北京私立新亞中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

北京私立新亞中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z=i（z﹣i），則復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出z的坐標(biāo)得答案．【解答】解：∵z=i（z﹣i）=i?z+1，∴z=，∴復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（），在第一象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．2.已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等比數(shù)列，則（

）A.1

B.

C.

D.參考答案：B3.已知集合，則A∩B的元素有()A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：B4.已知α為第二象限的角，且=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A5.一個(gè)空間幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A該幾何體為半圓錐和正三棱柱的組合體，故體積為，故選A．

6.在中,若,則為A.

B.

C.或

D.或參考答案：C7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)于任意的，都滿足，且，則等于（

）

2

參考答案：A8.設(shè)函數(shù)，其中，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍為()

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】A

：∵，∴f'（x）=sinθx2+cosθx∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）

∵θ∈[0,]，∴θ+∈[，]∴sin（θ+）∈[，1]

∴f′（1）∈[，2],故答案為：A．【思路點(diǎn)撥】先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后將x=1代入，再由兩角和與差的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得最后答案．9.已知是直線，、是兩個(gè)不同的平面，命題∥則；命題則∥；命題∥，則，則下列命題中，真命題是（

）A． B． C． D．參考答案：C10.從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng)，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個(gè)數(shù)的和可以為（） A．2097 B． 2112 C． 2012 D． 2090參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x，y滿足，若目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為10，則m的值為．參考答案：5【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到m的值．然后即可得到結(jié)論．【解答】解：不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=3x+y得y=﹣3x+z平移直線y=﹣3x+z，則由圖象可知當(dāng)直線y=﹣3x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y=﹣3x+z的截距最大，此時(shí)z最大，為3x+y=10由，解得，即C（3，1），此時(shí)C在2x﹣y﹣m=0上，則m=5．故答案為：5．12.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的值為

參考答案：13.已知點(diǎn)集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>()2}，則點(diǎn)集A∩B中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為

．參考答案：7解：如圖可知，共有7個(gè)點(diǎn)，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7點(diǎn)．14.數(shù)列的前20項(xiàng)由右圖所示的流程圖依次輸出的值構(gòu)成。則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式_____________。參考答案：15.已知向量=（

）

A．0

B．

C．4

D．8參考答案：B略16.函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且在（﹣∞，0]上是增函數(shù)，若f（a）≤f（2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a≤﹣2或a≥2【分析】由于函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，然后利用單調(diào)性及f（a）≤f（2）得|a|≥2，即可求得a的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)∴y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．又∵y=f（x）在（﹣∞，0]上是增函數(shù)，f（a）≤f（2）∴|a|≥2∴a≤﹣2或a≥2故答案為：a≤﹣2或a≥2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了奇偶函數(shù)的對(duì)稱性，奇偶性與單調(diào)性的綜合，解絕對(duì)值不等式，是個(gè)基礎(chǔ)題．17.已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，5，6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)2的概率是

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求的極值；（II）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（III）若對(duì)任意及任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．B11B12（Ⅰ）極小值為無(wú)極大值.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為

（Ⅲ）解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，.令，得令，得，即在上遞減，在上遞增，所以的極小值為無(wú)極大值.

…4分（Ⅱ），

當(dāng)即時(shí)，令,得或.令得當(dāng)即時(shí)，令,得，令,得當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為.…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值..因?yàn)楹愠闪?，即，整理得，又所以恒成?由得所以………………14分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，令f′（x）=0，解方程，分析導(dǎo)數(shù)的變化情況，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)數(shù)因式分解，比較兩根的大小，確定函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對(duì)任意，恒有成立，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19.（本小題滿分12分）為了解某校高三學(xué)生質(zhì)檢數(shù)學(xué)成績(jī)分布，從該校參加質(zhì)檢的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)中抽取一個(gè)樣本，并分成5組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖．若第一組至第五組數(shù)據(jù)的頻率之比為，最后一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)是6．（Ⅰ）估計(jì)該校高三學(xué)生質(zhì)檢數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?25～140分之間的概率，并求出樣本容量；（Ⅱ）從樣本中成績(jī)?cè)?5～95分之間的學(xué)生中任選兩人，求至少有一人成績(jī)?cè)?5～80分之間的概率．參考答案：（Ⅰ）估計(jì)該校高三學(xué)生質(zhì)檢數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?25～140分之間的概率為，

2分又設(shè)樣本容量為，則，解得，．

4分（Ⅱ）樣本中成績(jī)?cè)?5～80分之間的學(xué)生有=2人，記為；成績(jī)?cè)?0～95分之間的學(xué)生=4人，記為，

5分從上述6人中任選2人的所有可能情形有：

，共15種，

8分至少有1人在65～80分之間的可能情形有共9種，

11分因此，所求的概率．

12分20.已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的范圍.參考答案：略21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，且，．（1）求、的值；（2）已知定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，求

的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：解：（1）由，得，

解得：．····························································································3分（2）由（1），所以，令，，則因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，所以，·················································································8分即的最小值是，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?分（3）問(wèn)題即為對(duì)恒成立，也就是對(duì)恒成立，·····························································10分要使問(wèn)題有意義，或．法一：在或下，問(wèn)題化為對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，①當(dāng)時(shí)，或，②當(dāng)時(shí)，且對(duì)恒成立，對(duì)于對(duì)恒成立，等價(jià)于，令，，則，，，遞增，，，結(jié)合或，對(duì)于對(duì)恒成立，等價(jià)于令，，則，，，遞減，，，，綜上：································································································16分法二：?jiǎn)栴}即為對(duì)恒成立，也就是對(duì)恒成立，·····························································10分要使問(wèn)題有意義，或．故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，令①若時(shí)，由于，故，在時(shí)單調(diào)遞增，依題意，，舍去；②若，由于，故，考慮到