金融經濟學第七章套利定價

8.1概述在上一章，為了得到投資者的最優(yōu)投資組合，要求知道：回報率均值向量回報率方差-協(xié)方差矩陣無風險利率估計量和計算量隨著證券種類的增加以指數級增加1金融經濟學當前第1頁\共有81頁\編于星期五\15點舉例：假定證券分析員要詳細分析50種股票，則需要輸入如下這些數據：若n擴大一倍，即為100時，估計值幾乎增加4倍達到5150個，進一步，如果n增大為2700，估計值達到360萬個如此龐大的估計值個數，逼迫我們不得不尋找其他更容易實現(xiàn)的辦法。2金融經濟學當前第2頁\共有81頁\編于星期五\15點引入因子模型可以大大簡化計算量由于因子模型的引入，使得估計Markowitz有效集的艱巨而煩瑣的任務得到大大的簡化。因子模型還給我們提供關于證券回報率生成過程的一種新視點一元或者多元統(tǒng)計分析，以一個或者多個變量來解釋證券的收益，從而比僅僅以市場來解釋證券的收益更準確。3金融經濟學當前第3頁\共有81頁\編于星期五\15點8.2因子模型（Factormodel）定義：因子模型是一種假設證券的回報率只與不同的因子波動（相對數）或者指標的運動有關的經濟模型。因子模型是APT的基礎，其目的是找出這些因素并確認證券收益率對這些因素變動的敏感度。依據因子的數量，可以分為單因子模型和多因子模型。4金融經濟學當前第4頁\共有81頁\編于星期五\15點8.2.1單因子模型引子若把經濟系統(tǒng)中的所有相關因素作為一個總的宏觀經濟指數。假設：（1）證券的回報率僅僅取決于該指數的變化；（2）除此以外的因素是公司特有風險——殘余風險則可以建立以宏觀經濟指數變化為自變量，以證券回報率為因變量的單因子模型。例如，GDP的預期增長率是影響證券回報率的主要因素。

5金融經濟學當前第5頁\共有81頁\編于星期五\15點例1：設證券回報僅僅與市場因子回報有關其中

=在給定的時間t，證券i

的回報率

=在同一時間區(qū)間，市場因子m的相對數

=截距項

=證券i對因素m的敏感度

=隨機誤差項，6金融經濟學當前第6頁\共有81頁\編于星期五\15點因子模型回歸年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.714.326.419.238.9 23.448.0 15.655.1 9.2 62.9 13.07金融經濟學當前第7頁\共有81頁\編于星期五\15點4%8金融經濟學當前第8頁\共有81頁\編于星期五\15點圖中，橫軸表示GDP的增長率，縱軸表示股票A的回報率。圖上的每一點表示：在給定的年份，股票A的回報率與GDP增長率。通過線性回歸，我們得到一條符合這些點的直線為（極大似然估計）9金融經濟學當前第9頁\共有81頁\編于星期五\15點從這個例子可以看出，A在任何一期的回報率包含了三種成份：1.在任何一期都相同的部分a2.依賴于GDP的預期增長率，每一期都不相同的部分b×IGDPt3.屬于特定一期的特殊部分et。10金融經濟學當前第10頁\共有81頁\編于星期五\15點通過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的一般形式：對時間t

