矩陣的特征值與特征向量定稿

矩陣的特征值與特征向量定稿第一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

2一、特征值與特征向量定義三、矩陣的跡二、特征值與特征向量求法§5.1矩陣的特征值與特征向量第二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

3定義5.1若存在常數(shù)及非零向量一、特征值與特征向量定義第三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

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說明第四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5稱二、特征值與特征向量的計算方法第五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

6定理5.1設(shè)Ａ是n階矩陣，則是Ａ的特征值，是Ａ的屬于的特征向量證明第六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

7第七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

8求矩陣特征值與特征向量的步驟：第八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

9例1求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當(dāng)時,解方程由第九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

10得基礎(chǔ)解系全部特征向量為當(dāng)時,解方程由得基礎(chǔ)解系全部特征向量為二重根第十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

11例2求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當(dāng)時,解方程組得基礎(chǔ)解系全部特征向量為第十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

12當(dāng)時,解方程得基礎(chǔ)解系全部特征向量為注意在例1與例2中,特征根的重數(shù)與其對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量的個數(shù).二重根第十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

13例3如果矩陣則稱是冪等矩陣.試證冪等矩陣的特征值只能是0或1.證明設(shè)兩邊左乘矩陣,得由此可得因為所以有得第十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

14例４

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得第十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

15第十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

16矩陣的特征值與其特征多項式的關(guān)系第十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

17第十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

18特點則有：第十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

19性質(zhì)：第十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

20第二十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

21課堂練習(xí)第二十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

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（答：2，-2，0.）第二十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

23一、相似矩陣概念二、相似矩陣基本性質(zhì)三、矩陣可對角化的條件§5.2相似矩陣與矩陣可對角化條件第二十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

24設(shè)都是階方陣,若有可逆矩陣使則稱與是相似的,或說一、相似矩陣概念第二十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

25第二十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

26相似是一種等價關(guān)系第二十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

27(1)相似矩陣有相同的行列式.(2)相似矩陣有相同的跡.(3)相似矩陣有相同的秩.(4)相似矩陣有相同的特征多項式.(5)相似矩陣有相同的特征值.二、相似矩陣基本性質(zhì)(6)相似矩陣的逆矩陣仍相似(設(shè)兩者都可逆).(7)相似矩陣的冪仍相似.第二十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

28證明設(shè)矩陣A與B相似,即有P-1AP=B(1)(2)顯然.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及特征值與跡的關(guān)系可得.(6)(7)由相似的定義可得.第二十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

29例1已知與相似,求x,y.解因為相似矩陣有相同的特征值,故A與B有相同的特征值2,y,-1.根據(jù)特征方程根與系數(shù)的關(guān)系,有：而故x=0,y=1.第二十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

30課堂練習(xí)第三十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

31所謂方陣可以對角化,是指即存在可逆矩陣使成立.定理5.2階方陣可對角化有個線性無關(guān)的特征向量.三、矩陣可對角化的條件第三十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

32證明設(shè)即是的對應(yīng)于特征值的特征向量.又因可逆,故線性無關(guān).得到第三十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

33設(shè)線性無關(guān).記則因線性無關(guān),故可逆,即可對角化.第三十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

34定理5.3第三十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

35第三十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

36第三十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

37證明則即類推之，有第三十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

38把上列各式合寫成矩陣形式，得第三十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

39定理5.4對一重特征值來說,相應(yīng)地只有一個線性無關(guān)的特征向量對k重特征值來說,相應(yīng)地線性無關(guān)的特征向量不會超過k個第三十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

40(證明略)定理5.5推論屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的第四十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

41定理5.6(充分條件)若A的n個特征值互不相等,則A與對角陣相似(可對角化).如教材§5.1例3，P169注意：逆不成立,即與對角陣相似的矩陣,特征值不一定互不相等.第四十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

42例1判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解第四十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

43解之得基礎(chǔ)解系第四十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

44求得基礎(chǔ)解系第四十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

45解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對角矩陣.第四十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

46A能否對角化？若能對角化,試求出可逆矩陣P例2解第四十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

47解之得基礎(chǔ)解系第四十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

48所以可對角化.第四十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

49注意即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)．第四十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

50例：對教材§5.1例2、例3的矩陣A，求可逆陣P，使P-1AP為對角陣.

第五十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

51例3有三個不同的特征值對應(yīng)的特征向量分別為已知求(1)(2)解又所以第五十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

52(2)若令則有故第五十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

53課堂練習(xí)第五十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

54一、實對稱矩陣的特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的對角化二、實對稱矩陣的對角化第五十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

55定理5.7實對稱矩陣的特征值為實數(shù).證明一、實對稱矩陣的特征值與特征向量第五十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

56于是有兩式相減，得第五十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

57定理５.７的意義第五十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

58證明于是定理5.8實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的第五十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

59證明它們的重數(shù)依次為根據(jù)定理1（對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和定理3(如上)可得：設(shè)的互不相等的特征值為第五十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

60即：任一實對稱矩陣一定可以對角化.與之相似的對角陣的對角元素就是的全部特征值,而正交陣是由它們對應(yīng)的單位特征向量組成的.為階實對稱矩陣,則必存在正交矩陣使其中是以的個特征值為對角元的對角陣.定理5.９二、實對稱矩陣的對角化由上面結(jié)論(3)得：第六十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

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根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法將特征向量正交化，單位化，;3.寫出正交矩陣.4.2.1.第六十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

62例1求一個正交陣解(1)求特征值:特征值為第六十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

63(2)求特征向量:對于解得線性無關(guān)的特征向量為對于解得線性無關(guān)的特征向量為(3)特征向量正交化、單位化：用施密特正交化方法第六十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

64正交化取單位化取(4)寫出所求正交矩陣:第六十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

65令則P是正交陣.并且要特別注意本題的解題方法和步驟.在后面的用正交變換化二次型為標準形中還要用到類似的方法.第六十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期一中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

66解例