期盼數(shù)學(xué)教學(xué)氣象萬(wàn)千

期盼數(shù)學(xué)教學(xué)氣象萬(wàn)千第一頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日近年來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)生了巨大變化，有了長(zhǎng)足的發(fā)展，同時(shí)我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)在改革與反思中前行。為使數(shù)學(xué)教學(xué)“一路走好”，我覺得還應(yīng)在文化、智慧、活力、美感、互動(dòng)、方法、趣味、藝術(shù)、創(chuàng)新、研究等方面深化優(yōu)化，期盼數(shù)學(xué)教學(xué)“氣”象萬(wàn)千。第二頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日1．“大氣”一些——有文化

數(shù)學(xué)教學(xué)，總的說(shuō)來(lái)“大氣不足”。這固然與現(xiàn)行的考試制度有關(guān)，但也和數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀念、知識(shí)積累、能力水平、文化素養(yǎng)有關(guān)。即便是為了升學(xué)，我們的數(shù)學(xué)課也完全可以上得大氣一些。

第三頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日

“小氣”的表現(xiàn)是多方面的。如，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的“掐頭去尾燒（魚）中段”的干焦面孔，而忽略了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的火熱的思考；鉆數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“特技特法”，而忽略了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“通性通法”；以高考中考不考為由，扼殺學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問題適當(dāng)延伸的渴望；不重視“選學(xué)內(nèi)容”，甚至視“選學(xué)內(nèi)容”為“不學(xué)內(nèi)容”等等。第四頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日案例1：第五頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日有學(xué)生問:第六頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日案例2：某數(shù)學(xué)教師上“復(fù)數(shù)”最后一課，書上有“小體字”的選讀內(nèi)容，講復(fù)數(shù)的指數(shù)形式等。我聽課時(shí)，以為老師會(huì)有“最美等式”的生動(dòng)故事，沒想到老師卻說(shuō)：“大家功課緊，選讀內(nèi)容就不讀了吧，可預(yù)習(xí)‘小體字’之后的解析幾何內(nèi)容?！钡谄唔?yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日我當(dāng)時(shí)的反應(yīng)是：“老師啊，你不能這么‘小氣’，沒文化啊！”

