高教版中職數(shù)學(xué)拓展模塊全冊(cè)教案【表格式教案】

高教版中職數(shù)學(xué)拓展模塊

全冊(cè)教案

目錄

11.1兩角和與差的正弦公式與余弦公式（一）.......1

i1.1兩角和與差的正弦公式與余弦公式（二）.......8

11.2正弦型函數(shù)（一）..........................15

11.2正弦型函數(shù)（二）..........................20

11.2正弦型函數(shù)（三）..........................29

11.3正弦定理與余弦定理（一）..................35

11.3正弦定理與余弦定理（二）..................41

11.3正弦定理與余弦定理（三）..................46

12.1橢圓（一）................................51

12.1橢圓（二）................................58

12.2雙曲線（一）..............................66

上2.2雙曲線（二）..............................73

12.3拋物線（一）..............................81

上2.3拋物線（二）..............................89

13.1排列與組合（一）..........................95

i3.1排列與組合（二）.......................102

13.1排列與組合（三）.........................108

4-3.2二項(xiàng)式定理.............................113

13.3離散型隨機(jī)變量及其分布（一）...........119

上3.3離散型隨機(jī)變量及其分布（二）...........126

上3.4二項(xiàng)分布（一）..........................132

上3.4二項(xiàng)分布（二）..........................137

L3.5正態(tài)分布................................144

1.1兩角和與差的正弦公式與余弦公式(一)

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)目標(biāo)：

理解兩角和與差的正弦公式與余弦公式，能正確運(yùn)用各個(gè)公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的

計(jì)算和化簡.

能力目標(biāo)：

學(xué)生逆向思維能力及靈活選用公式解決問題的能力得到提高.

【教學(xué)重點(diǎn)】

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是兩角和與差的正弦公式與余弦公式.

【教學(xué)難點(diǎn)】

難點(diǎn)是公式的推導(dǎo)和運(yùn)用.

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

在介紹新知識(shí)之前，首先利用特殊角的三角函數(shù)值，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到

cos(60°一30°)Wcos600-cos30°,

然后提出如何計(jì)算cos(a-0的問題.利用矢量論證cos(a-0的公式，使得公式推導(dǎo)過

程簡捷.教學(xué)重點(diǎn)放在對(duì)公式形式特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和對(duì)公式正向與反向的應(yīng)用上.例1和例2

都是兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)公式的特點(diǎn).推廣sin(5-a)=cosa時(shí)，

用到了換元的思想，培養(yǎng)學(xué)生的整體觀念和變換的思維.公式sin(a+0的推導(dǎo)過程是，首

先反向應(yīng)用例3中的結(jié)論cos(工-a)=sina,然后再利用公式cos(a-p),最后整理得到公

式.教學(xué)關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生將(a+尸)看做整體，這樣才能應(yīng)用公式cos(]-a).逆向使用公式,

培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，在不同的例題和不同知識(shí)層面的教學(xué)

上引起足夠的重視.得到這些公式后，要強(qiáng)調(diào)公式cos(a-Q)是最基本的公式，要求學(xué)生理

解其他公式的推導(dǎo)過程，同時(shí)將公式sin(a±0和公式cos(a±0相對(duì)比進(jìn)行記憶.要幫助

學(xué)生總結(jié)公式中角a和角尸以及函數(shù)名稱排列的特點(diǎn)和符號(hào)的特點(diǎn)，教會(huì)學(xué)生利用這些特

點(diǎn)記憶公式.抓住特點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)化記憶的記憶能力培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)重要任務(wù).例4利用

15。=60。-45。求解，還可以利用15。=45。-30。求解.例5通過逆向使用公式來鞏固知識(shí)，

這種方法在三角式的變形中經(jīng)常使用.例6是三角證明題.教材給出了兩種證明方法，體現(xiàn)

了正向與逆向使用公式的思路.教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)這兩種使用方法，通過具體例題的分析，使得

學(xué)生明白正向和反向應(yīng)用公式的原因，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

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【教學(xué)備品】

教學(xué)課件.

【課時(shí)安排】

2課時(shí).（90分鐘）

【教學(xué)過程】

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

*揭示課題

介紹了解0

1.1兩角和與差的正弦公式與余弦公式.

