能使我們更好地發(fā)揮運用天賦的才能，而拙劣的方法則可能阻礙才能的發(fā)揮?！庇纱丝梢?，學習方法問題是關(guān)系到學習成敗的關(guān)鍵問題。學習如此，解題亦然。已知:，求證：。第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日若將左邊展開，再用求差比較法取證，也許行得通，但顯然過于繁雜。我們從結(jié)構(gòu)的遞推性分析：若“進”，似可推廣為

；若“退”，似有。第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日我們采用“以退求進”的策略：因，故，即。，。進一步可證得原不等式成立，用數(shù)學歸納法不難證明推廣后的結(jié)論。這里的“以退求進”，就是數(shù)學解題的一種方法，我們稱之為“退下來，躍上去”。第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日博士生（非數(shù)學系）不一定會做而小學生會做的簡單問題：在對角線長為2的正方形內(nèi)，隨便投入5粒豆子，證明至少有2粒豆子的距離不大于1.第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日7．“喜氣”一些——有趣味許多人聽過數(shù)學課之后，都有這樣一種感覺——嚴肅有余，“喜氣”不足。其實，只要數(shù)學教師稍微留心一下，就能找到許多可以創(chuàng)造“喜氣”的情境。給個趣題，講個故事，做個游戲，甚至“鬧個”笑話，有機融入數(shù)學教學，往往會產(chǎn)生意想不到的效果。初為人師我，數(shù)學課上得“瘋瘋癲癲”，形成了自己的教學特色，深受學生喜愛。記者問我有什么秘訣？我當時也沒什么細想，就說了句：“每課一趣?！苯裉旎叵肫饋?，覺得當年的回答還是蠻有道理的。當然，嚴格地說應該是“每課至少一趣”。第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日案例9：

請看幾例“每課一趣”。（1）立體幾何令一些學生“頭痛”，一次上課開講時，我說了個“故事”：李工程師到某國考察，發(fā)現(xiàn)了一種鋼坯，正是國內(nèi)一種設備上急需的，于是他立即買下鋼坯準備帶回國內(nèi)。當他購買返程機票時，才知道這個國家對乘客所帶的貨物，長寬高都不準超過1米，而李工程師買的這根鋼坯，雖然直徑只有2厘米，但長度卻達1.7米，李工程師能帶回這根鋼坯嗎？第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日（2）還是一節(jié)立體幾何課的“一趣”：有4個同樣大小的汽水瓶，你能放得使任意兩個瓶口中心之間的距離都相等嗎？學生開始擺了幾次都沒成功，我引導學生展開想象的翅膀，突破思維定勢，把其中一個倒過來放，啊哈，成功了！第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日第五十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日下課鈴響了，同學們歡快地下課了，我在走道上再次見到學生時，他們看我的眼神都不一樣了——微笑著并帶著智慧。第五十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日8.“傻氣”一些——有藝術(shù)

著名數(shù)學特級教師張思明，說他的一位導師告訴他：“最好的老師是把學生托起來，而學生還以為是自己站得高呢。”這就是我們所說的“教育無痕”。在一次數(shù)學高級研修班上，史寧中教授的報告中說了這樣一句話：老師，上課時不要表現(xiàn)得太聰明，才能讓學生顯得更聰明。

第五十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日說得太好了！這讓參會的王增良老師感慨不已：在新課程積極創(chuàng)導學生主體參與、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的課堂中，老師是否可以拋棄一些虛假的“聰明”，放下一點架子，在上課中表現(xiàn)得“愚鈍”一些，參與到課堂學生的學習討論之中呢？第五十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日也是王老師撰寫了《“上課”教師不要表現(xiàn)得太“聰明”》一文，發(fā)表在《數(shù)學通報》2009年第9期上，我很贊同文中的幾個觀點：教師的“聰明”，重在課前的預設；教師的“愚鈍”，應成為學生學習興趣和積極性的動力；教師的“愚鈍”，應成為師生對話的學習交流平臺；教師的“愚鈍”，應成為學生探究和創(chuàng)新能力的源泉。第五十九頁，共六十九頁，