“”是傳播“數(shù)學(xué)文化”的很好案例，也是激發(fā)學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)的極好案例，如此“失之交臂”實(shí)在可惜！第八頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日我還讓學(xué)生欣賞我為此寫的數(shù)學(xué)小品文《數(shù)苑中的“五朵金花”》，學(xué)生在“意料之外”與“令人震驚”中，又一次體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之奇、數(shù)學(xué)之趣。我期盼數(shù)學(xué)教學(xué)大氣一些，數(shù)學(xué)的橫向聯(lián)系與縱向深入，都需要我們大氣。愿數(shù)學(xué)教師，能氣度不凡、不落俗套，自覺成為有“文化”的數(shù)學(xué)教師，自覺成為“數(shù)學(xué)文化”的傳播者，自覺成為有“文化”的教育者。第九頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日數(shù)苑中的“五朵金花”任勇在萬(wàn)紫千紅的數(shù)的大花園中，有五朵瑰麗的花朵----0，1，i,π，e。欣賞這五朵花，你將得到美的享受；透過這五朵花，你可以窺視五彩繽紛、雄偉神奇的數(shù)學(xué)世界。0，1，i,π，e是無(wú)窮無(wú)盡的“數(shù)花”中的“花魁”，是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的符號(hào)，它們?nèi)缤钪胬餆o(wú)數(shù)行星中最明亮的五顆巨星。第十頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日1是人類認(rèn)識(shí)的第一個(gè)數(shù)，它標(biāo)志著數(shù)學(xué)的誕生。有了1，就有了其他的數(shù)，也就有了數(shù)學(xué)法則和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)概念中，1是高樓的基石，沒有1的基礎(chǔ)，就沒有2以上的累進(jìn)數(shù)。1是有效數(shù)字的起頭，又是無(wú)限數(shù)字的歸宿。數(shù)學(xué)如此，世界萬(wàn)物亦然。第十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日0誕生在印度，成長(zhǎng)在阿拉伯，足跡遍布全世界。它是正負(fù)數(shù)的分水嶺，是水和冰的界碑；它是實(shí)數(shù)中唯一的中性數(shù)。它是無(wú)中的有，又是有中的無(wú)；它是內(nèi)在的有，又是特定的無(wú)。0和1朝夕相伴，一歌一舞，配合默契。在二進(jìn)位制和邏輯代數(shù)中，它們雙雙在一起，創(chuàng)造了電子時(shí)代的智能世界。第十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日神奇的（用字母i表示）并非是虛無(wú)縹緲。局外人看它,玄而又玄，是蓬萊仙境中的海市蜃樓；局內(nèi)人看它，實(shí)在真確，是雄偉壯麗的復(fù)數(shù)大廈的支柱。在實(shí)際生活中，我們找不到它的對(duì)應(yīng)物；在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，到處出現(xiàn)它的身影。數(shù)學(xué)科學(xué)有了它，就脫掉了幼稚之氣而生長(zhǎng)成熟；科學(xué)技術(shù)有了它，就蓬勃興旺，使人類文明社會(huì)不斷發(fā)展。第十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日π有尖尖的腦袋，它無(wú)聲無(wú)息地鉆進(jìn)了每一扇窗戶，每一個(gè)煙囪，每一間廚房，每一家工廠，它真是無(wú)孔不入。它是圓周率的記號(hào)，卻與曲線、角度等有密切關(guān)系。祖沖之對(duì)它的研究，給中華民族帶來(lái)光榮；歐拉建立弧度制，使它的內(nèi)容更加豐富。它有巨大的魔力，數(shù)千年來(lái)吸引著無(wú)數(shù)的科學(xué)家為它貢獻(xiàn)畢生的精力；它又有極高的威望，以它的精確度來(lái)衡量人類各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)水平。第十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日e具有高雅莊重的風(fēng)度。如果僅僅認(rèn)為它只是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那么未免顯得淺浮；在自然科學(xué)中，它的內(nèi)容極為豐富。從定義看，它是無(wú)窮級(jí)數(shù)的和；就實(shí)質(zhì)說(shuō)，它是宏偉壯觀、嚴(yán)整精密的大自然結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物。以普通人看來(lái)，它是一個(gè)簡(jiǎn)單的常數(shù)；在科學(xué)家眼里，它是數(shù)中的精靈。人類探索它的奧秘越多，人類就越聰明。第十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日π和e是一對(duì)孿生兄弟。它們有個(gè)性，π與曲線相好，e與萬(wàn)千氣象結(jié)下友誼；它們又有共性，是無(wú)理數(shù)，又是超越數(shù)。我們無(wú)法計(jì)算出它們的真確值，只能用無(wú)窮形式來(lái)表示。如果你用尺規(guī)能作出它們的長(zhǎng)度，那么你在世界上是就創(chuàng)造了奇跡——其實(shí)是不可能的。第十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日奇妙而有趣的是，歐拉以其驚人的天賦和敏捷的分析，給出了整個(gè)數(shù)學(xué)中最卓越的公式：

第十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日它是自然界的神奇巧立和人類的聰明智慧的綜合產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)中的一大杰作。數(shù)苑中的“五朵金花”竟能開在同一樹枝上，不可謂不絕！難怪?jǐn)?shù)學(xué)家說(shuō)：“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種”。第十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日知識(shí)的海洋是無(wú)窮無(wú)盡的，愿你像“π”那樣富有鉆勁，像“i”那樣富于幻想，像“e”那樣聯(lián)系實(shí)際，一切從“0”開始，從眼前邁開第“1”步，沿著崎嶇的道路，在知識(shí)海洋里，勇敢地探索和追求吧。第十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日2．“才氣”一些——有智慧數(shù)學(xué)教學(xué)的才氣，表現(xiàn)在科學(xué)和藝術(shù)兩個(gè)方面。數(shù)學(xué)是科學(xué)，這就要求數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)具有精深的專業(yè)知識(shí)，能“透視”數(shù)學(xué)問題，解釋數(shù)學(xué)規(guī)律；教學(xué)是藝術(shù)，這就要求數(shù)學(xué)教師具有嫻熟的教學(xué)技能，能深入淺出、富于啟發(fā)、生動(dòng)活潑地傳授知識(shí)，能激發(fā)學(xué)生興趣、培養(yǎng)學(xué)生能力。數(shù)學(xué)教師的才氣，是數(shù)學(xué)教師“有智慧”的體現(xiàn)。第二十頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日案例3：已知：