*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入

1c播放觀看引導(dǎo)

問題我們知道，cos60o=Lcos30o=火，顯然

22課件課件啟發(fā)

cos（60°-30°）Wcos60°-cos30°.學(xué)生

質(zhì)疑思考得出

由此可知cos（a-尸）￥cosa-cos

結(jié)果5

*動(dòng)腦思考探索新知

晶

V71

思考

在單位圓（如圖1-1）中，設(shè)向量5、而與X軸正半軸

的夾角分別為a和°，則點(diǎn)4（cosa,sina）,點(diǎn)8（cos^sin^）.

因此向量04=（cosa,sina；，向量0B=（cos夕,sin夕），且

麗=1,畫=1.

總結(jié)

歸納啟發(fā)

于是OA-OB=|OA||OB|?cos（a一1）=cos（a-/3）,

引導(dǎo)

學(xué)生

又OA.OB=cosa?cos夕+sina?sin夕，

發(fā)現(xiàn)

所以cos（a一B）=cosacos夕+sina?sin夕.（1）解決

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教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

問題

又cos（a+4）=cos[a-（一見

的方

=cosa?cos（一夕）+sina?sin（一4）法

=cosa-cos夕一sina?sin夕.（2）

利用誘導(dǎo)公式可以證明，（1）、（2）兩式對(duì)任意角都成立（證仔細(xì)

分析理解

明略）.由此得到兩角和與差的余弦公式

講解

cos（a+，）=cosa-cos一sina?sin夕（1.1）關(guān)鍵

詞語

cos（a-，）=cosa-cos/?+sina?sinB，（1.2）

公式（1.1）反映了a+月的余弦函數(shù)與a,4的三角函

數(shù)值之間的關(guān)系；公式（1.2）反映了a-4的余弦函數(shù)與a,

尸的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.記憶

15

*鞏固知識(shí)典型例題

例1求cos75。的值.

引領(lǐng)觀察

分析可利用公式（1.1）,將75°角看作45°角與30°

角之和.

解cos750=cos（45°+30°）

=cos45°cos30°-sin45°sin30°

講解思考

V2V3721

=——X----------X—說明

2222

主動(dòng)注意

A/6-A/2求解觀察

4學(xué)生

34是否

例2設(shè)cosa=《,cosQ=《，并且a和2都是銳角，求

引領(lǐng)觀察理解

cos（a+夕）的值.知識(shí)

點(diǎn)

分析可以利用公式（1.1）,但是需要首先求出sina與

sin尸的值.分析思考

解因?yàn)閏osa=1R,cos/?=14,并且a和夕都是銳角，

說明

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教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

所以sina=，1-cos2a=1,sin/?=>23

/1-COSB=一,

5

因此cos(a+夕)=cosacos夕一sinasin/?,

_3443

X----x-=0.

~5555

._jrjr

例3分別用5111?；?5。，表示85（萬-。）與sinq-a）.

71啟發(fā)理解

解bJJcos(/-兀-a)、-cos—兀?cosa+si,n--sina

2引導(dǎo)

=0cos6r+lsincr=sina□答

兀

故cos(—一a)=sina.

令5-a=A，則a=^-力，代入上式得

學(xué)生

1Jl

cosft-sin(y-ft)啟發(fā)自我

發(fā)現(xiàn)

兀

即sin(y-a)=cosa.分析歸納

25

*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)及時(shí)

了解

1.求cos105。的值.

提問動(dòng)手知識(shí)

2.求cosl5。的值.

巡視求解掌握

指導(dǎo)情況35

*動(dòng)腦思考探索新知

71

由于cos(--a)=sina.對(duì)于任意角者15成立，所以

總結(jié)思考

會(huì)(a+0弓-a)”

sin(a+B)=cos=cos歸納啟發(fā)

引導(dǎo)

5-a)?sin夕

=cos(_a)?cosB+sin(學(xué)生

=sina?cos0+cosa?sin".發(fā)現(xiàn)

理解解決

sin(a-B)=sis[a+(一夕)]=sina-cos(一4)+cosa-sin(-/?)