的任何證券i

有時間序列其中：ft是t時期公共因子的預測值；rit在時期t證券i的回報；eit在時期t證券i的特有回報ai零因子bi證券i對公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子載荷（factorloading）（8.1）11金融經濟學當前第11頁\共有81頁\編于星期五\15點為簡單計，只考慮在某個特定的時間的因子模型，從而省掉角標t，從而（8.1）式變?yōu)椴⑶壹僭O（8.2）12金融經濟學當前第12頁\共有81頁\編于星期五\15點假設(1)：因子f具體取什么值對隨機項沒有影響，即因子f與隨機項是獨立的，這樣保證了因子f是回報率的唯一因素。若不獨立，結果是什么？假設(2)：一種證券的隨機項對其余任何證券的隨機項沒有影響，換言之，兩種證券之所以相關，是由于它們具有共同因子f所致。如果上述假設不成立，則單因子模型不準確，應該考慮增加因子或者其他措施。13金融經濟學當前第13頁\共有81頁\編于星期五\15點對于證券i，由（8.2）其回報率的均值（期望值）為其回報率的方差因子風險非因子風險對于證券i和j而言，它們之間的協(xié)方差為（8.3）14金融經濟學當前第14頁\共有81頁\編于星期五\15點單因子模型的優(yōu)點單因子模型能夠大大簡化我們在均值-方差分析中的估計量和計算量。假定分析人員需要分析n種股票，則均值－方差模型：n個期望收益，n個方差，(n2-n)/2個協(xié)方差單因子模型：n個期望收益，n個bi，n個殘差，一個因子f方差，共3n＋1個估計值。若n＝50，前者為1325，后者為151。15金融經濟學當前第15頁\共有81頁\編于星期五\15點單因子模型具有兩個重要的性質風險的分散化分散化導致因子風險的平均化分散化縮小非因子風險16金融經濟學當前第16頁\共有81頁\編于星期五\15點假設殘差有界，即

且組合p高度分散化，即wi充分小，則對于資產i成立則有從而17金融經濟學當前第17頁\共有81頁\編于星期五\15點單因素模型的簡化是有成本的，它僅僅將資產的不確定性簡單地認為與僅僅與一個因子相關，這些因子如利率變化，GDP增長率等。例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對GDP不敏感，后者對利率不敏感。單因素模型難以把握公司對不同的宏觀經濟因素的反應。8.2.2多因子模型18金融經濟學當前第18頁\共有81頁\編于星期五\15點兩因子模型若只考慮一期的模型，則可以省略表示時間的下標，從而兩因子模型方程為19金融經濟學當前第19頁\共有81頁\編于星期五\15點在兩因子模型下，對于證券i

