福州第一中學2024年數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題含解析

福州第一中學2024年數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.2．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的可能為（）A.9 B.5C.4 D.34．甲、乙、丙、丁四位同學一起去找老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有位優(yōu)秀，位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）A.乙、丁可以知道自己的成績 B.乙、丁可以知道對方的成績C.乙可以知道四人的成績 D.丁可以知道四人的成績5．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．已知、分別是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上一動點，圓C與的延長線、的延長線以及線段相切，若為其中一個切點，則（）A. B.C. D.與2的大小關(guān)系不確定7．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點，焦點，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長為，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.8．下列數(shù)列中成等差數(shù)列的是（）A. B.C. D.9．已知圓C的方程為，點P在圓C上，O是坐標原點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.10．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.-4 B.4C.-2 D.211．如圖，用隨機模擬方法近似估計在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中陰影部分的面積，先產(chǎn)生兩組區(qū)間上的隨機數(shù)和，因此得到1000個點對，再統(tǒng)計出落在該陰影部分內(nèi)的點數(shù)為260個，則此陰影部分的面積約為（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.9212．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若分別是平面的法向量，且，，，則的值為________.14．如圖所示莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，若乙的總成績是445，則污損的數(shù)字是________15．已知等比數(shù)列滿足，，公比，則的前2021項和______16．若復數(shù)滿足，則_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于兩點.（1）若直線的斜率為1，求；（2）若，求直線的方程.18．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接（1）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值；（3）若面與面所成二面角的大小為，求的值19．（12分）已知直線與直線交于點.（1）求過點且平行于直線的直線的方程，并求出兩平行直線間的距離；（2）求過點并且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程.20．（12分）已知點到兩個定點的距離比為（1）求點的軌跡方程；（2）若過點的直線被點的軌跡截得的弦長為，求直線的方程21．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，中國一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享的發(fā)展理念，著力促進經(jīng)濟實現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國新能源汽車銷量占總銷量將達20%以上.2021年，某集團以20億元收購某品牌新能源汽車制造企業(yè)，并計劃投資30億元來發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車的銷售量為10萬輛，每輛車的平均銷售利潤為3000元．據(jù)專家預(yù)測，以后每年銷售量比上一年增加10萬輛，每輛車的平均銷售利潤比上一年減少10%（1）若把2021年看作第一年，則第n年的銷售利潤為多少億元？（2）到2027年年底，該集團能否通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利？（實現(xiàn)盈利即銷售利潤超過總投資，參考數(shù)據(jù)：，，）22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的菱形，且，側(cè)棱，，M是PC的中點，設(shè)，，（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】設(shè)點P到準線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點到直線的距離最短求出【題目詳解】如圖所示：設(shè)點P到準線的距離為，準線方程為，所以，當且僅當點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標為故選：B2、A【解題分析】因為直線和直線垂直，所以或，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷得解.【題目詳解】因為“直線和直線垂直，所以或.當時，直線和直線垂直；當直線和直線垂直時，不一定成立.所以是直線和直線垂直的充分不必要條件，故選：A3、D【解題分析】根據(jù)輸出結(jié)果可得輸出時，結(jié)合執(zhí)行邏輯確定輸入k的可能值，即可知答案.【題目詳解】由，得，則輸人的可能為.∴結(jié)合選項知：D符合要求.故選：D.4、A【解題分析】分析可知乙、丙的成績中必有位優(yōu)秀、位良好，結(jié)合題意進行推導，可得出結(jié)論.【題目詳解】由于個人中的成績中有位優(yōu)秀，位良好，甲知道乙、丙的成績，還是不知道自己的成績，則乙、丙的成績必有位優(yōu)秀、位良好，甲、丁的成績中必有位優(yōu)秀、位良好，因為給乙看丙的成績，則乙必然知道自己的成績，丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績.故選：A.5、B【解題分析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結(jié)論【題目詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B6、A【解題分析】由題意知，圓C是的旁切圓，點是圓C與軸的切點，設(shè)圓C與直線的延長線、分別相切于點、，由切線的性質(zhì)可知：，，，結(jié)合橢圓的定義，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意知，圓C是的旁切圓，點是圓C與軸的切點，設(shè)圓C與直線的延長線、分別相切于點、，則由切線的性質(zhì)可知：，，，所以，所以，所以.