仔細(xì)問題

分析

=sina-cosp-cosa?sinp.的方

講解法

由此得到，兩角和與差的正弦公式

關(guān)鍵

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教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

sin(a+4)=sina?cosp+cosa?sin夕(1.3)詞語記憶40

sin(6Z-y0)=sin-cos/3-cosa-sin0(1.4)

*鞏固知識(shí)典型例題

例4求sin15。的值.

引領(lǐng)觀察注意

分析可以利用公式(1.1),將15°角可以看作是60°

觀察

角與45°角之差.學(xué)生

解sinl50=sin(60o-45°)是否

=sin60°cos45°-cos60°sin45°理解

講解思考

V3V21V2知識(shí)

=——X------X——

2222說明點(diǎn)

屈-五主動(dòng)

4求解

例5求sinl05°cos750-cosl05°sin750的值.

引領(lǐng)觀察

分析所給的式子恰好是公式右邊的形式，可以考慮逆向

使用公式.學(xué)生

解sin1050cos750-cos105°sin75°=sin(l05°-75°)自我

1分析思考發(fā)現(xiàn)

=sin30°=--

2歸納

例6求證68501+5出。=25出(1+。).

說明理解

證1右邊二2(sin—cosa+cos—sina)

,1.、

=2、小(-cos6Z+—sina)

二百cosa+sina=左邊.

故原式成立.

hi

證2左邊二2('cosa+ssina)

?.兀兀.、

=2(sm—cosa+cos—sma)

=2sin(y-i-a)=右邊.

故原式成立.

55

*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)及時(shí)

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教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

1.求sinl05。的值.了解

提問動(dòng)手學(xué)生

2.求sin255。的值.

巡視求解知識(shí)

3.求sin25°cos85°-cos25°sin85°的值.

指導(dǎo)掌握

情況65

*理論升華整體建構(gòu)

思考并回答下面的問題：

質(zhì)疑小組師生

兩角和與差的余弦公式及正弦公式內(nèi)容分別是什么？

討論共同

結(jié)論：歸納

回答強(qiáng)調(diào)

兩角和與差的余弦公式

重點(diǎn)

cos(a+4)=cosa.cos夕一sina?sin夕(1.1)理解突破

歸納

難點(diǎn)

cos(a-=cosa?cos￡+sina?sin夕(1.2)強(qiáng)調(diào)強(qiáng)化

兩角和與差的正弦公式

sin(a+夕)=sina?cosp+cosa?sin(1.3)

sin(a一4)=sina?cos(3-cosa?sin/(1.4)

70

*歸納小結(jié)強(qiáng)化思想

引導(dǎo)回憶

本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？

75

*自我反思目標(biāo)檢測培養(yǎng)

本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？學(xué)生

提問反思總結(jié)

你的學(xué)習(xí)效果如何？

反思

已知cosa=-且兀求sin（a-：）的值.學(xué)習(xí)

巡視動(dòng)手過程

指導(dǎo)求解的能

85

力

*繼續(xù)探索活動(dòng)探究

說明記錄

（1）讀書部分：教材分層

次要

（2）書面作業(yè)：教材習(xí)題1.1（必做）；學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.1（選

求

做）

（3）實(shí)踐調(diào)查：用兩角和與差的余弦公式或正弦公式印證

90

一組誘導(dǎo)公式

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【教師教學(xué)后記】

項(xiàng)目反思點(diǎn)

學(xué)生是否真正理解有關(guān)知識(shí)；

學(xué)生知識(shí)、技能的掌握情況是否能利用知識(shí)、技能解決問題；

在知識(shí)、技能的掌握上存在哪些問題：

學(xué)生是否參與有關(guān)活動(dòng)；

學(xué)生的情感態(tài)度在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，是否認(rèn)真、積極、自信；

遇到困難時(shí)，是否愿意通過自己的努力加以克服；

學(xué)生是否積極思考；

思維是否有條理、靈活；

學(xué)生思維情況

是否能提出新的想法；

是否自覺地進(jìn)行反思；

學(xué)生是否善于與人合作；

學(xué)生合作交流的情況在交流中，是否積極表達(dá)；

是否善于傾聽別人的意見；

學(xué)生是否愿意開展實(shí)踐；

能否根據(jù)問題合理地進(jìn)行實(shí)踐；

學(xué)生實(shí)踐的情況

在實(shí)踐中能否積極思考；

能否有意識(shí)的反思實(shí)踐過程的方面；

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1.1兩角和與差的正弦公式與余弦公式(二)

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)目標(biāo)：

理解兩角和與差的正切公式，了解二倍角公式，能正確運(yùn)用各個(gè)公式進(jìn)行簡單的三角函

數(shù)式的計(jì)算和化簡.

