廣西壯族自治區(qū)玉林市福綿鎮(zhèn)第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

廣西壯族自治區(qū)玉林市福綿鎮(zhèn)第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則a的值為A.-5

B.1

C.2

D.3參考答案：D略2.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)恰有兩個點在圓(r>0)上，則A．＝0，＝

B．＝1，＝1C．＝－1，＝

D．＝－1，＝參考答案：D3.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過0的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.

4.(2009山東卷理)某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是(

).A.90

B.75

C.

60

D.45參考答案：A解析：產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)×2=0.300,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,設(shè)樣本容量為,則,所以,凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的概率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是120×0.75=90.故選A.5.函數(shù)y=x3－3x的極大值為m,極小值為n,則m+n為

A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：A6.若一個螺栓的底面是正六邊形，它的主視圖和俯視圖如圖所示，則它的體積是

(

) A.27+12π B.

C.27+3π D.54+3π

參考答案：C該幾何體是一個下面為正六棱柱，上面是一個圓柱的組合體，正六棱柱的體積為，圓柱的體積為，所以總體積為，選C.7.已知{an}為等比數(shù)列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，則a1+a10=（） A．7 B． 5 C． ﹣5 D． ﹣7參考答案：考點： 等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的通項公式．專題： 計算題．分析： 由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，進(jìn)而可求公比q，代入等比數(shù)列的通項可求a1，a10，即可解答： 解：∵a4+a7=2，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4當(dāng)a4=4，a7=﹣2時，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7當(dāng)a4=﹣2，a7=4時，q3=﹣2，則a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7綜上可得，a1+a10=﹣7故選D點評： 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式的應(yīng)用，考查了基本運(yùn)算的能力．8.設(shè)，則“”是“”的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

）A.3， B.3， C.2， D.2，參考答案：D【分析】由圖可得，由此求得，再由函數(shù)的周期可得點，在函數(shù)的圖象上，然后利用對稱性以及五點作圖法列式求得的值．【詳解】解：由圖可得，即，，可得，函數(shù)．，則點在函數(shù)的圖象上．再根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性以及五點法作圖可得，解得，故選：D．【點睛】本題考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的圖象的對稱性、正弦函數(shù)的周期性，五點法作圖，屬于中檔題．10.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.給出如下四個結(jié)論：①2011∈[1]②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”.其中正確的結(jié)論有（）個A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C

本題是一道新定義題，主要考查考生閱讀能力以及提取信息轉(zhuǎn)化與化歸能力。②錯誤，因為；①②③正確，故選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若⊙與⊙(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓茌點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是

．參考答案：412.設(shè)θ為第二象限角，若tan(θ＋)＝，則sinθ＋cosθ＝

．參考答案：－

略13.已知向量，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：14.函數(shù)的定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，當(dāng)時，，則__________.參考答案：615.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F(xiàn)分別為PQ，AB，BC的中點，則異面直線EM與AF所成的角的余弦值是

