空間向量及其加減運(yùn)算

空間向量及其加減運(yùn)算第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一在必修4中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量，你還知道下列幾個問題是怎么定義的嗎？(1)什么叫向量？(2)什么是向量的長度(或模)?(3)什么叫零向量、單位向量、相反向量、相等向量？(4)向量的表示方法有哪些？復(fù)習(xí)回顧:思考:在空間中，上述問題又是如何定義的呢？第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一1．空間向量定義在空間，把具有

和

的量叫做空間向量長度向量的

叫做向量的長度或

.表示法幾何表示法空間向量用

表示字母表示法大小方向大小有向線段模第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一2.幾類特殊向量(1)零向量：

的向量叫做零向量，記為0.(2)單位向量：

的向量稱為單位向量．(3)相等向量：方向

且模

的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：與向量a長度

而方向

的向量，稱為a的相反向量，記為－a.長度為0模為1相同相等相等相反第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一3．空間向量的加減法與運(yùn)算律a＋b

a－b

b＋a(a＋c)＋b

第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一答案：

C第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一2．在平面向量中，下列說法正確的是(

)A．如果兩個向量的長度相等，那么這兩個向量相等B．如果兩個向量平行，那么這兩個向量的方向相同C．如果兩個向量平行并且它們的模相等，那么這兩個向量相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量解析：

根據(jù)兩個向量相等的定義可知，選項D正確．答案：

D第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一答案：

相等相反第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一A．1

B．2C．3 D．4第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一[解題過程]

題號正誤原因分析①×當(dāng)兩向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等，但兩個向量相等不一定起點相同，終點相同②×向量相等的定義，模相等，而且方向相同③√④√由向量平行(共線)的性質(zhì)可知⑤×空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等答案：

C第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一答案：

B第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一證明平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處相互平分．第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一[規(guī)范作答]

證明：如圖所示，平行六面體ABCD－A′B′C′D′，設(shè)點O是AC′的中點，第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一[題后感悟]

利用向量解決立體幾何中的問題的一般思路：第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一2．空間向量加法運(yùn)算的理解(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．因此，求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量．(2)若首尾相接的若干向量構(gòu)成一個封閉圖形，則這些向量的和為0.(3)兩個向量相加的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍成立．第二十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期一3．熟練應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則(1)利用三角形法則進(jìn)行加法運(yùn)算時，注意“首尾相連”和向量的方向是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點．進(jìn)行減法運(yùn)算時，注意“共起點”，差向量的方向是從減向量的終點指向被減向量的終點．(2)平行四邊形法則一般用來進(jìn)行向量的加法運(yùn)算．注意：平行四邊形的兩條對角線所表示的向量恰為兩鄰邊表示向量的和與差．(3)三角形法則也可推廣為多邊形法則：即在空間中，把有限個向量順次首尾相連，則從第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量即表示這有限個向量的和向量．[