2024學(xué)年北京市第三十九中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024學(xué)年北京市第三十九中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.2．若，則的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.43．已知，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若，分別是直線，的方向向量，則直線，所成的角的余弦值是B.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是C.若，分別是平面，的法向量，則平面，所成的角的余弦值是D.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是4．直線經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，，則直線傾斜角大小是（）A. B.C. D.5．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)總能作圓的切線，則的最大值為（）A. B.1C. D.7．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.8．接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法，我國(guó)自2021年1月9日起實(shí)施全民免費(fèi)接種新冠疫苗并持續(xù)加快推進(jìn)接種工作．某地為方便居民接種，共設(shè)置了A、B、C三個(gè)新冠疫苗接種點(diǎn)，每位接種者可去任一個(gè)接種點(diǎn)接種．若甲、乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點(diǎn)接種疫苗的概率為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.11．等差數(shù)列中，，則（）A. B.C. D.12．已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________14．已知直線和平面，且；①若異面，則至少有一個(gè)與相交；②若垂直，則至少有一個(gè)與垂直；對(duì)于以上命題中，所有正確的序號(hào)是___________.15．點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則的取值范圍是__.16．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為_(kāi)__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級(jí)有名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個(gè)年級(jí)中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)及圖中的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).18．（12分）一杯100℃的開(kāi)水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設(shè)每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；（2）記n分鐘后的水溫為，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)水溫在40℃到55℃之間時(shí)（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開(kāi)后哪個(gè)時(shí)間段飲用最佳．（參考數(shù)據(jù)：）19．（12分）要設(shè)計(jì)一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設(shè)計(jì)才能使得總成本最低？20．（12分）設(shè)是首項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.（1）若，求；（2）若，求.21．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)在處取得極值7（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】先計(jì)算拋物線上的點(diǎn)P到圓心距離的最小值，再減去半徑即可.【題目詳解】設(shè)，由圓心，得，∴時(shí)，，∴故選：C.2、D【解題分析】由基本不等式求解即可.【題目詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).即所求最小值.故選：D3、D【解題分析】利用空間角的意義結(jié)合空間向量求空間角的方法逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.【題目詳解】對(duì)于A，因分別是直線的方向向量，且，直線所成的角為，則，A正確；對(duì)于B，D，因分別是直線l的方向向量與平面的法向量，且，直線l與平面所成的角為，則有，B正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因分別是平面的法向量，且，平面所成的角為，則不大于，，C正確.故選：D4、A【解題分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出斜率，再得傾斜角【題目詳解】由已知直線的斜率為，所以?xún)A斜角為故選：A5、D【解題分析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過(guò)程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【題目詳解】若，令，，，，，故A錯(cuò)誤；若，令c=0，則，故B錯(cuò)誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯(cuò)誤；∵，故，根據(jù)不等式運(yùn)算規(guī)則，在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.6、D【解題分析】根據(jù)題意，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【題目詳解】因?yàn)檫^(guò)過(guò)總能作圓的切線，故點(diǎn)在圓外或圓上，也即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：D.7、C【解題分析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【題目詳解】,故在方向上的投影為：故選：C8、C【解題分析】利用古典概型的概率公式可求出結(jié)果【題目詳解】由題知,基本事件總數(shù)為甲、乙兩人不在同一接種點(diǎn)接種疫苗的基本事件數(shù)為由古典概型概率計(jì)算公式可得所求概率故選:9、A【解題分析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【題目詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A10、D【解題分析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項(xiàng).【題目詳解】由已知，解得，，則.故選：D.11、C【解題分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和性質(zhì)進(jìn)行求解.【題目詳解】由題意，得.故選：C.12、C【解題分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩直線的平行，得到且，即可求解.【題目詳解】由題意，直線和互相平行，可得且，即且，解得或.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解題分析】可化簡(jiǎn)曲線的方程為，作出其圖形，數(shù)形結(jié)合求臨界值即可求解.【題目詳解】由可得，所以曲線為以為圓心，的下半圓，作出圖形如圖：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，可得，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，則圓心到直線的距離，可得：或（舍），若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，由圖知：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：，故答案為：14、①②【解題分析】假設(shè)與都不相交得到，得到①正確，若不垂直，上取一點(diǎn)，作交于，得到，得到②正確，得到答案.【題目詳解】若與都不相交，，，則，同理，故，與異面矛盾，①正確；若不垂直，上取一點(diǎn)，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正確.故答案為：①②.15、[﹣，0]【解題分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計(jì)算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可【題目詳解】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點(diǎn)A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，?取得最小值為；當(dāng)x＝0或1，且y＝0或1時(shí)，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]故答案為：[，0]【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是綜合性題目16、【解題分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標(biāo)為：設(shè)圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為，；（2）；（3）【解題分析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（3）利用頻率分布直方圖可計(jì)算出全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).【小問(wèn)1詳解】解：樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為.，解得.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)中位數(shù)為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為.【小問(wèn)3詳解】解：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為，故全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為.18、（1）2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃；（2）證明見(jiàn)解析，，；（3）在水燒開(kāi)后4到7分鐘飲用最佳.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)第n分鐘后的水溫為，探求出與的關(guān)系即可計(jì)算作答.(2)利用(1)的信息，列式變形、推導(dǎo)即可得證，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.(3)由(2)的結(jié)論列不等式，借助對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)第n分鐘后的水溫為，正比例系數(shù)為k，記，依題意，，當(dāng)時(shí)，，則有，解得，因此，，即有，，所以2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃.小問(wèn)2詳解】由(1)知，，時(shí)，，，則有，即，而，于是得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有，即，所以是等比數(shù)列，的通項(xiàng)公式是，.【小問(wèn)3詳解】由(2)及已知得：，即，整理得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得：，而，解得，即，所以在水燒開(kāi)后4到7分鐘飲用最佳.【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際意義給出的數(shù)列問(wèn)題，正確理解實(shí)際意義，列出關(guān)系式，再借助數(shù)列思想探求相鄰兩項(xiàng)間關(guān)系即可推理作答.19、當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時(shí)，總成本最底.【解題分析】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進(jìn)而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進(jìn)而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時(shí)成本最小.【題目詳解】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價(jià)為元，由題意得：，則，表面積造價(jià)，，令，得，令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時(shí)，總成本最底.20、（1）或（2）【解題分析】（1）列方程組解得等差數(shù)列的公差，即可求得其前項(xiàng)和；（2）列方程組解得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，以錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，的公比為，則，，因?yàn)榧矗庵没?，又因?yàn)椋盟曰?，故，或【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以由解得（舍去）或，于是得，所以，因?yàn)?，?）所以，（2）所以由（1）（2）得：故21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】(1)根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問(wèn)題；(2)以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，求法向量的夾角，根據(jù)二面角的余弦值與法向量的夾角的余弦的關(guān)系確定二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】由題意，，等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又，平面平面.【小問(wèn)2詳解】由題意直線平面，四邊形為正方形，故以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)面的法向量為，同理可得面的法向量，∴二面角的余弦值為22、（1）；（2）.【解題分析】（1