，其回報率的均值其回報率的方差對于證券i和j，其協(xié)方差為證券i對因子1的敏感度20金融經濟學當前第20頁\共有81頁\編于星期五\15點兩因子模型同樣具有單因子模型的重要優(yōu)點：有關資產組合有效邊界的估計和計算量大大減少（但比單因子增加），若要計算均方有效邊界，需要n個期望收益，n個bi1，n個bi2，n個殘差，2個因子f方差，1個因子間的協(xié)方差，共4n＋3個估計值。分散化導致因子風險的平均化。分散化縮小非因子風險。21金融經濟學當前第21頁\共有81頁\編于星期五\15點多因子模型對于n種證券相關的m（m<n)個因子，證券i的收益可以表示為22金融經濟學當前第22頁\共有81頁\編于星期五\15點CAPM與APT建立在均值-方差分析基礎上的CAPM是一種理論上相當完美的模型，但實際上只有理論意義，因為假設條件太多、太嚴格！除CAPM理論外，另一種重要的定價理論是由StephenRoss在1976年建立的套利定價理論（Arbitragepricingtheory，APT），從另一個角度探討了資產的定價問題。市場均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論=CAPM無套利假定下因子模型=APT8.3套利定價理論（APT）23金融經濟學當前第23頁\共有81頁\編于星期五\15點CAPM是建立在一系列假設之上的非常理想化的模型，這些假設包括HarryMarkowitz建立均值-方差模型時所作的假設。這其中最關鍵的假設是同質性假設。相反，APT所作的假設少得多。APT的基本假設之一是：個體是非滿足，而不需要風險規(guī)避的假設！每個人都會利用套利機會：在不增加風險的前提下提高回報率。只要一個人套利，市場就會出現(xiàn)均衡！24金融經濟學當前第24頁\共有81頁\編于星期五\15點定義：套利（Arbitrage）是同時持有一種或者多種資產的多頭或空頭，從而存在不承擔風險的情況下鎖定一個高于無風險利率的收益。不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！兩種套利方法：當前時刻凈支出為0，將來獲得正收益（收益凈現(xiàn)值為正）當前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。25金融經濟學當前第25頁\共有81頁\編于星期五\15點1.特征：（1）買入、賣出同時完成；（2）交易者不承擔任何風險；（3）不需要投資但有正的收益，或者交易利潤率大于無風險利率。2.風險套利：實踐中的套利行為投資者在特定市場同時進行買入、賣出交易的行為。先尋找具有不同價格的商品交易機會，當價差大到足以補償交易成本以及所承擔的可能風險時，套利者會迅速兩邊下單，完成交易。當前第26頁\共有81頁\編于星期五\15點套利與投機交易的區(qū)別盈利的理念不同。操作的方式不同。套利的風險較小。套利的成本較低。當前第27頁\共有81頁\編于星期五\15點假設現(xiàn)在6個月即期年利率為10%（連續(xù)復利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個月到1年期的遠期利率定為11%，則有套利機會。套利過程是：交易者按10%的利率借入一筆6個月資金（假設1000萬元）簽訂一份協(xié)議（遠期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價格6個月后從市場借入資金1051萬元（等于1000e0.10×0.5）。28金融經濟學當前第28頁\共有81頁\編于星期五\15點按12%的利率貸出一筆1年期的款項金額為1000萬元。1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元（等于1000e0.12×1），并用1110萬元（等于1051e0.11×0.5）償還1年期的債務后，交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。29金融經濟學當前第29頁\共有81頁\編于星期五\15點套利交易的基本方式（一）跨品種交易利用兩種不同的，但相互關聯(lián)的品種的合約價格差異進行套利，即買入某一交割月份某種品種的合約，同時賣出另一相同交割月份、相互關聯(lián)的品種的合約，以期在有利時機同時將兩種合約對沖平倉獲利。在商品期貨市場，分成兩種情況：一是相關商品之間的套利；二是原料與成品之間的套利。當前第30頁\共有81頁\編于星期五\15點當前第31頁\共有81頁\編于星期五\15點當前第32頁\共有81頁\編于星期五\15點（二）跨市場套利在某個交易所買入（或賣出）某一交割月份的某種商品合約的同時，在另一個交易所賣出（或買入）同一交割月份的同種商品合約，以期在有利時機分別在兩個交易所對沖在手的期貨合約，以期在有利時機分別在兩個交易所對沖在手的合約獲利。注意的因素：運輸費用、交割品級的差異、交易單位與匯率波動、保證金和傭金成本。當前第33頁\共有81頁\編于星期五\15點當前第34頁\共有81頁\編于星期五\15點有什么錯誤？當前第35頁\共有81頁\編于星期五\15點（三）期現(xiàn)套利某種期貨合約，當期貨市場與現(xiàn)貨市場在價格上出現(xiàn)差距，交易者就會利用兩個市場低買高賣，從而縮小現(xiàn)貨市場與期貨市場間的價差。當前第36頁\共有81頁\編于星期五\15點當前第37頁\共有81頁\編于星期五\15點（四）跨期套利在同一市場（主要是指同一交易所）上同時買入、賣出標的相同、不同交割月份的期貨合約，以期在有利時機同時將兩個交割月份不同的合約對沖平倉獲利。分類:1.牛市套利:在正向市場上，如果攻擊不足，需求相對旺盛，則會導致近期月份合約價格的上升幅度大于遠期月份合約，則買入近期月份合約的同時，賣出遠期月份合約而進行牛市套利。2.熊市套利:在正向市場上，若近期供給增加，需求減少，則近期合約價格的跌幅大于遠期合約的跌幅，或者近期合約的漲幅小于遠期合約價格的漲幅，則賣出近期合約的同時，買入遠期合約而進行熊市套利。3.蝶式套利：利用不同交割月份的價差進行套期獲利，由兩個方向相反、共享居中交割月份合約的跨期套利組成。當前第38頁\共有81頁\編于星期五\15點當前第39頁\共有81頁\編于星期五\15點當前第40頁\共有81頁\編于星期五\15點當前第41頁\共有81頁\編于星期五\15點當前第42頁\共有81頁\編于星期五\15點（五）無風險套利套利定價理論中的套利是無風險套利。它的特點是完全沒有風險。當前第43頁\共有81頁\編于星期五\15點套利交易發(fā)生的條件資產定價出現(xiàn)偏差1.相同的資產的不同市場上價格不同2.相同現(xiàn)金流的資產價格不同3.用未來價格確定的資產不存在對套利的限制以及套利成本小于套利收益。當前第44頁\共有81頁\編于星期五\15點無套利原則（Non-arbitrageprinciple)：根據一價定律（thelawofoneprice），兩種具有相同風險的資產（組合）不能以不同的期望收益率出售。套利行為將導致一個價格調整過程，最終使同一種資產的價格趨于相等，套利機會消失當前第45頁\共有81頁\編于星期五\15點APT的基本原理：由無套利原則，在因子模型下，具有相同因子敏感性的資產（組合）應提供相同的期望收益率。APT與CAPM的比較

