云南省大理市民中2021年高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

云南省大理市民中2021年高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從6名學(xué)生中選4人參加數(shù)學(xué)競賽，其中甲被選中的概率為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略2.從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是[3b2，4b2]，則這一橢圓離心率e的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.一個動點在圓x2+y2=1上移動時，它與定點（3，0）連線中點的軌跡方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（X﹣3）2+y2=1 C．（X+）2+y2= D．（2x﹣3）2+4y2=1參考答案：D【考點】軌跡方程．【分析】根據(jù)已知，設(shè)出AB中點M的坐標(biāo)（x，y），根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出點A的坐標(biāo)，根據(jù)點A在圓x2+y2=1上，代入圓的方程即可求得中點M的軌跡方程．【解答】解：設(shè)中點M（x，y），則動點A（2x﹣3，2y），∵A在圓x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故選D．【點評】此題是個基礎(chǔ)題．考查代入法求軌跡方程和中點坐標(biāo)公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想以及分析解決問題的能力．4.某醫(yī)務(wù)人員說：“包括我在內(nèi)，我們社區(qū)診所醫(yī)生和護士共有名．無論是否把我算在內(nèi)，下面說法都是對的，在這些醫(yī)務(wù)人員中：護士對于醫(yī)生；女醫(yī)生多于女護士；女護士多于男護士；至少有一名男醫(yī)生．”請你推斷說話的人的性別與職業(yè)是（

）．A．男護士 B．女護士 C．男醫(yī)生 D．女醫(yī)生參考答案：A邏輯推斷，當(dāng)為，，時與題目條件矛盾．5.已知直線過A(2,4)、B(1,m)兩點，且傾斜角為450，則m=(

)A、3

B、-3

C、5

D、-1參考答案：略6.在中，，是邊的中點，，交的延長線于，則下面結(jié)論中正確的是（

）A．∽

B．∽C．∽

D．∽參考答案：C7.從1，2，3，5這四個數(shù)中，隨機抽取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)的和為奇數(shù)的概率是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出這3個數(shù)的和為奇數(shù)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這3個數(shù)的和為奇數(shù)的概率．【解答】解：從1，2，3，5這四個數(shù)中，隨機抽取3個不同的數(shù)，基本事件總數(shù)n==4，這3個數(shù)的和為奇數(shù)包含的基本事件個數(shù)m==1，∴這3個數(shù)的和為奇數(shù)的概率p==．故選：A．【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．8.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列{｝的前n項和，且成等比數(shù)列，則等于A、5B、4C、3D、2參考答案：C9.如圖所示，在多面體中，已知是邊長為1的正方形，且均為正三角形，，則該多面體的體積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.橢圓上的點到直線的最大距離是（）A．3 B． C． D．參考答案：D【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；點到直線的距離公式．【分析】設(shè)橢圓上的點P（4cosθ，2sinθ），由點到直線的距離公式，計算可得答案．【解答】解：設(shè)橢圓上的點P（4cosθ，2sinθ）則點P到直線的距離d=；故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在的二項展開式中，的系數(shù)為_____參考答案：－84【分析】先求出展開式的通項公式為，再令的冪指數(shù)等于3求出的值，即可求得的系數(shù)．【詳解】二項式的展開式的通項公式為．令，解得，展開式中的系數(shù)為，故答案為：-84【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．12.已知集合，，則_

_.參考答案：13.觀察下列等式：

由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：

對于=

參考答案：略14.函數(shù)的最小值是

參考答案：415.已知雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，則其漸近線方程為

.參考答案：略16.曲線C的方程為，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數(shù)，事件A＝“方程表示焦點在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝________．參考答案：略17.三棱錐的四個頂點都在體積為的球的表面上，平面所在的小圓面積為，則該三棱錐的高的最大值是----

．參考答案：8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，求：（1）所有偶數(shù)項系數(shù)之和；（2）.參考答案：解：取得