證明：第二十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日

你若能用分析法、綜合法、求差比較法、求商比較法、反證法進(jìn)行證明，大概可得30分；你若還能用放縮法、構(gòu)造函數(shù)法、增量法進(jìn)行證明，你就可以得50分了；你若能進(jìn)一步研究，得到定比分點(diǎn)法、斜率法、三角法、幾何模型法進(jìn)行證明，你就可以得到70分啦；你還能再努力一下，苦尋證法，得到90分嗎？有人在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究，得到用正弦定理法、相似三角形法、換元法、雙換元法、綜合法及放縮法、定義域及值域法進(jìn)行證明，這時(shí)他得到90分！有誰(shuí)還能再開動(dòng)腦筋、挖掘潛能，探尋到用橢圓離心率法、雙曲線離心率法、函數(shù)圖象法、兩直線位置關(guān)系法、矩形面積法、定積分法進(jìn)行證明，那他就得100分啦！第二十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日

我并不是說(shuō)，每位數(shù)學(xué)教師都一定要掌握所有的證法，事實(shí)上也是“所有”不完的，還會(huì)有新的證法。我是想說(shuō)，作為數(shù)學(xué)教師要盡可能地“透視”問題，這樣在教學(xué)中才能左右逢源、得心應(yīng)手。數(shù)學(xué)教師并不是要把所有的證明都教給學(xué)生，但要給學(xué)生“一杯水”，你沒有“一桶水”“一條河”能行嗎？第二十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日案例4：

我多次聽過一道經(jīng)典的“蛋碰杯底”問題的教學(xué)，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師是在黑板上先畫一個(gè)拋物線，然后在拋物線內(nèi)畫一個(gè)圓，問在什么情況下圓的“底部”能碰到拋物線的“底部”？教師引導(dǎo)學(xué)生建立直角坐標(biāo)系，聯(lián)立方程，研究圓與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，須有。老師講完此題，便急匆匆地往下講另一道題。第二十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日我當(dāng)時(shí)在想：老師為什么不帶些實(shí)物來(lái)呢？比如，一個(gè)透明酒杯、一個(gè)乒乓球、一個(gè)玻璃球、一個(gè)小鋼珠，有了這些實(shí)物，一場(chǎng)生動(dòng)的演示呈現(xiàn)了，生活中的數(shù)學(xué)呈現(xiàn)了，有用的數(shù)學(xué)呈現(xiàn)了。即使沒帶實(shí)物，也至少可以畫出上面的那個(gè)立體圖，多少直觀一些！可是在我聽過的所有講這個(gè)問題的數(shù)學(xué)教師的課堂上，我沒看到帶實(shí)物的，沒看到畫立體圖的，甚至有幾個(gè)老師連“球碰杯底”或“蛋碰杯底”這樣的話都沒說(shuō)，師生都在研究“純數(shù)學(xué)”。第二十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日離“生活”這么近的數(shù)學(xué)，就這樣“遠(yuǎn)離”了。我當(dāng)時(shí)還有另一個(gè)想法：老師啊，你為什么要急匆匆地往下講那些“無(wú)關(guān)聯(lián)”的題呢？精彩就在眼前！你可以這樣說(shuō)，這酒杯是“魔幻酒杯”，現(xiàn)在變成雙曲線型啦，會(huì)有怎樣的結(jié)論呢？變成橢圓型呢？進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生想象酒杯的變化：球形的，圓柱形的，圓臺(tái)形，圓錐形（也可以說(shuō)Y字形）……第二十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日我曾經(jīng)上過這節(jié)課，請(qǐng)看一段教學(xué)實(shí)錄：此時(shí)大家的思維已經(jīng)收不住了，有人說(shuō)：“魔幻酒杯變?yōu)閅型酒杯啦！”大家回答：“永遠(yuǎn)碰不到?！蔽夜室鈫枺骸癥的開口再大些，行嗎？”大家回答：“再大也碰不到！”“什么時(shí)候才能碰到呢？”我佯裝不知，繼續(xù)追問?，F(xiàn)場(chǎng)頓時(shí)安靜下來(lái)。一位之前沒什么發(fā)言的女生站了起來(lái)靦腆地說(shuō)：“Y型酒杯變?yōu)門型酒杯，那就永遠(yuǎn)能碰到！”現(xiàn)場(chǎng)又活躍起來(lái)了，大家都在想象那只T型酒杯。第二十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日3．“朝氣”一些——有活力