APT對資產的評價不是基于馬克維茨模型，而是基于無套利原則和因子模型。不要求“同質期望”假設，并不要求人人一致行動。只需要少數投資者的套利活動就能消除套利機會。不要求投資者是風險規(guī)避的！46金融經濟學當前第46頁\共有81頁\編于星期五\15點8.3.1APT的基本假設市場是有效的、充分競爭的、無摩擦的（Perfectlycompetitiveandfrictionlesscapitalmarkets）；投資者是不知足的：只要有套利機會就會不斷套利，直到無利可圖為止。因此，不必對投資者風險偏好作假設？資產的回報可以用因子表示47金融經濟學當前第47頁\共有81頁\編于星期五\15點APT假設證券回報可以用預期到的回報和未預期到的回報兩個部分來解釋，構成了一個特殊的因子模型未預期到的變化預期的回報f是證券i的某個因子的變化，基于有效市場理論，它是不可預測的。要依靠“舊”的f來獲利是不可能的！48金融經濟學當前第48頁\共有81頁\編于星期五\15點若市場有效，則t-1時刻的信息集預測t時刻的價格無效，這等價于t-1時刻信息無法預測t時刻的因子，即對于因子的變化沒有任何傾向——公平賭局（Fairgame）從有效市場的理論來看，價格（回報）的不可預測，本質上是信息的不可預測，也就是因子的變化不可預測，這些信息既有宏觀的、也有微觀的。49金融經濟學當前第49頁\共有81頁\編于星期五\15點8.3.2構建套利組合（Arbitrageportfolio）零投資：套利組合中對一種證券的購買所需要的資金可以由賣出別的證券來提供，即自融資（Self-financing）組合。無風險：在因子模型條件下，因子波動導致風險，因此，無風險就是套利組合對任何因子的敏感度為0。正收益：套利組合的期望收益大于零。50金融經濟學當前第50頁\共有81頁\編于星期五\15點用數學表示就是（8.1）（8.2）（8.3）51金融經濟學當前第51頁\共有81頁\編于星期五\15點例子：構建套利組合iE(R)b股票120%4股票215%2.5股票310%3金融經濟學當前第52頁\共有81頁\編于星期五\15點條件：例子：金融經濟學當前第53頁\共有81頁\編于星期五\15點8.3.3套利定價模型假設投資者構造這樣的資產組合：（1）無風險利率借入1元錢；（2）1元錢投資在兩種資產，這樣構造一個自融資組合。54金融經濟學當前第54頁\共有81頁\編于星期五\15點若不存在套利機會，則該套利組合的收益為0根據條件（2），55金融經濟學當前第55頁\共有81頁\編于星期五\15點命題8.1：假設n種資產其收益率m個因子決定（m<n），即其中，i=1,2,…,n，j=1,2,…,m，則嚴格證明56金融經濟學當前第56頁\共有81頁\編于星期五\15點證明：假設在資產i上投資wi，構造零投資且無風險的組合，即wi滿足下列條件零投資無風險（8.5）（8.4）即，1、bj（j=1,2,…,m)線性無關。57金融經濟學當前第57頁\共有81頁\編于星期五\15點如果市場有效，則不會有套利均衡，即零投資、無風險的組合必然是無收益的，從而只要（8.4）和（8.5）成立，則蘊含(followed)這等價于，只要對于任意的W，必然有58金融經濟學當前第58頁\共有81頁\編于星期五\15點又由于非零向量1,b1,b2,…,bm線性無關，則必定落在由1,b1,b2,…,bm張成的向量空間Rm+1中，也就是存在一組不全為零的數使得證畢。理解：必須落在Rm+1空間中，才能必然成立1和bj是該空間的一組基59金融經濟學當前第59頁\共有81頁\編于星期五\15點abC在向量空間中，如果向量a、b正交于c，蘊含著d正交與c，則d必須落在由a和b張成的二維空間上，d可以由a、b線性表示！0示意圖：向量空間當前第60頁\共有81頁\編于星期五\15點錯誤的證明當前第61頁\共有81頁\編于星期五\15點APT的意義若bij＝0，則上式退化為無風險資產，則意味著若bij≠0，則期望回報隨著的增加而增大，所以是因子的風險價格。自變量62金融經濟學當前第62頁\共有81頁\編于星期五\15點結論：當所有證券關于因子的風險價格相等時，則證券之間不存在套利。APT的意義63金融經濟學當前第63頁\共有81頁\編于星期五\15點若給定等投資額的證券h多頭和證券l空頭，則形成套利組合。投資者為獲利必定盡可能地購入證券h，從而使其價格上升，預期收益率下降，最終到達APT定價線。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上，只要證券偏離APT定價線就會有套利機會。APT定價線64金融經濟學當前第64頁\共有81頁\編于星期五\15點