．參考答案：試題分析：以為坐標(biāo)原點,射線所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系.令兩正方形邊長均為2.則,,,設(shè)異面直線與所成的角為,.考點：異面直線所成的角.16.不等式的解集是.參考答案：{}17.一個圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個球的表面積相等，那么這個圓柱的體積與這個球的體積之比為_____．參考答案：試題分析：設(shè)圓柱的高為2，由題意圓柱的側(cè)面積為2×2π=4π，圓柱的體積為，則球的表面積為4π，故球的半徑為1；球的體積為，∴這個圓柱的體積與這個球的體積之比為，故填考點：本題考查了球與圓柱的體積、表面積公式點評：此類問題主要考查學(xué)生的計算能力，正確利用題目條件，面積相等關(guān)系，挖掘題設(shè)中的條件，解題才能得心應(yīng)手三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖1，在矩形中，，，點在線段上，且，現(xiàn)將沿折到的位置，連結(jié)，，如圖2.（1）若點在線段上，且，證明：；（2）記平面與平面的交線為.若二面角為，求與平面所成角的正弦值.參考答案：（1）【考查意圖】本小題以平面圖形的翻折問題為載體，考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解法綜述】只要理清圖形翻折前后相關(guān)要素的關(guān)系，掌握直線與平面垂直的判定定理及直線與平面垂直的性質(zhì)，便可解決問題.思路：先在圖1中連結(jié)，根據(jù)得到，從而有，，即在圖2中有，，所以得到平面，進(jìn)而得到.【錯因分析】考生可能存在的錯誤有：不能理清圖形翻折前后相關(guān)要素的關(guān)系，未能在圖1中作出線段，從而無從下手；由于對直線與平面垂直的判定及性質(zhì)理解不清導(dǎo)致邏輯混亂.【難度屬性】中.（2）【考查意圖】本小題以多面體為載體，考查二面角、直線與平面所成角、公理3、直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理、空間向量等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.【解法綜述】只要掌握二面角的定義，會正確作出平面與平面的交線，或能利用直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理將直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為平行于的直線與平面所成角，并通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系利用向量方法解決直線與平面所成角的計算問題，便可順利求解.思路一：延長，交于點，連接，根據(jù)公理3得到直線即為，再根據(jù)二面角定義得到.然后在平面內(nèi)過點作交于點，并以為原點，分別為，，為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線與平面所成角的計算公式，便可求得與平面所成角的正弦值.思路二：分別在，上取點，，根據(jù)線段的長度及位置關(guān)系得到，且，從而得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，將直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角.根據(jù)二面角定義得到.然后在平面內(nèi)過點作交于點，并以為原點，分別為，，為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線與平面所成角的計算公式，便可求得與平面所成角的正弦值.【錯因分析】考生可能存在的錯誤有：無法利用公理3確定直線的位置，或不能利用直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理將所求角轉(zhuǎn)化為平行于的直線與平面所成角，導(dǎo)致無從下手；不能根據(jù)二面角的定義求得；不能根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；在求解過程中點的坐標(biāo)或法向量等計算錯誤.【難度屬性】中.19.（本題滿分15分）設(shè)是橢圓C：的左、右焦點，A、B分別為其左頂點和上頂點，△是面積為的正三角形（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過右焦點的直線交橢圓C于兩點，直線、分別與已知直線交于點和，試探究以線段為直徑的圓與直線的位置關(guān)系．參考答案：同理，

………..10分線段PQ的中點D即，則D到直線的距離為

…………….12分以PQ為直徑的圓的半徑…………14分因為，所以，以為直徑的圓與直線相切?！?15分略20.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（θ為參數(shù)），點P在直線l：x+y﹣4=0上，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（I）求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程；（II）射線OP交圓C于R，點Q在射線OP上，且滿足|OP|2=|OR|?|OQ|，求Q點軌跡的極坐標(biāo)方程．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）圓C：（θ為參數(shù)），可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=4，利用互化公式可得圓C的極坐標(biāo)方程．點P在直線l：x+y﹣4=0上，利用互化公式可得直線l的極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2=|OR|?|OQ|，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圓C：（θ為參數(shù)），可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=4，∴圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2．點P在直線l：x+y﹣4=0上，直線l的極坐標(biāo)方程ρ=．（Ⅱ）設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因為，又因為|OP|2=|OR|?|OQ|，即，∴，∴ρ=．【點評】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21.(本題滿分12分)如圖，是以為直徑的半圓上異于點的點，矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面，且．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)設(shè)平面與半圓弧的另一個交點為

①.求證：//;②.若，求多面體的體積V.參考答案：(Ⅰ)∵E是半圓上異于A、B的點，∴AE⊥EB,又∵矩形平面ABCD⊥平面ABE，且CB⊥AB，由面面垂直性質(zhì)定理得：CB⊥平面ABE，∴平面CBE⊥平面ABE，且二面交線為EB，由面面垂直性質(zhì)定理得：AE⊥平面ABE，又EC在平面ABE內(nèi)，故得：EA⊥EC…………4分(Ⅱ)①由CD//AB，得CD//平面ABE，又∵平面CDE∩平面ABE于直線EF，∴根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得：CD//EF，CD//AB，故EF//AB

…………7分②分別取AB、EF的中點為O、M，連接OM，則在直角三角形OME中，，因為矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面，即OM為M到面ABCD之距，又//，E到到面ABCD之距也為，

…………9分則

…………12分22.(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列的各項都為正數(shù)，其前項和為，已知對任意，是

和的等比中項．（Ⅰ）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設(shè)集合，，且，若存在∈，使對滿足

的一切正整數(shù)，不等式恒成立，試問：這樣的正整數(shù)共有多少個？參考答案：解：（Ⅰ）由已知，，且．…………………1分當(dāng)時，，解得．

…………………2分當(dāng)時，有．于是，即．于是，即．因為，所以．故數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，且．……4分（Ⅱ）因為，則，

…………5分所以．……7分因為隨著的增大而