能力目標(biāo)：

學(xué)生逆向思維能力及靈活選用公式解決問題的能力得到提高.

【教學(xué)重點(diǎn)】

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是二倍角公式.

【教學(xué)難點(diǎn)】

難點(diǎn)是公式的推導(dǎo)和運(yùn)用.

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

考慮到學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的需求，介紹兩角和與差的正切公式。例7是應(yīng)用兩角和正切公式

的基本題目.例8的兩道題目，對(duì)學(xué)生來說是比較困難的，但是這兩道題目是非常關(guān)鍵的.要

以他們?yōu)檩d體，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.對(duì)例8(2),要引導(dǎo)學(xué)生思考，將兩個(gè)地方的1

用tan45。替換，就可以利用兩角和正切公式了.本例題所使用的方法，在三角式變形中經(jīng)

常使用.

明確二倍角的概念.二倍角的實(shí)質(zhì)是用一個(gè)角的三角函數(shù)表示這個(gè)角的二倍角的三角函

數(shù).二倍角余弦公式的三種形式同等重要，要分析這三種公式各自的形式特點(diǎn).例9中，要

想利用正弦二倍角公式，必須首先求出余弦函數(shù)值.求cos2a時(shí)，使用的公式有利用同角三

角函數(shù)關(guān)系、利用cosa和利用sina的三類公式可供選擇.選用公式cos2a=l-2sin2a的

主要原因是考慮到sina是已知量.例10中，討論式角的范圍是因?yàn)槔猛侨呛瘮?shù)關(guān)

2

系求sint時(shí)需要開方.旨在讓學(xué)生熟悉：只要具備二倍角關(guān)系，就可以使用公式.教材在

2

求sinq時(shí)，利用了升塞公式，由討論@角的范圍來決定開方取正號(hào)還是負(fù)號(hào)?.雖然這里就

42

是實(shí)際上使用半角公式，但是教材與大綱中，都沒有引入半角公式的要求，因此，不補(bǔ)充半

角公式，只作為二倍角余弦變形的應(yīng)用來介紹.例11是三角證明題.證明的基本思路是將

角用半角來表示，再進(jìn)行三角式的化簡.

【教學(xué)備品】

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教學(xué)課件.

【課時(shí)安排】

2課時(shí).（90分鐘）

【教學(xué)過程】

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

*揭示課題

1.1兩角和與差的正弦公式與余弦公式.介紹了解引導(dǎo)0

啟發(fā)

*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入播放觀看學(xué)生

問題兩角和的余弦公式內(nèi)容是什么？課件課件得出

兩角和的余弦公式內(nèi)容是什么？質(zhì)疑思考結(jié)果5

*動(dòng)腦思考探索新知

由同角三角函數(shù)關(guān)系，知

總結(jié)思考

A\_sin(a+￡)_sinacos￡+cosasin￡歸納

tan(a+p)__?

cos(a+p)cosacos°-sinasinp

當(dāng)cosacos尸wO時(shí)，得到仔細(xì)理解啟發(fā)

分析引導(dǎo)

八、tana+tan。學(xué)生

tanz(a+4)=------------(1.5)講解

1-tan6T-tan/?關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)

解決

利用誘導(dǎo)公式可以得到詞語

問題

,a、tan6Z-tanB

tan(a-￡)=----------J(1.6)的方

1+tana-tanp法

注意在兩角和與差的正切公式中，a,￡的取值應(yīng)使式子記憶

的左右兩端都有意義.15

*鞏固知識(shí)典型例題

例7求tan75°的值,引領(lǐng)觀察

注意

分析可以將75°角看作30°角與45°角的和.

