第5章 平面向量與復數(shù) 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算

第五章平面向量與復數(shù)第1節(jié)平面向量的概念及線性運算考試要求1.了解向量的實際背景；2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.知識診斷基礎夯實內(nèi)容索引考點突破題型剖析分層訓練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實1知識梳理(1)向量：既有______又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的______________.(2)零向量：__________的向量，其方向是任意的.(3)單位向量：長度等于__________的向量.(4)平行向量：方向______或______的非零向量.平行向量又叫__________.規(guī)定：0與任一向量________.(5)相等向量：長度______且方向______的向量.(6)相反向量：長度______且方向______的向量.1.向量的有關概念大小方向長度(或模)長度為01個單位相同相反共線向量平行相等相同相等相反2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝________.(2)結合律：(a＋b)＋c＝____________減法減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝_________；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向______；當λ＜0時，λa的方向與a的方向______；當λ＝0時，λa＝____λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝______；λ(a＋b)＝______|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得__________.3.共線向量定理b＝λa常用結論4.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.√診斷自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)××√解析(2)若b＝0，則a與c不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上.AA.① B.③ C.①③ D.①②AA.30° B.45° C.60° D.90°A又O為△ABC的外接圓的圓心，根據(jù)加法的幾何意義，四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.等腰梯形或平行四邊形解析由已知2a－b≠0，依題意知向量a＋λb與2a－b共線，設a＋λb＝k(2a－b)，則有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0.因為a，b是兩個不共線向量，故a與b均不為零向量，6.(2022·哈爾濱質檢)設a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－2a)共線，則λ＝________.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一平面向量的概念1.給出下列命題，正確的命題為(

)A對于B，當a＝0時，不成立；對于C，當a，b之一為零向量時，不成立；對于D，當a＋b＝0時，a＋b的方向是任意的，它可以與a，b的方向都不相同.A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|C所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項A，B，D.解析根據(jù)向量的有關概念可知①②③正確，對于④，當λ＝μ＝0時，a與b不一定共線，故④錯誤.3.給出下列說法：④1.相等的向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.2.向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負數(shù)，可以比較大小.向量可以平移，與起點無關，平移后的向量與原向量相等.3.單位向量的特征是長度都是1個單位，零向量的特征是長度是0，并規(guī)定零向量與任何向量平行.感悟提升角度1平面向量的加、減運算的幾何意義考點二向量的線性運算A解析作出示意圖如圖所示.角度2向量的線性運算A解析如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，角度3利用向量的線性運算求參數(shù)A1.解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.2.在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.3.與向量的線性運算有關的參數(shù)問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程(組)即可求得相關參數(shù)的值.感悟提升BB解析如圖，記正六邊形ABCDEF的中心為點O，連接OB，OD，易證四邊形OBCD為菱形，且P恰為其中心，考點三共線定理及其應用例4

設兩個非零向量a與b不共線.解∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的兩個非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.感悟提升A.λμ＝1 B.λμ＝－1C.λ－μ＝－1 D.λ＋μ＝2A一、等和線定理“等和線”的應用拓展視野(1)當?shù)群途€恰為直線AB時，k＝1；(2)當?shù)群途€在O點和直線AB之間時，k∈(0，1)；(3)當直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；(4)當?shù)群途€過O點時，k＝0；(5)若兩等和線關于O點對稱，則定值k互為相反數(shù)；(6)定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.A二、定理的運用解析如圖，由平面向量基底等和線定理可知，當?shù)群途€l與圓相切于點M時，λ＋μ最大，2.基底起點不同設AF，BC的延長線交于點H，易知AF＝FH，即DF為△ABH的中位線，(－1，0)由題意CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，所以點C在直線l與直線A1B1之間，所以m＋n∈(－1，0).FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓練鞏固提升3A級基礎鞏固解析利用向量運算，易知①，④的結果為零向量.D解析如圖，連接BO并延長交AC于點M，因為O為△ABC的重心，所以M為AC的中點，DDA5.已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實數(shù)λ的值為(

)B解析由于c與d共線反向，則存在實數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λ