第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度

第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四上頁下頁返回結(jié)束1.討論函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率本節(jié)主題:問題．2.函數(shù)在點(diǎn)P沿哪一方向增加的速度最快?(方向?qū)?shù))(梯度)第二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)有定義，的某一鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù)點(diǎn),且為l上的另一設(shè)射線l的方向角為α,β,

一、方向?qū)?shù)的定義與計(jì)算過P引射線l(如圖).記第三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)沿著趨于時(shí)，反映的是z=f(x,y)在點(diǎn)P沿方向l的變化率.上頁下頁返回結(jié)束這個(gè)比值刻畫的是z=f(x,y)沿方向l的平均變化率.極限第四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四記為上頁下頁返回結(jié)束存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)P沿方向l的方向?qū)?shù)．如果極限定義

,即顯然。fx表示的是函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P沿x軸正向的方向?qū)?shù)，fy表示的是函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P沿y軸正向的方向?qū)?shù).而函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P沿x軸與y軸負(fù)向的方向?qū)?shù)分別是－fx，－

fy.第五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四證明：由于函數(shù)z=f(x,y)點(diǎn)P(x,y)可微，兩邊同除以得到上頁下頁返回結(jié)束定理

z=f(x,y)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，且

其中cosα,cosβ是方向l的方向余弦.如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微，則所以函數(shù)在點(diǎn)P(x,y)的增量第六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四因此，方向?qū)?shù)上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四推廣:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,且若三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)可微,為l的方向角.上頁下頁返回結(jié)束其中第八頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四在點(diǎn)

P(1,1,1)

沿從點(diǎn)P(1,1,1)解：上頁下頁返回結(jié)束到點(diǎn)Q(2,3,3)方向的方向?qū)?shù)。本題的方向是例1.求函數(shù)第九頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四解：上頁下頁返回結(jié)束例2.求函數(shù)z=xy在點(diǎn)處沿方向

的方向?qū)?shù).且問α為何值時(shí)，這點(diǎn)的方向?qū)?shù)達(dá)到最

大？α為何值時(shí)，這點(diǎn)的方向?qū)?shù)達(dá)到最??？所以，方向?qū)?shù)達(dá)到最大.方向?qū)?shù)達(dá)到最小.第十頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四二、梯度的概念與計(jì)算上頁下頁返回結(jié)束定義

設(shè)函數(shù)),(yxfz=在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，DyxP?),(,稱向量jyfixfrr??+??

則對每一點(diǎn)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度,記為gradf(x,y).gradf(x,y)即：第十一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四上頁下頁返回結(jié)束

為函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度,記為gradf(x,y,z).gradf(x,y,z)即：推廣:若三元函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對每一點(diǎn)P(x,y,z)?G,稱向量第十二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四解:由梯度計(jì)算公式得故上頁下頁返回結(jié)束例3.求函數(shù)

在點(diǎn)(1,1,2)

處的梯度.

第十三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四上頁下頁返回結(jié)束梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系：

（以二元函數(shù)為例）設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微，是方向l上的單位向量,則其中)),((,eyxgradfr=q為梯度向量與方向l的夾角.lf??有最大值當(dāng)1)),,(cos(=eyxgradfr時(shí)，

即時(shí)，,e0),(=yxgradfr第十四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四上頁下頁返回結(jié)束二元函數(shù)：

結(jié)論：（1）函數(shù)在某點(diǎn)的梯度gradf是一個(gè)向量，gradf(x,y)三元函數(shù)：gradf(x,y,z)（2）梯度的方向是函數(shù)在此點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向.（3）梯度的模等于方向?qū)?shù)的最大值.第十五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?

二元函數(shù)

在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向

l(方向角為上頁下頁返回結(jié)束?

三元函數(shù)

在點(diǎn)處沿方向

l

(方向角的方向?qū)?shù)為第十六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期四2.梯度?二元函數(shù)

在點(diǎn)處的梯度