故選A【題目點撥】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合，熟記橢圓的定義，以及切線的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.7、C【解題分析】設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因為橢圓的焦點在軸上，故可設(shè)其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.8、C【解題分析】利用等差數(shù)列定義，逐一驗證各個選項即可判斷作答.【題目詳解】對于A，，A不是等差數(shù)列；對于B，，B不是等差數(shù)列；對于C，，C是等差數(shù)列；對于D，，D不是等差數(shù)列.故選：C9、B【解題分析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC，交圓于點P時最小，再計算求值即得結(jié)果.【題目詳解】化簡得圓C的標準方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點P時最小，因為原點到圓心的距離，故此時.故選：B.10、B【解題分析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的通項公式求解.【題目詳解】因為，所以，則，解得，所以.故選：B11、D【解題分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可直接求出答案.【題目詳解】易知，根據(jù)幾何概型的概率公式，得，所以.故選：D.12、A【解題分析】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、－1或－2【解題分析】由題可得，即求.【題目詳解】依題意，，解得或.故答案為：或.14、3【解題分析】設(shè)污損的葉對應(yīng)的成績是x，由莖葉圖可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污損的數(shù)字是3.考點：莖葉圖.15、【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【題目詳解】因為等比數(shù)列滿足，，公比，所以，故答案為：16、【解題分析】設(shè)，則，利用復數(shù)相等，求出，的值，結(jié)合復數(shù)的模長公式進行計算即可【題目詳解】設(shè)，則，則由得，即，則，得，則，故答案為【題目點撥】本題主要考查復數(shù)模長的計算，利用待定系數(shù)法，結(jié)合復數(shù)相等求出復數(shù)是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）8（2）【解題分析】（1）設(shè)，由，進而結(jié)合拋物線的定義，將點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，最后求得答案；（2）由，所以，設(shè)出直線方程并代入拋物線方程，進而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【小問1詳解】設(shè)，拋物線的準線方程為：，因為，由拋物線定義可知，.直線，代入拋物線方程化簡得：，則，所以.【小問2詳解】設(shè)，代入拋物線方程化簡得：，所以，因為，所以，于是則直線的方程為：.18、（1）證明見解析，是鱉臑，四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB（2）4（3）【解題分析】（1）由直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，確定直角即可；（2）PD是陽馬P?ABCD的高，DE是鱉臑D?BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值（3）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線與平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可【小問1詳解】因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE又因為PD＝CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；【小問2詳解】由已知，PD是陽馬P?ABCD的高，∴，由（Ⅰ）知，，在Rt△PDC中，∵PD＝CD，點E是PC的中點，∴，∴【小問3詳解】如圖所示，在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG又因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ，有，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，則，解得所以故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，19、（1）；.（2）或.【解題分析】(1)首先求得交點坐標，然后利用待定系數(shù)法確定直線方程，再根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可計算距離；(2)根據(jù)截距式方程的求法解答【小問1詳解】由得設(shè)直線的方程為，代入點坐標得，∴直線的方程為∴兩平行線間的距離【小問2詳解】當直線過坐標原點時，直線的方程為，即；當直線不過坐標原點時，設(shè)直線的方程為，代入點坐標得，∴直線的方程的方程為，即綜上所述，直線的方程為或20、（1）（2）或【解題分析】（1）設(shè)出，表達出，直接法求出軌跡方程；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，先考慮直線斜率不存在時是否符合要求，再考慮斜率存在時，設(shè)出直線方程，表達出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列出方程，求出直線方程.【小問1詳解】設(shè),則，，故，兩邊平方得：【小問2詳解】當直線斜率不存在時，直線為，此時弦長為，滿足題意；當直線斜率存在時，設(shè)直線，則圓心到直線距離為，由垂徑定理得：，解得：，此時直線的方程為，綜上：直線的方程為或.21、（1）億元（2）該集團能通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利【解題分析】（1）由題意可求得第n年的銷售量，第n年每輛車的平均銷售利潤，從而可求出第n年的銷售利潤，（2）利用錯位相減法求出到2027年年底銷售利潤總和，再與總投資額比較即可【小問1詳解】設(shè)第n年的銷售量為萬輛，則該汽車的年銷售量構(gòu)成首項為10，公差為10的等差數(shù)列，所以，設(shè)