第三節(jié)向量的內(nèi)積與施密特正交化過程

第三節(jié)向量的內(nèi)積與施密特正交化過程第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四一.向量的內(nèi)積與施密特正交化過程引言：在幾何空間，我們學過向量的長兩向量夾角的概念，并由此定義兩向量的數(shù)量積利用坐標分別有下面計算公式：設，，（設則設第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四為了今后應用的需要，將這些概念及公式推廣到n維向量。

1.向量的內(nèi)積定義1n維向量空間中任兩個向量的內(nèi)積定義為第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四并稱定義了內(nèi)積的向量空間為歐氏空間內(nèi)積具有下列性質(zhì)：

（交換性）;k為數(shù)（性質(zhì)(2)，(3)稱單線性）（當且僅當。以上證明留給讀者。第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四定義2設，

稱向量的長度。長度為1的向量稱單位向量。，即為一單位向量。稱將單位化。設第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四向量的長度有下列性質(zhì)：。當且僅當；(2).齊次性：；

(3).三角不等式：

以上性質(zhì)證明留給讀者。證略。(1).非負性：(4).柯西不等式：第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四由柯西不等式得：由此可定義兩非零向量的夾角：；或第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四對于兩非零向量當時，稱兩向量正交。這里顯然等價于又零向量與任何向量看作是正交的，且中只要有一個為零向量，必有因此可利用內(nèi)積定義兩向量正交。稱正交，記。定義3若第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四因此可利用內(nèi)積定義兩向量正交。。定義4設向量組為兩兩正交的非零向量，稱其為正交向量組。第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四如果正交向量組中。每個向量還是單位向量量則稱其為標準正交向量組或正交規(guī)范向量組。如它們還是向量空間的基底則分別稱其為正交基或標準（規(guī)范）正交基。即正交規(guī)范組（基）滿足第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四定理1設為正交向量組，則是線性無關的。例1求與向量都正交的向量集。都正交的向量為由得齊次線性方程組解：設與第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四即為與解得都正交的向量集第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四2.施密特正交化方法是線性無關的向量組，尋找一個標準正交向量組使其與等價。，設其作法分兩步(1).正交化，令第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四，，，……第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四是正交規(guī)范向量組，且等價。上述過程稱Schmidt（施密特）正交化過程。（方法）仍與顯然(2).單位化（規(guī)范化）：取第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例2設用Schmidt正交化過程將其化為標準正交組。解：取第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四單位化得第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四3.正交矩陣與正交變換定義5方陣A滿足則稱A為正交矩陣。由定義不難得到：A為正交矩陣。第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四令由上式不難得到：A為正交矩陣即A的行（列）向量是兩兩正交的單位向量的正交規(guī)范基）

即是第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四例3令驗證A為正交矩陣解：因列向量組為兩兩正交的單位向量，故為正交矩陣。第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四定義6設則稱線性變換是正交變換。是正交變換。例4證明線性變換解：線性變換的矩陣為第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四其行（列）向量是兩兩正交的單位向量故為正交矩陣，故上述線性變換是正交變換。上述線性變換代表平面上的一個坐標旋轉(zhuǎn)，因此平面上的坐標旋轉(zhuǎn)變換是正交變換

下面介紹正交變換的性質(zhì)：1）.設為一正交變換，則即正交變換保持向量長度不變。2）設為一正交變換，對任意第二十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期四則有即正交變換下向量內(nèi)積不變。由于正交