…………（1）取得

………………（2）（1）-（2）可得（1）+（2）可得故=略19.（16分）已知函數(shù)f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）解方程：f（2x）﹣f（x+1）=8；（Ⅱ）設(shè)a∈R，求函數(shù)g（x）=f（x）+a?4x在區(qū)間[0，1]上的最大值M（a）的表達式；（Ⅲ）若f（x1）+f（x2）=f（x1）f（x2），f（x1）+f（x2）+f（x3）=f（x1）f（x2）f（x3），求x3的最大值．參考答案：（Ⅰ）所給的方程即（2x）2﹣2?2x﹣8=0，可得2x=4或2x=﹣2（舍去），所以x=2．（Ⅱ）由于g（x）=2x+a?4x，x∈[0，1]，令t=2x，則t∈[1，2]，①當(dāng)a=0時，M（a）=2；②當(dāng)a≠0時，令，若a＞0，則M（a）=h（2）=4a+2，若a＜0，當(dāng)，即時，M（a）=h（1）=a+1，當(dāng)，即時，M（a）=h（2）=4a+2，當(dāng)，即時，，綜上，．（Ⅲ）由題意知：，化簡可得，所以，其中，所以t≥4，由知的最大值是，又y=2x單調(diào)遞增，所以．（Ⅰ）所給的方程即（2x）2﹣2?2x﹣8=0，可得2x=4或2x=﹣2（舍去），從而求得x的值．（Ⅱ）由于g（x）=2x+a?4x，x∈[0，1]，令t=2x，則t∈[1，2]，分①當(dāng)a=0和②當(dāng)a≠0兩種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得M（a）的解析式，綜合可得結(jié)論．20.（本題滿分14分）設(shè)數(shù)列滿足。（1）當(dāng)時，求，并由此猜想出的一個通項公式；（2）當(dāng)時，證明對所有，有①②參考答案：（1）由，得由，得由，得，由此，猜想的一個通項公式：（2）①用數(shù)學(xué)歸納法證明：（ⅰ）當(dāng)時，，不等式成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，那么，也就是說，當(dāng)時，綜合（?。?、（ⅱ），對于所有，有②由及①，對，有，…，，于是21.（本題12分）已知矩形與正三角形所在的平面互相垂直，分別為棱的中點，。(1)證明：直線平面；(2)求二面角的余弦值。參考答案：以N為坐標(biāo)原點，NE，ND所在直線分別為x,y軸，建立空間右手直角坐標(biāo)系，所以A(0，-1，0)，B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，E(，0，0)，C(0，1，1)，M(，-，).(1)設(shè)平面NEC的一個法向量為=(x,y,1)，因為=(0，1，1)，=(，0，0)，

所以=y+1=0，=0；所以=(0,-1,1)，因為，=0，

所以，因為AM平面NEC，所以直線AM∥平面NEC.(2)設(shè)平面DEC的一個法向量為=(1,y,z),因為=(0,0,1),,所以所以.因為二面角N—CE—D的大小為銳角，所以二面角N—CE—D的余弦值為.22.（10分）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于點E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．（1）求證：A1D⊥DC；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判斷在線段EB上是否存在一點P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）由題意知EA1，EB，ED兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A1D⊥DC．（2）求出平面A1BE的一個向量和平面A1BC的一個法向量，利用向量法能求出二面角E﹣A1B﹣C的余弦值．（3）設(shè)=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），求出平面A1DP的法向量和平面A1BC法向量，利用向量法能求出在線段EB上存在一點P，使平面A1DP⊥平面A1BC．【解答】證明：（1）∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于點E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．∴由題意知EA1，EB，ED兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得DE=2，從而A1（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2），D（0，0，2），∴=（﹣2，0，2），=（0，4，0），∵?=0，∴A1D⊥DC．解：（2）平面A1BE的一個向量=（0，0，1），=（2，﹣2，0），=（0，2，2），設(shè)平面A1BC的一個法向量為=（x，y，z），則，令z=1，則=（﹣，﹣，1），∴cos＜＞==，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值為﹣．（3）若存在一點P，使平面A1DP⊥平面A1BC，設(shè)=λ（0≤λ≤1），==