比較中外數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，多數(shù)人有這樣一種感覺，中國(guó)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)相對(duì)比較沉悶。數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性，數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)密性，不能成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)沉悶的理由。抽象的東西，就不能把它講得生動(dòng)些嗎？嚴(yán)密的東西，就不能讓它妙趣些嗎？第二十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日其實(shí)，數(shù)學(xué)是迷人的樂園，曾使多少探索者流連忘返，如癡著魔；數(shù)學(xué)是神奇的世界，曾使無(wú)數(shù)開拓者腦汁絞盡，駐足興嘆。只要數(shù)學(xué)教師真情投入，激情教學(xué)，就能讓數(shù)學(xué)課堂不再沉悶，就能讓數(shù)學(xué)課堂充滿朝氣。第三十頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日案例5：

“無(wú)窮遞縮等比數(shù)列”夠抽象了吧？如果我們問學(xué)生：“聚沙”一定“成塔”嗎？這樣一問，就能讓抽象的數(shù)學(xué)課鮮活起來(lái)。第三十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日不信？請(qǐng)看教學(xué)片段：“聚沙成塔”是一句大家熟知的成語(yǔ)，說(shuō)的是把細(xì)沙聚集成寶塔，比喻積少可以成多，勉勵(lì)人們凡事要持之以恒，終成大觀。如果用數(shù)學(xué)眼光讀此成語(yǔ)，就別有一番情趣了。情境之一：如果我們把塔看成由無(wú)數(shù)細(xì)沙聚成的，那么，甲每天聚沙1千克，成年累月無(wú)休止，并傳之子子孫孫，的確可以成塔，因?yàn)?+1+1+…這個(gè)加法算式中加數(shù)的個(gè)數(shù)無(wú)限增加，所得的和可以比任何指定的大數(shù)還要大。事實(shí)上，只要每天聚同樣多的沙，就一定能成塔。如果有人說(shuō)，“只要每天聚沙不止，就一定能成塔”，你贊同嗎？第三十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日情境之二：

乙第1天聚沙1噸（不少），第2天聚沙噸（也不算少），第3天聚沙噸，第4天聚沙噸，第5天聚沙噸……每天聚沙都是前一天的一半，長(zhǎng)年累月聚沙不止，并傳之子子孫孫，能聚成塔嗎？在式子中，雖然加數(shù)的個(gè)數(shù)無(wú)休止地增加，和也無(wú)休止地增加，但實(shí)際上這個(gè)和永遠(yuǎn)不會(huì)超過2。因?yàn)榈谌?yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日

乙雖然每天聚沙不止，但由于每天所聚的沙都比前一天少，所以總和不超過2噸，如此聚沙是不能成塔的。數(shù)學(xué)眼光如此深邃、神奇！那么，是不是說(shuō)，“如果每天聚比前一天少的沙，就一定不能成塔?！钡谌捻?yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日情境之三：

丙第1天聚沙1千克（很少），第2天聚沙千克（更少），第3天聚沙千克（越來(lái)越少），第4天聚沙千克……長(zhǎng)年累月不休止，并傳之子子孫孫，能成塔嗎？只靠感覺不行，要思考。思考1：為什么甲聚沙不止，能成塔。思考2：為什么乙聚沙不止，卻不能成塔。看上去，丙與乙聚沙不止的差別并不大，因而丙也是不能聚沙成塔的。但是，錯(cuò)了！第三十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日我們對(duì)作出如下的分析：第三十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日其中每個(gè)括號(hào)中的分?jǐn)?shù)的和大于，并且括號(hào)的個(gè)數(shù)無(wú)限，這一串分?jǐn)?shù)的和當(dāng)然也就超過任何大的數(shù)了。這就是說(shuō)，如果丙第1天聚沙1千克，第2天聚沙千克，第3、4兩天共聚沙超過千克，第5、6、7、8四天聚沙超過千克……如此聚沙不止，丙還是可以聚沙成塔的。如此看來(lái)，成語(yǔ)“聚少成多”和“聚沙成塔”還是不盡相同的?！熬凵佟币欢ā俺啥唷?，但“聚沙”不一定“成塔”。第三十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日4．“秀氣”一些——有美感