APT的另一種表達則稱該組合p為純因子組合(類似于CAPM的市場組合)65金融經濟學當前第65頁\共有81頁\編于星期五\15點在兩因子模型下，我們有即66金融經濟學當前第66頁\共有81頁\編于星期五\15點第1因子的風險價格第2因子的風險價格這樣可將APT的表達式可以改寫為67金融經濟學當前第67頁\共有81頁\編于星期五\15點在多因子模型下證券的期望收益率等于無風險收益率，加上j個因素的風險補償（風險價格×風險因子載荷）；資產對風險因子的敏感度（因子載荷）越大，則其應得到的風險補償越大。68金融經濟學當前第68頁\共有81頁\編于星期五\15點8.4APT與CAPM的比較APT與CAPM的一致性若只有一個風險因子，且純因子組合是市場組合，則當APT與CAPM均成立時有69金融經濟學當前第69頁\共有81頁\編于星期五\15點命題8.2：若純因子組合不是市場組合，APT與CAPM可能不一致。證明：只要證明存在一個反例上式兩邊同除以并且定義70金融經濟學當前第70頁\共有81頁\編于星期五\15點由于很小，不妨把它忽略，則有如果APT也成立，且滿足CAPM，則得到71金融經濟學當前第71頁\共有81頁\編于星期五\15點若因素f與市場組合正相關，那么也就是，如果CAPM成立，則必然要求上述條件成立，它構成了對APT中的約束。72金融經濟學當前第72頁\共有81頁\編于星期五\15點但是，如果APT成立，不受CAPM約束，即僅從APT本身推斷，必有只有當才成立反之，如果則對于證券i的定價就會出現(xiàn)不同73金融經濟學當前第73頁\共有81頁\編于星期五\15點即如果純因子組合不是市場組合，APT與CAPM可能不一致。74金融經濟學當前第74頁\共有81頁\編于星期五\15點若純因子組合不是市場組合，則APT與CAPM不一定一致，CAPM僅僅是APT的特例。當且僅當純因子組合是市場組合時，CAPM與APT等價。在CAPM中，市場組合居于不可或缺的地位（若無此，則其理論瓦解），但APT即使在沒有市場組合條件下仍成立。APT模型可以得到與CAPM類似的期望回報-b直線關