講解思考觀察

*ru。,cc。，tan300+tan45"

解tan75=tan(30+45)=--------------說明學(xué)生

1-tan30°tan45°

主動(dòng)是否

求解理解

知識(shí)

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教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

凡1點(diǎn)

='=塔=2+6.引領(lǐng)觀察

IV33-V3思考

1------

3分析

例8求下列各式的值

八、tan25°+tan35°…、1+tan15°

(1)；(2)--------------.

1-tan250tan3501-tan15°

分析(1)題可以逆用公式(1.3)：(2)題可以利用說明

tan45°=1進(jìn)行轉(zhuǎn)換.學(xué)生

自我

解(1)tan2：)+tan35-=tan(25°+35°)

1-tan25°tan35°發(fā)現(xiàn)

啟發(fā)歸納

=tan60°=G；

引導(dǎo)

/c、1+tan15°tan450+tan15°

(2)--------------------=----------------------

1-tan15°1-tan45°tan15°理解

=tan(45°+15°)=tan60°=?.啟發(fā)

□答

25

【小提示】分析

例4(2)中，將1寫成tan45°,從而使得三角式可以應(yīng)用

公式.要注意應(yīng)用這種變形方法來解決問題.

*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)

1.求tan15°的值.提問動(dòng)手及時(shí)

巡視求解了解

2.求tanl050的值.指導(dǎo)知識(shí)

3.求.[tan、的值.掌握

1+V3tanl5°情況

35

*動(dòng)腦思考J采索新知

在公式(1.3)中，令a=/3可以得到二倍角的正弦公式

sin2a=sinacosa+cosasintz=2sincrcosa.

即

sin2a=2sinacosa(1.7)

總結(jié)思考啟發(fā)

同理，/A式(1.1)中，令a=/3,可以得到二倍角的余弦

y?納引導(dǎo)

公式學(xué)生

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教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

cosla=cos26Z-sin2a(1.8)發(fā)現(xiàn)

解決

因?yàn)閟iYa+cos2a=1,所以公式(1.8)又可以變形為

問題

cos2a=2cos2,的方

或cos2a=1-2sin2a.法

還可以變形為

.21-cos2a

sina=------------,

2

t1+cos2a仔細(xì)

或cos~2a-------------.

2分析理解

講解

在公式(1.5)中，令a=B，可以得到二倍角的正切公式

關(guān)鍵

2tana

tan2。-(1.9)訶語

1-tan7a

公式（1.7）、（1.8）、（1.9）及其變形形式，反映出具有二

倍關(guān)系的角的三角函數(shù)之間的關(guān)系.在三角的計(jì)算中有著廣泛

的應(yīng)用.

記憶

40

*鞏固知識(shí)典型例題

例9已知sina=g,且。為第二象限的角，求sin2a、引領(lǐng)觀察

cos2a的值.

解因?yàn)镼為第二象限的角，所以

注意

cos6Z=-Vl-sin2a=,觀察

講解思考學(xué)生

士卜?c0?24

nxsin2a—2sincccosOC—，說明是否

25

主動(dòng)理解

.27

cos2a=l-2sina=—.求解

25知識(shí)

a]ex點(diǎn)

例10已知cos—二-一，且ac（7i,27t），求sina、cos—的引領(lǐng)觀察

234

值.

分析q與a,q與q之間都是具有二倍關(guān)系的角.

224

分析思考

第11頁共156頁

教學(xué)教師學(xué)生教學(xué)時(shí)

過程行為行為意圖間

解由aw（兀,2兀）知（］,兀），所以

.aL2aI,12j2

sm^yi-co/Tl-曠丁,

故

_.cra、26,1、4V2

sina=2sin—cos—=2x------x(一一)=-----.

22339

由于巴￡(巴,四)，且

442說明理解學(xué)生

自我

1+cos1+(—).

d=2=3、［發(fā)現(xiàn)

4223歸納

所以

aV3

cos-=——.

43

【注意】

使用公式（1.8）的變形公式求三角函數(shù)的值時(shí)，經(jīng)常需要

進(jìn)行開方運(yùn)算，因此，要首先確定角的范圍.

例11求訐tan°二l一際。

2sina

2aa

cos—cos—

g.aa個(gè).a2

2sin—cos—2sin—