數(shù)學(xué)之美，美不勝收。維納說(shuō)：“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種。”數(shù)學(xué)中充滿著美的因素，運(yùn)用審美法則在一定程度上可以幫助我們提高解題和研究問題的能力。數(shù)學(xué)美感，能喚起良好的情感，就會(huì)讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是十分有趣的，不覺得是一種負(fù)擔(dān)，一種苦役，而是一種需要，一種享受。問題是我們無(wú)論在數(shù)學(xué)美感的發(fā)掘上，還是在數(shù)學(xué)美感的運(yùn)用上，都還做得很不夠。換句話說(shuō)，研究“數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)美感”問題，并在數(shù)學(xué)教學(xué)中加以應(yīng)用，有著寬廣的前景。第三十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日案例6：

許多老師都執(zhí)教過“正弦函數(shù)的圖像”這節(jié)課，教學(xué)生怎么畫正弦函數(shù)的圖像。許多學(xué)生都有數(shù)學(xué)學(xué)了不知有什么用的感覺，“為畫圖像而畫圖像”，其實(shí)我們完全可以用身邊的現(xiàn)象揭示數(shù)學(xué)之用和數(shù)學(xué)之美。就說(shuō)跑步吧，運(yùn)動(dòng)員在跑道上奔跑，手臂隨步伐擺動(dòng)起來(lái)。遠(yuǎn)遠(yuǎn)看去，上下擺動(dòng)的手臂給人以動(dòng)感美的視角效果。如果我們做些深入的研究，以數(shù)學(xué)眼光“透視”一下，就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，手臂擺動(dòng)“劃出”美麗的曲線。究竟是什么曲線呢？第三十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日我們以O(shè)N代表手臂的垂直位置，當(dāng)手臂擺動(dòng)至OP位置時(shí)，設(shè)∠PON=θ為擺動(dòng)的幅角。PN表示P點(diǎn)離開直線ON的水平距離，設(shè)OP=r為后臂的長(zhǎng)度。通常情況下，人的手臂擺動(dòng)的最大幅角為，擺動(dòng)中，則擺動(dòng)到最大幅角時(shí)。第四十頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日設(shè)，由于幅角θ隨時(shí)間t改變，因此，θ與t成正比。設(shè)T為擺動(dòng)周期，即手臂完成一個(gè)擺動(dòng)所需的時(shí)間。我們列出一個(gè)表：t0T/4T/23T/4TPN0a0-a0第四十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)上表，我們就可以畫出手臂擺動(dòng)“劃出”的曲線。哇！一條我們熟知的正弦曲線！我們期盼更多的充滿美感的“秀氣”的數(shù)學(xué)課！第四十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日5．“和氣”一些——有互動(dòng)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，是學(xué)習(xí)的主體。數(shù)學(xué)教師“和氣”一些，實(shí)施真正意義上的師生互動(dòng)，才能營(yíng)造和諧融洽的課堂氛圍。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只有以“和氣”之態(tài)，才能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生認(rèn)知的、心理的、生理的、情感的、行為的、價(jià)值的等各方面的因素，使其參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，才能讓學(xué)生進(jìn)入一種全新的學(xué)習(xí)境界。第四十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF第四十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日6．“靈氣”一些——有方法

“讓數(shù)學(xué)課堂充滿智慧的靈性”，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。數(shù)學(xué)課堂的靈性，更多的是要靠數(shù)學(xué)教師“靈氣”的感染。這種感染可以是一題多解、一題多變、一題多用，可以是深入淺出的巧妙解答，可以是化難為易的新奇證明，可以是教師“大智若愚”的有意差錯(cuò)，可以是“設(shè)置陷阱”的善意為難。第四十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日案例8：

英國(guó)著名的物理學(xué)家、科學(xué)家的奠基人貝爾納在《科學(xué)研究的藝術(shù)》中說(shuō)過：“良好的方法能使我們更好地發(fā)揮運(yùn)用天賦的才能，而拙劣的方法則可能阻礙才能的發(fā)揮?！庇纱丝梢?，學(xué)習(xí)方法問題是關(guān)系到學(xué)習(xí)成敗的關(guān)鍵問題。學(xué)習(xí)如此，解題亦然。已知:，求證：。第四十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日若將左邊展開，再用求差比較法取證，也許行得通，但顯然過于繁雜。我們從結(jié)構(gòu)的遞推性分析：若“進(jìn)”，似可推廣為

；若“退”，似有。第四十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日我們采用“以退求進(jìn)”的策略：因，故，即。，。進(jìn)一步可證得原不等式成立，用數(shù)學(xué)歸納法不難證明推廣后的結(jié)論。這里的“以退求進(jìn)”，就是數(shù)學(xué)解題的一種方法，我們稱之為“退下來(lái)，躍上去”。第四十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日博士生（非數(shù)學(xué)系）不一定會(huì)做而小學(xué)生會(huì)做的簡(jiǎn)單問題：在對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)，隨便投入5粒豆子，證明至少有2粒豆子的距離不大于1.第四十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日7．“喜氣”一些——有趣味許多人聽過數(shù)學(xué)課之后，都有這樣一種感覺——嚴(yán)肅有余，“喜氣”不足。其實(shí)，只要數(shù)學(xué)教師稍微留心一下，就能找到許多可以創(chuàng)造“喜氣”的情境。給個(gè)趣題，講個(gè)故事，做個(gè)游戲，甚至“鬧個(gè)”笑話，有機(jī)融入數(shù)學(xué)教學(xué)，往往會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果。初為人師我，數(shù)學(xué)課上得“瘋瘋癲癲”，形成了自己的教學(xué)特色，深受學(xué)生喜愛。記者問我有什么秘訣？我當(dāng)時(shí)也沒什么細(xì)想，就說(shuō)了句：“每課一趣?！苯裉旎叵肫饋?lái)，覺得當(dāng)年的回答還是蠻有道理的。當(dāng)然，嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)該是“每課至少一趣”。第五十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日案例9：

請(qǐng)看幾例“每課一趣”。（1）立體幾何令一些學(xué)生“頭痛”，一次上課開講時(shí)，我說(shuō)了個(gè)“故事”：李工程師到某國(guó)考察，發(fā)現(xiàn)了一種鋼坯，正是國(guó)內(nèi)一種設(shè)備上急需的，于是他立即買下鋼坯準(zhǔn)備帶回國(guó)內(nèi)。當(dāng)他購(gòu)買返程機(jī)票時(shí)，才知道這個(gè)國(guó)家對(duì)乘客所帶的貨物，長(zhǎng)寬高都不準(zhǔn)超過1米，而李工程師買的這根鋼坯，雖然直徑只有2厘米，但長(zhǎng)度卻達(dá)1.7米，李工程師能帶回這根鋼坯嗎？第五十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）還是一節(jié)立體幾何課的“一趣”：有4個(gè)同樣大小的汽水瓶，你能放得使任意兩個(gè)瓶口中心之間的距離都相等嗎？學(xué)生開始擺了幾次都沒成功，我引導(dǎo)學(xué)生展開想象的翅膀，突破思維定勢(shì)，把其中一個(gè)倒過來(lái)放，啊哈，成功了！第五十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日下課鈴響了，同學(xué)們歡快地下課了，我在走道上再次見到學(xué)生時(shí)，他們看我的眼神都不一樣了——微笑著并帶著智慧。第五十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日8.“傻氣”一些——有藝術(shù)

著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師張思明，說(shuō)他的一位導(dǎo)師告訴他：“最好的老師是把學(xué)生托起來(lái)，而學(xué)生還以為是自己站得高呢?！边@就是我們所說(shuō)的“教育無(wú)痕”。在一次數(shù)學(xué)高級(jí)研修班上，史寧中教授的報(bào)告中說(shuō)了這樣一句話：老師，上課時(shí)不要表現(xiàn)得太聰明，才能讓學(xué)生顯得更聰明。

第五十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日說(shuō)得太好了！這讓參會(huì)的王增良老師感慨不已：在新課程積極創(chuàng)導(dǎo)學(xué)生主體參與、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的課堂中，老師是否可以拋棄一些虛假的“聰明”，放下一點(diǎn)架子，在上課中表現(xiàn)得“愚鈍”一些，參與到課堂學(xué)生的學(xué)習(xí)討論之中呢？第五十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日也是王老師撰寫了《“上課”教師不要表現(xiàn)得太“聰明”》一文，發(fā)表在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2009年第9期上，我很贊同文中的幾個(gè)觀點(diǎn)：教師的“聰明”，重在課前的預(yù)設(shè)；教師的“愚鈍”，應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和積極性的動(dòng)力；教師的“愚鈍”，應(yīng)成為師生對(duì)話的學(xué)習(xí)交流平臺(tái)；教師的“愚鈍”，應(yīng)成為學(xué)生探究和創(chuàng)新能力的源泉。第五十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，